人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合压轴题专题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合压轴题专题训练
1．综合与探究
如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
(3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的关系解析式；
(2)点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点 、，其顶点为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的面积．
(3)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点 D ，求线段的最大值及此时点的坐标．
5．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的面积等于的面积的时，求的值；
(3)在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m．
①求线段的长（用含m的代数式表示）；
②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
8．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点在抛物线上，当m取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答：
(1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，求抛物线的解析式；
(2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值；
(3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝上下滑动，点Q，A，C构成，是否存在某一时刻，使为直角三角形．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求的值．
(2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值．
(3)若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标．
11．如图1，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是第一象限抛物线上的一点，连接．且，试求点P的坐标？
(3)如图3，定长为1的线段MN在抛物线的对称轴上上下滑动，连接．记，试问：m是否有最小值？如果有，请求m的最小值；如果没有，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积．
(3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？
13．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当时，求的面积；
(3)当时，求点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标；
(3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线相交于B、C两点，与x轴交于点．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值．
(3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
17．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，点P为直线L上方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若过点C的直线交线段于点M，且，求直线的解析式；
(3)如图2，过P点作轴交直线AC于点E，连接．当为直角三角形时，求点P的坐标．
18．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
(1)________；
(2)如图，已知点A的坐标是．
①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；
②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．
19．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；
(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
21．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．
(1)求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
(2)根据图象回答：当取何值时，与？
(3)在该抛物线的对称轴上有一动点，连接和．试问：是否存在的最小值？如有，求出点的坐标．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，．点D是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线交直线于点F．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，当点D在第一象限时，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接，作点F关于直线的对称点，当点落在y轴上时，写出所有符合条件的四边形的周长，并写出求四边形的周长的其中一种情况的过程．
23．如图，已知抛物线的顶点为，且通过点．
(1)求顶点的坐标；
(2)点为直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)在抛物线上存在一点，使得，求点坐标．
24．如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标．
(4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．(1)
(2)当时，S有最大值，S的最大值为
(3)存在，点M的坐标为或 或
【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案；
（2）过点P作x轴的垂线交线段于Q，再根据，根据二次函数的性质即可得答案；
（3）分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别求解即可得答案．
【详解】（1）将点代入得，
，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴，交于点Q，
如图，抛物线与y轴交点，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴的面积为，
∴当时，S有最大值，S的最大值为；
（3）存在．
①如图2，当四边形 为平行四边形时，．
∵抛物线的对称轴为直线，点．
∴点；
②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，．
设点，
∴，解得，，
∴点 或，
综上所述，点M的坐标为或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
2．(1)
(2)存在点，使面积最大
(3)存在，
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）设点P坐标为，连接，作轴于M，轴于N．根据，最后利用二次函数的性质求解即可．
（3）假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况①若平行于x轴，②若不平行于x轴，分别画出图形，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将，两点带入可得：
解得：
∴二次函数解析式为；
（2）设点P坐标为，如图连接，作轴于M，轴于N．
，，．
当时，，
∴
∴
，
∵，
∴函数有最大值，当时，有最大值，
此时；
∴存在点，使面积最大．
（3）存在，
假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点
此时
∵轴，
∴点M、点关于对称轴对称，
∴，
∴．由，
∵
∴；
②若不平行于x轴，如下图，过点M作轴于点G，
则
∵，且，
∴，
∴，
∴，，即．
设，
则有，
解得：．
又，
∴，
∴，
