人教版八年级上册数学第十三章 轴对称证明题训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学第十三章 轴对称证明题训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-28 18:23:40 | ||
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文档简介
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人教版八年级上册数学第十三章轴对称证明题训练
1．如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，在边上取一点F，使，连接．
(1)求证：；
(2)试探究线段与长的数量关系，并对结论给予证明．
2．如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求．
3．如图，四边形中，，，交于．
(1)求证：平分；
(2)若，，求．
4．在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求证：平分．
5．如图，点是等边内一点，连接，，延长到点，使．延长到点，使，连接，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
6．已知，如图中，，垂直平分交于点，试说明：
(1)
(2)如图（2），若于点，与相交于点，试说明：
(3)在（1）（2）条件下，若平分，试说明：
7．如图，在中，，E，F分别在三边上，且，，G为的中点．
(1)若，求的度数；
(2)试说明：垂直平分．
8．如图，在中，，点D在线段上，．
(1)求证：．
(2)当时，求的度数．
9．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，垂足为点G，．
(1)说明的理由；
(2)若，请说明的理由．
10．如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．
(1)证明：；
(2)求的度数．
11．如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
12．如图，在 中， 点E在边上，点F在的延长线上，且
(1)求证:
(2)若 求 的度数．
13．如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点．
求证：
(1)是等腰三角形；
(2)
14．如图，在中，，点D，E在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
15．如图，在中，，是边上的高，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，．
(1)试说明：，
(2)判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
16．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
17．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若于，，，求的长．
18．如图，为线段的垂直平分线，在线段上取一点E，使得，在线段上取一点F，使得，连接，．若．
(1)求的度数；
(2)判定与的数量关系，并说明理由．
19．已知，是等边三角形，过点作，连接交于点，且．
(1)如图①，求证：垂直平分；
(2)如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且．
求证：．
20．如图，在中，，分别是，两条边上的高，点在上满足，点在的延长线上满足，连接，．
(1)求证：；
(2)若连接，，请判断的形状，并直接写出结论．
21．如图1，在等边三角形中，点D在上，点E在上，，交于点F，于点G，延长交于点H，．
(1)求证：．
(2)如图2，连接，若，求证：点F是的中点．
22．如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交于点、交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
23．如图，中，，平分，于E．求证：
(1)；
(2)直线是线段的垂直平分线．
24．如图，在中，平分于点平分，交于点，交于点交于点．
(1)求证：；
(2)判断直线与线段之间的关系，并说明理由．
25．如图，在中，的平分线交于点，点为上一点，连接，．
(1)试说明是线段的垂直平分线；
(2)若点在延长线上，连接，且满足．求证：．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）延长交于H，则、，进而证得，可得和，再结合运用全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图：延长交于H，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定及性质，线段的垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形全等的判定与性质是解本题的关键．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、同角的余角相等、三角形内角和定理，熟练掌握并应用上述知识是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等可得，再加上两组边对应相等即可证明；
（2）由全等三角形的性质可得对应的边、角相等，再加上由等腰三角形求出的底角度数即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，
，，
又，
，
．
3．(1)证明见解答
(2)
【分析】（1）作于点，交的延长线于点，可证明，得，则点在的平分线上，所以平分；
（2）先证明，得，由，求得，则，所以．
【详解】（1）证明：作于点，交的延长线于点，则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）得，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
（1）根据证明与全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：设交于点G，如图，
由（1）得，
∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
5．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（）先利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（）先利用等边三角形的性质可得，，从而利用平角定义可得，再利用等量代换可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据垂直平分线得到，，进而证明，即可得出结论；
（2）由直角三角形两锐角互余，得出，进而得到，再利用“”即可证明全等；
（3）结合角平分线的定义，易证，得到，再根据（2）可知，，即可证明结论．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
，，
,
，
，
在和中，
，
；
（3）证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
由（2）可知，，
，
．
7．(1)
(2)见解析
【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质，垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理等几何知识点来分析、判断、解答．
（1）如图，首先证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题；
（2）如图，作辅助线；首先证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：因为所以，
因为，所以；
（2）如图，连接，
在和中，
，
所以，
所以，
因为G为的中点，所以 ，
所以垂直平分．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得到，由即可证明；
（2）先求出，得到，由，得到，则，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴是等腰三角形，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质：
（1）由等腰三角形的性质可得，且．可得结论；
（2）由外角性质可得，由“”可证，可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵．
∴；
（2）∵，
∴，
∵，且，
∴，且，
∴
∴．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）证明，即可得出结论；
（2）根据，得到，利用三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
（2）解：如图，由（1）得，
∴，
∵，
∴
，
∴．
11．(1)详见解析
(2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论；
（2）根据列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用证明，即可得证；
（2）利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用（1）中可得出，即可求解。
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
13．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．
（1）由可得，结合，可推出，进而得到，即可证明；
（2）由（1）知，，可证明，根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）由（1）知，，
，，
，
．
14．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握相关的性质与判定是解答此题的关键．
