人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形基础证明题训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形基础证明题训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-28 18:22:34 | ||
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文档简介
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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形基础证明题训练
1．如图，四边形中，平分．
(1)求证：；
(2)求和的数量关系，并写出证明过程．
2．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
3．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接．且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
4．如图，，平分，点在上，连接，，过点作，，垂足分别为，，求证：．
5．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明．
6．如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
(1)；
(2)．
7．如图，中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，垂足为D，E，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
8．如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证：
(1)；
(2)如果，，，求的面积．
9．如图，在和中，点E在边上，，与交于点G．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
10．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的面积．
11．在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
12．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
13．已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点．
(1)若，，求的面积；
(2)求证：．
14．如图，在中，，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，．
(1)求证：．
(2)求证：．
15．如图，点，，，在同一直线上，点，在的两侧，，，．．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．如图，，E，F分别为线段上的两点，于E，于F，且，交于点M．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．已知：如图，在中，，，，、交于点．
(1)求证：；
(2)请判断与的大小关系并证明．
18．已知：如图，和都是等腰直角三角形，，为边上的一点．
求证：
(1)；
(2)．
19．如图，点，，，在一条直线上，与相交于点，其中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作．
(1)求证：
(2)若与交于点G，试证明平分；
22．如图1，和中，，，，连、．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于F，连，求的度数．
23．四边形中，，平分，于，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、利用邻补角的定义求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的性质定理得出，利用“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，利用邻补角的定义得出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴；
（2）解：，
证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而可得，最后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用（1）的结论即可解答．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），
，
∵
，
平分，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理：
（1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明；
（2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】（1）证明：是的角平分线，，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
4．见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
首先根据证明：，进而得出，再利用角平分线的性质得出．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
5．(1)见解析
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得．
（2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
．
（2），，理由如下：
由（1）知，，
；
，
，
，
，
，
则．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、垂直的定义，证明是解题的关键．
（1）先由，证明，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明．
（2）证明，即可由证明．
【详解】（1）解：，，
，
在和中，
，
；
（2），
，
于点，于点，
，
．
7．(1)见解析
(2)5
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．
（1）首先证明，然后再根据定理证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案．
【详解】（1）证明 ，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
（2）解：，
，，
．
8．(1)见解析
(2)14
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由可得，然后分别求得、，然后再根据求解即可．
【详解】（1）证明：平分，，，
、，
在和中．
，
，
；
（2）解：，，
，
、，
，，
，
．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的面积，解决问题的关键是理解全等三角形的面积相等，三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的三角形；
（1）由是的中点得，再根据得，，由此可得出结论；
（2）由（1）的结论得，由此可证和全等，则，进而得，根据是边上的中线得，则，然后求出的面积可得四边形的面积．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
是边上的中线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
11．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据，，利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得，根据已知条件得出，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴．
即．
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点；
（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）为中点，
，
在和中，
，
，
，
∴；
（2）平分，
，
，
，
，，
，
．
13．(1)的面积为6
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）如图作于N根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题；
（2）由推出，由，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过点D作于点N，
平分，，，
，
；
（2），
．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等角对等边，得到，结合，，得到，通过，即可求解，
（2）由，得到，，结合，得到，即可求解，
本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的根据；
（1）由，得，再利用证明；
（2）由（1）知，，，可知，再利用三角形外角的性质，从而得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
．
，
在与中，
，
，
（2）解：由（1）知，，
，，
，
，
，
又，
，
．
16．(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质：
（1）先证明，再根据证明，根据全等三角形对应边相等可得出；
（2）根据证明即可得出，代入数据可得结论．
【详解】（1）∵，
∴，即
在和中，
∴
∴；
（2）∵，，
∴,
在和中,
∴
∴
∴
17．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明．
【详解】（1）
证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）
解：，
证明如下：，
，
，
，
，
．
18．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“”证明，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
（2）先由等腰直角三角形的性质得，再由全等三角形的性质得，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，，
，，，
，
在和中，，
，
；
（2）是等腰直角三角形，，
，
由（1）得：，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．
（1）由得，根据得，即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵．
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，，
在中，，
．
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，解答的关键是结合图形分析清楚各边与各角之间的关系．
（1）由角平分线的定义可得，利用即可判定；
（2）由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，
【详解】（1）证明：平分，
，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
（1）求出，然后利用“”证明和全等；
（2）利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证．
【详解】（1）证明：，
，
即，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
在和中，
，
，
，
平分．
22．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键；
（1）根据得到，证明即可得到答案；
（2）过A作，交的延长线于M，于N，根据，得到，根据得到，从而得到，即可得到即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴；
（2）解：设交于O，过A作，交的延长线于M，于N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
23．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；，角平分线的性质，证明线段相等往往通过三角形全等来证明，还要运用相等的线段进行转移，这是很重要的方法，注意掌握．
（1）根据角平分线的性质可得到，根据余角的性质可得到，已知，从而利用即可判定．
（2）根据判定得，最后证得即可．
【详解】（1）平分，，
，
在与中，
∴；
（2）在与中，
，
，，
．
24．(1)见详解
(2)4
