高中数学选择必修一 2.2.3直线的一般式方程 课件（23页ppt）

(共23张PPT)
选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.2直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 1.直观想象素养和逻辑推理素养.
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化． 2.逻辑推理素养和数学运算素养.
3.掌握五种直线方程之间的关系，并会选择合适的形式求解直线方程． 3.数形结合素养和数学运算素养.
温故知新
方程名称 几何条件 方程 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
点P(x0，y0)和斜率k
直线不垂直x轴(斜率k存在)
y-y0=k(x-x0)
斜率k，y轴上的纵截距b
y=kx+b
直线不垂直x轴(斜率k存在)
P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)
直线不垂直两个坐标轴
.
在x轴上的截距a，
在y轴上的截距b
.
直线不垂直两个坐标轴且不经过原点
温故知新
点斜式
y-y0=k(x-x0)
斜截式
y=kx+b
两点式
.
截距式
.
整理可得kx+(-1)y+y0－kx0=0
整理可得kx+(-1)y+b=0
整理可得(y2-y1)x+(x1-x2)y+x1(y1-y2)+y1(x2-x1)=0
整理可得bx+ay+(-ab)=0
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程．直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题．
新知探究
这是关于x，y的二元一次方程.
y－y0 =k(x－x0)
先看问题(1)，任意一条直线l，在其上任取一点P(x0，y0)，当直线l的斜率为k时(此时直线的倾斜角α≠90 )，其方程为
当直线l的斜率不存在，即直线l的倾斜角α=90 ，直线的方程为
（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？
分类讨论时，常按α≠90 和α=90 分类，这样可以做到不重不漏.
x－x0=0
上述方程可以认为是关于x，y的二元一次方程，因为此时方程中y的系数为0.
方程y－y0 =k(x－x0)和x－x0=0都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.
新知探究
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
反之，对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0(A，B不同时为0)，
当B≠0时，方程Ax+By+C=0可变形为
（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？
,
它表示过点(0,)，斜率为的直线.
当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可变形为,
它表示过点(,0)且垂直于x轴的直线.
由上可知，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
新知探究
Ax+By+C=0
我们把关于x，y的二元一次方程
(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(general form).
直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程；
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列；
③x的系数一般不为分数和负数；
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
新知探究
Ax+By+C=0
它表示过点(0,),垂直于x轴的直线.
⑴一般式化为斜截式的步骤：
移项，得 By=-Ax-C,
当B≠0时，得斜截式 ,
它表示过点(0,),斜率为的直线.
当B=0，A≠0时，得,
⑵一般式化为截距式的步骤：
把常数项移到方程的右边，得 Ax+By=-C,
当C≠0时，方程两边同除以-C，得,
化为截距式.
它表示在x轴、y轴上的截距分别为的直线.
新知探究
（2）平行于 y轴
在方程 Ax + By + C = 0中，A、B、C 为何值时，方程表示的直线：
（1）平行于x轴 （2）平行于 y轴 （3）与x轴重合 （4）与y轴重合
B=0 ， A≠0 ， C≠0
（3）与x轴重合
A=0 ， B≠0 ，C=0
（4）与y轴重合
B=0 ， A≠0， C=0
（1）平行于x轴
A=0 ， B≠0 ，C≠0
知新探究
【例1】已知直线经过点 A (6， 4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程．
解：
经过点 A (6， 4)，斜率为的直线的点斜式为
化成一般式，得
,
4x+3y–12=0.
初试身手
1.已知直线l经过点B(3,-1)，且倾斜角是30°,求直线l的点斜式方程和一般式方程.
解：
因为直线倾斜角是30°，所以直线的斜率,
所以直线的点斜式方程为，
化成一般式方程为.
知新探究
【例2】把直线l的方程x－2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率及它在x轴与y轴上的截距并画出图形.
解：
把直线的一般式方程化为斜截式
y=x+3，
因此，直线l的斜率k=，它在y轴上的截距是3 ，
分析：求出直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令y=0即可得到x的值.
在直线l的方程x－2y+6=0中，令y=0,得x=-6,
即直线l在x轴上的截距为-6.
由上面可得直线与x轴、y轴的交点分别为A ( －6 ， 0 ) ，
B ( 0 ， 3 )，
过A，B两点作直线，就得直线l如图所示.
O
x
y
A
B
l
2
2
在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点.
新知探究
结合例2，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线．
在代数中，我们研究了二元一次方程的解．因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线.
平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献．在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.
初试身手
2.把直线l的一般式方程2x－y＋4＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
解：
把直线l的一般式方程化为斜截式
在直线l的方程2x－y＋4＝0中，令y＝0，得x＝－2，
y＝2x＋4,
因此，直线l的斜率k＝2，它在y轴上的截距是4，
即直线l在x轴上的截距是－2.
由上面可得直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,4)，
过A，B两点作直线，就得直线l（如图）.
知新探究
【例3】已知直线l：5ax-5y-a＋3＝0.
⑴求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限；
⑵求使直线l不经过第二象限的a的取值范围．
解：
⑴证明：直线l的方程5ax-5y-a＋3＝0化为点斜式
则直线恒过l定点(),
,
又点()在第一象限，
故直线l总经过第一象限．
⑵直线l的方程5ax-5y-a＋3＝0化为斜截式
,
∵直线l不经过第二象限,
∴,解得a≥3,
则a的取值范围是[3,+∞).
初试身手
3.已知方程(m+2)x+(m-3)y+4=0(m∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标.
方法1：设该直线恒过定点(x0,y0)，则其方程为
解：
即.
，
∴=4,
∵m∈R，
∴,解得,
∴该直线恒过定点().
初试身手
3.已知方程(m+2)x+(m-3)y+4=0(m∈R)所表示的直线恒过定点，试求该定点的坐标.
方法2：将方程(m+2)x+(m-3)y+4=0变形为
解：
即m(x+y)+2x-3y+4=0.
mx+my+2x-3y+4=0，
由题意知,定点的坐标与m取值无关，
∴,解得,
∴该直线恒过定点().
方法3：令m=-2,则方程变为-5y+4=0,∴,
令m=3,则方程变为5x+4=0,∴,
∴该直线恒过定点().
课堂小结
方程名称 几何条件 方程 适用范围
点斜式 点P(x0，y0)和斜率k
斜截式 斜率k，y轴上的纵截距b
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
截距式 在x轴上的截距a， 在y轴上的截距b.
一般式 已知A,B,C.
1.直线方程
y-y0=k(x-x0)
直线不垂直x轴(斜率k存在)
y=kx+b
直线不垂直x轴(斜率k存在)
.
直线不垂直两个坐标轴
.
直线不垂直两个坐标轴且不经过原点
Ax+By+C=0
A、B 不同时为 0 的直线方程
课堂小结
2.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
作业布置
作业：P66 练习 第1,2,3题
P67 习题2.2 第11题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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