（1）先根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定证明，得，从而得证；
（2）利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质与三角形内角和定理即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）由题意易证是等腰三角形，根据是边上的高，推出是的垂直平分线，得到，，利用即可证明；
（2）由（1）得到，再根据垂直平分线的性质得到，进而推出
【详解】（1）证明：，
是等腰三角形，
是边上的高，
是的垂直平分线，
，，
，
；
（2）证明：由（1），
是的垂直平分线，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知
（2）设，由（1）可知，然后根据的内角和为列出方程即可求出x的值．
【详解】（1）证明：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴
∵D是的中点，
∴；
（2）解：设
∵
∴°
∴由三角形的外角的性质，
∵，
∴
在中，
解得，
∴
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质得出，，利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，结合三角形外角的定义及性质即可得出答案；
（3）由含角的直角三角形的性质得出，再由即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)
(2)与的数量关系是：，详见解析
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线性质得，，，则，，由此的，进而可得出的度数；
（2）根据，得，，，则，再根据，得，则，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系．
【详解】（1）∵为线段的垂直平分线，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）与的数量关系是：，理由如下：
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，解决此题的关键是掌握等边三角形的相关性质并灵活的应用．
（1）根据等边三角形的性质证明即可；
（2）可得，由，则．
【详解】（1）证明：是等边三角形，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
垂直平分；
（2）证明：由（1）知垂直平分，
，
，
．
20．(1)证明见解析
(2)是等腰直角三角形
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形外角的性质，
（1）根据三角形高的定义得，继而得到，再结合已知，，根据“”即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得，，证明，可得结论；
掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，分别是，两条边上的高，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形．
理由：由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由可证，可得；
（2）延长交于点Q，由可证，可得，由可证，可得，可得结论．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如图，延长交于点Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点F是的中点．
22．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）由垂直平分线的性质知，，由等边对等角知，；
（）由垂直平分线的性质知，，则，由平分，则有，可得，再根据平行线的判定即可求证；
本题考查了垂直平分的性质，角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定；
（1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明；
（2）根据垂直平分线的判定证明即可．
【详解】（1）证明：∵，平分，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线．
24．(1)见解析
(2)垂直平分， 理由见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由可得，由证明，然后根据等量代换即可证明结论；
（2）由平分线的性质可得，再证明可得 最后利用等腰三角形的性质的三线合一即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：垂直平分， 理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵平分，
∴垂直平分．
25．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）证明，则，根据等腰三角形的性质即可求证；
（2）证明，则，即可求证．
【详解】（1）证明：平分，
．
在和中，
．
∴，
∵，
∴，
是线段的垂直平分线；
（2）证明：在和中，
．
．
．
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人教版八年级上册数学第十三章轴对称证明题训练
1．如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，在边上取一点F，使，连接．
(1)求证：；
(2)试探究线段与长的数量关系，并对结论给予证明．
2．如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求．
3．如图，四边形中，，，交于．
(1)求证：平分；
(2)若，，求．
4．在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求证：平分．
5．如图，点是等边内一点，连接，，延长到点，使．延长到点，使，连接，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
6．已知，如图中，，垂直平分交于点，试说明：
(1)
(2)如图（2），若于点，与相交于点，试说明：
(3)在（1）（2）条件下，若平分，试说明：
7．如图，在中，，E，F分别在三边上，且，，G为的中点．
(1)若，求的度数；
(2)试说明：垂直平分．
8．如图，在中，，点D在线段上，．
(1)求证：．
(2)当时，求的度数．
9．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，垂足为点G，．
(1)说明的理由；
(2)若，请说明的理由．
10．如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点H．
(1)证明：；
(2)求的度数．
11．如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
12．如图，在 中， 点E在边上，点F在的延长线上，且
(1)求证:
(2)若 求 的度数．
13．如图，在中，，点、分别在边、上，且，与相交于点．
求证：
(1)是等腰三角形；
(2)
14．如图，在中，，点D，E在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
15．如图，在中，，是边上的高，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，．
(1)试说明：，
(2)判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
16．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
17．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若于，，，求的长．
18．如图，为线段的垂直平分线，在线段上取一点E，使得，在线段上取一点F，使得，连接，．若．
(1)求的度数；
(2)判定与的数量关系，并说明理由．
19．已知，是等边三角形，过点作，连接交于点，且．
(1)如图①，求证：垂直平分；
(2)如图②，点在的延长线上，点在线段上，连接，，，且．
求证：．
20．如图，在中，，分别是，两条边上的高，点在上满足，点在的延长线上满足，连接，．
(1)求证：；
(2)若连接，，请判断的形状，并直接写出结论．
21．如图1，在等边三角形中，点D在上，点E在上，，交于点F，于点G，延长交于点H，．
(1)求证：．
(2)如图2，连接，若，求证：点F是的中点．
22．如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交于点、交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
23．如图，中，，平分，于E．求证：
(1)；
(2)直线是线段的垂直平分线．
24．如图，在中，平分于点平分，交于点，交于点交于点．
(1)求证：；
(2)判断直线与线段之间的关系，并说明理由．
25．如图，在中，的平分线交于点，点为上一点，连接，．
(1)试说明是线段的垂直平分线；
(2)若点在延长线上，连接，且满足．求证：．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）延长交于H，则、，进而证得，可得和，再结合运用全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图：延长交于H，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定及性质，线段的垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形全等的判定与性质是解本题的关键．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、同角的余角相等、三角形内角和定理，熟练掌握并应用上述知识是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等可得，再加上两组边对应相等即可证明；