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定．
（1）可直接利用证明；
（2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间作差可得．
【详解】（1）证明：
在和中
（2）
．
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1．如图，四边形中，平分．
(1)求证：；
(2)求和的数量关系，并写出证明过程．
2．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
3．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接．且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
4．如图，，平分，点在上，连接，，过点作，，垂足分别为，，求证：．
5．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明．
6．如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
(1)；
(2)．
7．如图，中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，垂足为D，E，
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
8．如图，在中，是的平分线，于，于，在上，．求证：
(1)；
(2)如果，，，求的面积．
9．如图，在和中，点E在边上，，与交于点G．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
10．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的面积．
11．在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
12．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
13．已知：如图，为外角平分线上一点，且，于点．
(1)若，，求的面积；
(2)求证：．
14．如图，在中，，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且，．
(1)求证：．
(2)求证：．
15．如图，点，，，在同一直线上，点，在的两侧，，，．．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．如图，，E，F分别为线段上的两点，于E，于F，且，交于点M．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．已知：如图，在中，，，，、交于点．
(1)求证：；
(2)请判断与的大小关系并证明．
18．已知：如图，和都是等腰直角三角形，，为边上的一点．
求证：
(1)；
(2)．
19．如图，点，，，在一条直线上，与相交于点，其中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作．
(1)求证：
(2)若与交于点G，试证明平分；
22．如图1，和中，，，，连、．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于F，连，求的度数．
23．四边形中，，平分，于，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、利用邻补角的定义求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的性质定理得出，利用“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，利用邻补角的定义得出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴；
（2）解：，
证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而可得，最后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用（1）的结论即可解答．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），
，
∵
，
平分，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理：
（1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明；
（2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】（1）证明：是的角平分线，，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
4．见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．
首先根据证明：，进而得出，再利用角平分线的性质得出．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
5．(1)见解析
(2)，，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得．
（2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
．
（2），，理由如下：
由（1）知，，
；
，
，
，
，
，
则．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、垂直的定义，证明是解题的关键．
（1）先由，证明，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明．
（2）证明，即可由证明．
【详解】（1）解：，，
，
在和中，
，
；
（2），
，
于点，于点，
，
．
7．(1)见解析
(2)5
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．
（1）首先证明，然后再根据定理证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案．
【详解】（1）证明 ，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
（2）解：，
，，
．
8．(1)见解析
(2)14
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据角平分线的性质可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由可得，然后分别求得、，然后再根据求解即可．
【详解】（1）证明：平分，，，
、，
在和中．
，
，
；
（2）解：，，
，
、，
，，
，
．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的面积，解决问题的关键是理解全等三角形的面积相等，三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的三角形；
（1）由是的中点得，再根据得，，由此可得出结论；
（2）由（1）的结论得，由此可证和全等，则，进而得，根据是边上的中线得，则，然后求出的面积可得四边形的面积．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
是边上的中线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
11．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据，，利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得，根据已知条件得出，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴．
即．
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点；
（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）为中点，
，
在和中，
，
，
，
∴；
（2）平分，
，
，
，
，，
，
．
13．(1)的面积为6
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）如图作于N根据角平分线的性质定理可得，由此即可解决问题；
（2）由推出，由，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过点D作于点N，
平分，，，
，
；
（2），
．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等角对等边，得到，结合，，得到，通过，即可求解，
（2）由，得到，，结合，得到，即可求解，
本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的根据；
（1）由，得，再利用证明；
（2）由（1）知，，，可知，再利用三角形外角的性质，从而得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
．
，
在与中，
，
，
（2）解：由（1）知，，
，，
，
，
，
又，
，
．
16．(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质：
（1）先证明，再根据证明，根据全等三角形对应边相等可得出；
（2）根据证明即可得出，代入数据可得结论．
【详解】（1）∵，
∴，即
在和中，
∴
∴；
（2）∵，，
∴,
在和中,
∴
∴
∴
17．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明．
【详解】（1）
证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）
解：，
证明如下：，
，
，
，
，
．
18．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“”证明，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
（2）先由等腰直角三角形的性质得，再由全等三角形的性质得，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，，
，，，
，
在和中，，
，
；
（2）是等腰直角三角形，，
，
由（1）得：，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．
（1）由得，根据得，即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
，
∵．
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，，
在中，，
．
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，解答的关键是结合图形分析清楚各边与各角之间的关系．
（1）由角平分线的定义可得，利用即可判定；
（2）由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，
【详解】（1）证明：平分，
，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
（1）求出，然后利用“”证明和全等；
（2）利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证．
【详解】（1）证明：，
，
即，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
在和中，
，
，
，
平分．
22．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键；
（1）根据得到，证明即可得到答案；
（2）过A作，交的延长线于M，于N，根据，得到，根据得到，从而得到，即可得到即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴；
（2）解：设交于O，过A作，交的延长线于M，于N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
23．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；，角平分线的性质，证明线段相等往往通过三角形全等来证明，还要运用相等的线段进行转移，这是很重要的方法，注意掌握．
（1）根据角平分线的性质可得到，根据余角的性质可得到，已知，从而利用即可判定．
（2）根据判定得，最后证得即可．
【详解】（1）平分，，
，
在与中，
∴；
（2）在与中，
，
，，
．
24．(1)见详解
(2)4
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定．
（1）可直接利用证明；
（2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间作差可得．
【详解】（1）证明：
在和中
（2）
．
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