人教版八年级上册数学第十二章全等三角形 单元试题（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图，线段AB、CD相交于点O，AO=BO，添加下列条件，不能使 的是（ ）
A．AC=BD B．∠C=∠D C．AC∥BD D．OC=OD
2．如图,已知△ABC的六个元素,则图中甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形个数是
A．1 B．2
C．3 D．0
3．如图，中，，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知AD＝BC，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）
A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA
C．∠ABC＝∠BAD D．△ABD的周长＝△ABC的周长
5．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，过点作于点，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，AD＝BC，AC＝BD，AC、BD交于点E，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ）
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
8．如图，在中，，为的角平分线．若，则点到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上．已知，．给出下列条件：①，②，③，④，能判定的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图，∠1=∠2，如果添加一个条件，即可得到△ABE≌△ACE，那么这个条件可以是 （要求：不添加其他辅助线，写出一个条件即可）
12．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则 ．
13．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的值是 ．

14．如图，在中，∠，，，，，则的周长是 ．
15．如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BDE的周长是5 cm，则AB的长为 ．
16．如图，在与中，E在边上，，，，若，则的度数为 ．
17．如图，在直角中，，平分交于点D，若，，则的面积为 ．
18．如图，．若AD＝8，BC＝3，则AB的长是 ．
19．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是 ．
20．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ．
三、解答题（共60分）
21．已知:在中，，垂足分别为点,且,连接.
求证:平分.

22．已知：如图，．求证：．
23．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，

(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．如图，点P是∠ABC的平分线上一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M、N．
求证：（1）∠PMN＝∠PNM；
（2）BM＝BN．
25．在△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于E，过点E作EM⊥AC于M，且AE＝AD，∠AED＝∠ADE．
（1）如果∠CAB＝36°，求∠CBD的度数；
（2）求证：AB＝EM＋BC
26．如图1，在等腰中，，直线经过点B，于点E，于点D．
(1)求证：；
(2)当直线绕点B旋转到图2的位置时，判断的数量关系，并说明理由；
(3)当直线绕点B旋转到图3的位置时，的数量关系是______．
27．如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，．
(1)如果，．
①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________；
②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(2)如图3，如果，，点D在线段上运动．
探究：当多少度时，？请说明理由．
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参考答案：
1．A
【分析】已知AO=BO，由对顶角相等可得到∠AOC=∠BOD，当添加条件A后，不能得到△AOC≌△BOD；接下来，分析添加其余选项的条件后能否得到证明三角形全等的条件，据此解答
【详解】解：题目隐含一个条件是∠AOC=∠BOD，已知是AO=BO
A.加AC=BD，根据SSA判定△AOC≌△BOD；
B.加∠C=∠D，根据AAS判定△AOC≌△BOD；
C.加AC∥BD，则ASA或AAS能判定△AOC≌△BOD；
D.加OC=OD，根据SAS判定△AOC≌△BOD
故选A
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．B
【分析】根据全等三角形判定方法进行判断即可
【详解】解：由已知，甲全等条件不具备，乙和△ABC满足两角夹边，故全等，丙和△ABC满足两角和其中一角的对边，故全等，因此，有两个三角形可以判定三角形全等.
3．B
【分析】利用HL可证明△ACD≌△ECD，可得∠ACD=∠ECD，即可得答案．
【详解】，
．
在和中，，
，
．
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，当运用SAS时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键．
4．B
【分析】根据全等三角形的判定定理依次判断即可．
【详解】解：A．AD＝BC，AC＝BD，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
B．AD＝BC，AB＝BA，∠CAB＝∠DBA，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
C．AD＝BC，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
D．∵△ABD的周长＝△ABC的周长，
∴AD+BD+AB＝BC+AC+BA，
∵AD＝BC，AB＝BA，
∴AC＝BD，
条件AD＝BC，AC＝BD，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，属于基础题．
5．B
【分析】利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质可对A选项进行判断；由于只有当，，则可对B选项进行判断；直接根据角平分线的定义可对D选项进行判断；然后根据等角的余角相等可对C选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
【详解】解：由作法得平分，
，，
，所以A选项不符合题意；
只有当为等腰直角三角形时，，则有，所以B选项符合题意；
平分，
，所以D选项不符合题意；
，
即，所以C选项不符合题意．
故选：B．
6．C
【详解】试题分析：判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，依据：SSS可知，本题中的全等三角形是：,故是3对．故选C
考点：全等三角形的性质和判定
点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．C
【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC-CE＜AE＜AC+CE，从而易求1＜AD＜7．
【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE，
∵AD是边BC上的中线，
∴CD=BD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED，
∴AB=CE=6，
在△ACE中，8-6∴1＜AD＜7，
故选：C．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键．
8．B
【分析】根据题意作出点D到AC的距离ED，再根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于点E，则ED的长度为点到的距离．
∵为的角平分线，，，，
∴ED=BD=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离是解题关键．
9．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C
10．C
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，利用三角形全等的判定方法一一判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
添加①，由，
可得；
添加②，不能证明；
添加③，由，不能得到；
添加④，
，
，
由，
可得．
能判断全等的条件是①④．
故选：C．
11．∠B=∠C（答案不唯一）．
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解题,见详解.
【详解】解：判定两个三角形全等的方法有5个,包括SSS,ASA,SAS,AAS,HL
在△ABE和△ACE中，已知公共边AE=AE,
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC,
现在已经知道了一边和一个角,
故可以添加∠B=∠C,此时用AAS即可判定△ABE≌△ACE，
故答案是∠B=∠C（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定,属于简单题,熟悉三角形全等的判定方法是解题关键.
12．6．
【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=4，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=4．
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=8，
∴×8×4+ ×AC×4=28，
∴AC=6．
故答案是：6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的长是一种很好的方法，要注意掌握应用．
13．18
【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线的作法可知CD平分∠ACB，然后根据角平分线的性质可得DE=AD=3，然后根据三角形的面积公式求面积即可．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于E