（2）由全等三角形的性质可得对应的边、角相等，再加上由等腰三角形求出的底角度数即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，
，，
又，
，
．
3．(1)证明见解答
(2)
【分析】（1）作于点，交的延长线于点，可证明，得，则点在的平分线上，所以平分；
（2）先证明，得，由，求得，则，所以．
【详解】（1）证明：作于点，交的延长线于点，则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）得，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
（1）根据证明与全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：设交于点G，如图，
由（1）得，
∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
5．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（）先利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（）先利用等边三角形的性质可得，，从而利用平角定义可得，再利用等量代换可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据垂直平分线得到，，进而证明，即可得出结论；
（2）由直角三角形两锐角互余，得出，进而得到，再利用“”即可证明全等；
（3）结合角平分线的定义，易证，得到，再根据（2）可知，，即可证明结论．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
，，
,
，
，
在和中，
，
；
（3）证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
由（2）可知，，
，
．
7．(1)
(2)见解析
【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质，垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理等几何知识点来分析、判断、解答．
（1）如图，首先证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题；
（2）如图，作辅助线；首先证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：因为所以，
因为，所以；
（2）如图，连接，
在和中，
，
所以，
所以，
因为G为的中点，所以 ，
所以垂直平分．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得到，由即可证明；
（2）先求出，得到，由，得到，则，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴是等腰三角形，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质：
（1）由等腰三角形的性质可得，且．可得结论；
（2）由外角性质可得，由“”可证，可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵．
∴；
（2）∵，
∴，
∵，且，
∴，且，
∴
∴．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）证明，即可得出结论；
（2）根据，得到，利用三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
（2）解：如图，由（1）得，
∴，
∵，
∴
，
∴．
11．(1)详见解析
(2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论；
（2）根据列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用证明，即可得证；
（2）利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用（1）中可得出，即可求解。
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
13．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．
（1）由可得，结合，可推出，进而得到，即可证明；
（2）由（1）知，，可证明，根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）由（1）知，，
，，
，
．
14．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握相关的性质与判定是解答此题的关键．
（1）先根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定证明，得，从而得证；
（2）利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质与三角形内角和定理即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）由题意易证是等腰三角形，根据是边上的高，推出是的垂直平分线，得到，，利用即可证明；
（2）由（1）得到，再根据垂直平分线的性质得到，进而推出
【详解】（1）证明：，
是等腰三角形，
是边上的高，
是的垂直平分线，
，，
，
；
（2）证明：由（1），
是的垂直平分线，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知
（2）设，由（1）可知，然后根据的内角和为列出方程即可求出x的值．
【详解】（1）证明：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴
∵D是的中点，
∴；
（2）解：设
∵
∴°
∴由三角形的外角的性质，
∵，
∴
在中，
解得，
∴
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质得出，，利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，结合三角形外角的定义及性质即可得出答案；
（3）由含角的直角三角形的性质得出，再由即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)
(2)与的数量关系是：，详见解析
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线性质得，，，则，，由此的，进而可得出的度数；
（2）根据，得，，，则，再根据，得，则，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系．
【详解】（1）∵为线段的垂直平分线，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）与的数量关系是：，理由如下：
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，解决此题的关键是掌握等边三角形的相关性质并灵活的应用．
（1）根据等边三角形的性质证明即可；
（2）可得，由，则．
【详解】（1）证明：是等边三角形，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
垂直平分；
（2）证明：由（1）知垂直平分，
，
，
．
20．(1)证明见解析
(2)是等腰直角三角形
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形外角的性质，
（1）根据三角形高的定义得，继而得到，再结合已知，，根据“”即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得，，证明，可得结论；
掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，分别是，两条边上的高，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形．
理由：由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由可证，可得；
（2）延长交于点Q，由可证，可得，由可证，可得，可得结论．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如图，延长交于点Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点F是的中点．
22．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）由垂直平分线的性质知，，由等边对等角知，；
（）由垂直平分线的性质知，，则，由平分，则有，可得，再根据平行线的判定即可求证；
本题考查了垂直平分的性质，角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定；
（1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明；
（2）根据垂直平分线的判定证明即可．
【详解】（1）证明：∵，平分，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线．
24．(1)见解析
(2)垂直平分， 理由见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由可得，由证明，然后根据等量代换即可证明结论；
（2）由平分线的性质可得，再证明可得 最后利用等腰三角形的性质的三线合一即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：垂直平分， 理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵平分，
∴垂直平分．
25．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）证明，则，根据等腰三角形的性质即可求证；
（2）证明，则，即可求证．
【详解】（1）证明：平分，
．
在和中，
．
∴，
∵，
∴，
是线段的垂直平分线；
（2）证明：在和中，
．
．
．
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