人教版八年级上册数学第十二章全等三角形--角平分线的性质专题训练（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形--角平分线的性质专题训练
一、单选题
1．如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
2．依据下图的尺规作图判断下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，是的角平分线，，若，则点 D到的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，平分，于点E，，则的长是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，是的角平分线，于点E，于点F，若，的面积为14，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
6．如图， 的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为4，则点P到的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．3.2 D．4
8．如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为的面积记为的面积记为，关于之间的大小关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（ ）
A．23 B．34 C．39 D．46
10．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点，当，的面积为时，的长为 ．
12．如图，已知的周长是22，、分别平分和，于D，且，的面积是 ．
13．如图，射线是的角平分线， 点为射线上一点，于点， 若点是射线上一点，， 则的面积为 ．
14．如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ．
15．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，，则的面积是 ．
16．如图，在四边形中，，与的平分线交于点，点刚好落在上，若，则点到边的距离为 ．
17．如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
18．如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
19．如图，在中，是它的角平分线，点P是线段上的任一点（不与A、D重合），，交于点E，，交于点F，若点D到的距离为3，，则 ．

20．的角平分线与角平分线交于点F，连接，若，，则为 度．
三、解答题
21．如图，是AD中点，平分．

(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
22．如图，于E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
23．如图所示，在四边形中，，E为的中点，连接、，延长交的延长线于点F．
(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，则吗？为什么？
(3)在（2）的条件下，若，，求点E到的距离．
24．如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：平分．
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长．
【详解】解：平分，，，
，
在和中，
，
，
，
的周长，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
故选：B
2．C
【分析】本题考查了尺规作角平分线及全等三角形的判定及性质，熟练掌握尺规作角平分线是解题的关键．由作图可得，，故、选项正确，证，得故选项正确，不能确定，从而不能确定，故不一定成立．
【详解】解：由作图可得，，故、选项正确，
∵，
∴，
∴故选项正确，
不能确定，
∴不能确定，故不一定成立，
故选：．
3．C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，先过作于，根据“角平分线上的点到角两边的距相等”，即可得出答案，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，是的角平分线，
∴，
∴点 D到的距离为；
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D作于点F，根据角平分线的性质可得，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点F，
∵平分，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，再根据求解即可．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∵，
即，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】过P点作于F，于G，于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过P点作于F，于G，于H，
∵点P是的外角的平分线与的交点，
∴，，
，
∵点P到的距离为4，
，
，
点P到的距离为4．
故选：A
7．B
【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再根据即可求解．
【详解】解：平分，，，
，
，
，
解得，
故选B．
8．C
【分析】此题考查角平分线的性质和三角形的三边关系，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．
根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：点O是三条角平分线的交点，
和和的高相等，
的面积记为，的面积记为，的面积记为，设高为h
，，
由的三边关系得：，
，
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．
过点O作于E，于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得，再根据三角形面积计算即可．
【详解】解：如图: 过点O作于E，于F，
的平分线交于O，，，，
∴，，
∴，
∴的面积．
故选D．
10．C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确．
【详解】解：∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∴，故①错误；
过O点作于P，

∵平分，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，分别是与的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点H，使，

∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于N，于M，

∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．
11．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点作于，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到，牢记“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵，的面积为，
∴，
∴，
∵是边上的高线，的平分线交于点，
∴，
故答案为：．
12．33
【分析】本题考查的是角平分线的性质，割补法求解三角形的面积，熟记角平分线的性质定理是解本题的关键．
如图，连接，由、分别平分和，可得点O到、、的距离都相等，再利用可得答案．
【详解】解：如图，连接，

∵、分别平分和，
∴点O到、、的距离都相等，
∵的周长是22，于D，且，
∴．
故答案为：33．
13．15
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
过点D作于E，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵射线是的角平分线，，
，
，
故答案为：15．
14．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵平分，，
∴，
∴的面积，
故答案为：．
15．21
【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点G作于点H，
由作图可得，为的平分线，
∵，
∴，
∴．
故答案为：21．
16．3
【分析】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
过点E作交于点F，根据角平分线的性质得到，，得到，然后由求解即可．
【详解】如图所示，过点E作交于点F
∵与的平分线交于点，，
∴，
∴
∵
∴
∴．
∴点到边的距离为3．
故答案为：3．
17．30
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作于M，于N，连接，利用角平分线的性质求得，然后利用求解即可．
【详解】解：过O作于M，于N，连接，
∵点O到边的距离为3，
∴，
∵的周长为20，
∴
∵，的平分线交于点O，，，
∴，
∴
，
故答案为：30．
18．
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接，根据角平分线的性质，可得点到的距离相等，则可得的面积，再根据，求得的面积，根据求得和的面积，即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得四边形的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
的平分线交于点，
点到的距离相等，
，
，
的面积为4，
,
，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
19．9
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积．利用角平分线的性质求得的边的高是解题的关键．
过点P作，垂足为M，，垂足为N，先由平行线的性质与角平分线证明，再利用角平分线的性质证明，求得，即可由三角形面积公式求解．
【详解】过点P作，垂足为M，，垂足为N，如图，
是的角平分线，
，
，，
，，
，
，，
，
点D到的距离为3，
，
，
点D到PF的距离为3，
∴，
故答案为：9．
20．40
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，作于M，于N，于P，根据角平分线的性质与判定可证平分．利用证明，得出，再证明．根据角平分线的定义求出，进而求出．
【详解】解：如图，作于M，于N，于P，
∵的角平分线与角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴平分．
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：40．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键．
（1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论；
（2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．
【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，

∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴：平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴
22．(1)见解析
(2)6
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键．
（1），则，根据角平分线的判定即可得到结论；
（2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又，
∴平分；
（2）解：由（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
23．(1)；见解析
(2)；见解析
(3)3
【分析】（1）根据可知，再根据E是的中点可求出，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论；
（3）在（2）的条件下有，得到，根据角平分线的性质即可得到结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵在与中
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴，，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在（2）的条件下有，
∴，
∴E到的距离等于E到的距离，
∵，，
∴点E到的距离为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，点到直线的距离，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，利用SAS证明是解题的关键．
（1）欲证明，只要证明；
（2）由，推出，由，，又，，可得
（3）过B分别作，垂足分别为P，Q，根据可得，，可得，进而可证明结论．
【详解】（1），
，即，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，，
又，，
，
．
（3）过B分别作，垂足分别为P，Q，

∵，
∴，
∴，
∴B点在的平分线上，
即平分．
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