由题意可知：CD平分∠ACB
∵
∴DE=AD=3
∵
∴=
故答案为：18．
【点睛】此题考查的是用尺规作图作角平分线和角平分线的性质，掌握角平分线的作法和角平分线的性质是解决此题的关键．
14．
【分析】先由勾股定理求得的长，根据角平分线的性质得到DE=DA，CE=CA=6，根据三角形周长公式计算即可．
【详解】∵∠BAC=90°，，，
∴，
∵∠1=∠2，∠BAC=90°，DE⊥BC，
∴DE=DA，CE=CA=6，
∴BE=BC-EC=，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DA+BE=AB+BE=10+=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．5cm．
【详解】试题分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出AB=△BDE的周长．
试题解析：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，
∴AB=5cm．
考点：1.角平分线的性质；2.等腰直角三角形．
16．/25度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理．证明得到，再根据三角形内角和定理和平角的定义可得．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．20
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．
过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
过点D作于点E，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：20
18．2.5
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，再求出，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：，
，
，
即，
，，
．
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出是解题的关键．
19．4
【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可．
【详解】解：如图，过点D作于点F，
∵是中的角平分线，，

∴，
∵，，，
∴
∴．
故答案为：4．
20．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，只要证明，即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确，
∵若．
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，
∵，，
∴，故④错误，
故答案为：①②③．
21．证明见解析.
【分析】根据三角形全等的判定定理，先证明，再根据角平分线定理的逆定理，即可得证.
【详解】证明:
在和中
(全等三角形的对应边相等)
即:平分
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理和角平分线定理的逆定理，熟练掌握上述两个定理，是解题的关键.
22．见解析
【分析】根据BE=CF推出BF=CE，利用AB∥CD证得∠B=∠C，即可根据SAS证得结论．
【详解】证明：∵BE=CF,
∴BE-EF=CF-EF,
∴BF=CE,
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
在和中
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，熟记三角形全等的判定方法及确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，得到，即可；
（2）根据，，计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即：，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，正确三角形全等．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】试题分析：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PM=PN，从而得出∠PMN=∠PNM；（2）根据∠PMB=∠PNB以及∠PMN=∠PNM得出∠BMN=∠BNM，从而得出答案．
试题解析：（1）∵PB是角平分线，PM⊥AB，PN⊥BC ∴PM=PN ∴∠PMN=∠PNM
（2）∵90°－∠PMN=90°－∠PNM 即∠BMN=∠BNM ∴BM＝BN
考点：角平分线的性质．
25．（1）27°；（2）见解析
【分析】（1）先根据AE⊥AB，得到∠EAB=90°，则∠EAC=∠EAB-∠CAB=54°，再由三角形内角和定理求出，由对顶角相等∠CDB=∠ADE=63°，由此求解即可；
（2）过点D作DF⊥AB于F，先证明△AEM≌△DAF得到EM=AF，再证明△DFB≌△DCB得到BC=BF，由此即可证明．
【详解】解：（1）∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠CAB=36°，
∴∠EAC=∠EAB-∠CAB=54°，
∴，
∴∠CDB=∠ADE=63°，
∴∠CBD=180°-∠C-∠CDB=27°；
（2）如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵EM⊥AD，DF⊥AB，
∴∠EMA=∠AFD=90°，
∴∠AEM+∠EAM=90°，
又∵∠EAM+∠FAD=90°，
∴∠AEM=∠DAF，
又∵AD=AE，
∴△AEM≌△DAF（AAS），
∴EM=AF，
∵∠AEB+∠ABE=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠AED=∠CDB=∠ADE，
∴∠FBD=∠CBD，
又∵∠C=∠DFB=90°，BD=BD，
∴△DFB≌△DCB（AAS），
∴BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=EM+BC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定．
26．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）证明，利用线段和差解题即可；
（2）证明，利用线段和差解题即可；
（3）证明，利用线段和差解题即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∴
∴
∵等腰，
∴
∴，
∴
（2），理由为：
∵，，
∴
∴
∴
∵等腰，
∴
∴，
∴
（3）
∵，，
∴
∴
∴
∵等腰，
∴
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
27．(1)①，；②仍然成立，理由见解析
(2)当时，，理由见解析
【分析】本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是证明全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．
（1）①根据，，，运用“”证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段、之间的关系；
②先根据“”证明，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到（1）中的结论仍然成立．
（2）过点A作交的延长线于点G，证明，根据对应角相等即可得出结论．
【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是．
理由：
，，
．
又，，
，
且．
，
，即．
故答案为：，；
②都成立
，
，
在与中，
，
，，
，即．
（2）解：当时，．
理由：过点A作交的延长线于点G，则，
∵，
∴，
∴
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，即．
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