综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数求三角形面积的最值， 二次函数和四边形的综合问题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
3．(1)
(2)或
(3)存在，点P的坐标为
【分析】（1）将代入得，，计算求解，进而可得抛物线的解析式；
（2）当时，，即，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，，由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可；
（3）如图，在上取点，使，连接，证明，则，由，可得，则，如图，作关于直线的对称点，连接，，则，，，可得，即当时，为直线与抛物线的交点，由（2）可知，是抛物线上的点，进而可知重合，然后作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，即，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，，，
由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解；
当时，，
∴，
解得，或（舍去）或（舍去），
∴；
当时，，
∴轴，
把代入，得，
∴，，
∴，成立；
综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或；
（3）解：如图，在上取点，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，作关于直线的对称点，连接，，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，为直线与抛物线的交点，
由（2）可知，是抛物线上的点，
∴重合，
∴存在点P，使得，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与相似综合，二次函数与角度综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
4．(1)
(2)3
(3)最大值为2.25，此时
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法、三角形的面积公式解二次函数的性质是解题的关键．
（1）先求出、的坐标，再根据待定系数法求解；
（2）求得的解析式为，得，根据三角形的面积为求解；
（3）先求得的解析式，设点，则，求出长度的表达式，再根据二次函数的性质求出的最大值，此时的值就是的横坐标，进而求出其纵坐标．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴，，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由抛物线的顶点式得：，
设的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：，
令与轴交于点，
当时，，
解得：，则，
∴的面积为：；
（3）设的解析式为：，
则：，
解得：，
∴的解析式为：，
∴点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴，
设点，（）
则，
∴，
∴当时，有最大值，为2.25，
，
此时．
5．(1)
(2)3
(3)点的坐标为或或，或，．
【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可；
（2）过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的函数表达式为，则点的坐标为，点的坐标为，求出，解方程即可；
（3）求出点的坐标为，分三种情况，①当为对角线时，证出轴，则点与点关于直线对称，得出求出，即可得出答案；
②当为对角线时，由①得，，由平行四边形的性质得出，进而得出答案；
③当为对角线时，点与点的纵坐标互为相反数，，或，，再分两种情况解答即可．
【详解】（1）由题意得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
（2）过点作轴于，交于，过点作交的延长线于，如图1所示：
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，
当时，，
解得：，，
点的坐标为，
设直线的函数表达式为：，
则，
解得：，
直线的函数表达式为：，
点的横坐标为，
点的坐标为：，
点的坐标为：，
，，，
，
，
解得：（不合题意舍去），，
的值为3；
（3）由（2）得：，，
点的坐标为：，
分三种情况讨论：
当为对角线时，如图2所示：
四边形是平行四边形，
，
轴，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
；
②当为对角线时，如图3所示：
由①得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
；
③当为对角线时，
四边形是平行四边形，
，，
，
点与点的纵坐标互为相反数，
点，
点的纵坐标为：，
将代入中，
得：，
解得：，，
当时，如图4所示：
则，，
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，；
当时，如图5所示：
则，，
同理得点，；
综上所述，点的坐标为或或，或，．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
6．(1)
(2)
(3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或
【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解；
（2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可；
（3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可．
【详解】（1）解：把点代入抛物线得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在，当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
（3）解：①∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是抛物线的一点，且横坐标为，
∴，
∴，
∵过点作轴于点，
∴，
∴，
∴；
②设直线的解析式为，
把代入中得，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在直线的图象上，且点的横坐标为，
∴，
由①得，，点，
∴，
设，
∵点的纵坐标相同，
∴轴，，
当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示，
∴，
解得，；
当为正方形的对角线时，连接，交于点Q，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴四边形是矩形，则，
∴，
解得，；
综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式；
（2）求出，可得，，，求出直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案．
【详解】（1）解：把，代入得：
解得：
抛物线的函数表达式为；
（2）如图：

在中，令，得，
，
，，
，，，
设直线函数表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线函数表达式为，
设，
点在直线上，令，则，
得，
则，
，
轴，
，
，
，
，即，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
；
（3）直线函数表达式为，
将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，
新抛物线函数表达式为
新抛物线和原抛物线交于点
解得（舍去）或，
新抛物线解析式为
新抛物线对称轴是直线
点M是新抛物线对称轴上的一点，
设
在中，令，得
，
，，
①若为腰，则
解得
②若为腰，则
解得或
或
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
8．(1)，，
(2)当时，
(3)或或
【分析】（1）将及代入抛物线的解析式，进而求得结果；
（2）连接，设点，分别表示出，计算出，根据，从而得出的函数关系式，进一步求得结果；
（3）可分为和的情形．当时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时， ，
∴，
∴；
（2）方法一：如图1，

连接，设点 ，
∴，
，
∵，
∴
，
∴当时， ；
方法二：如图2，

作于Q，交于点D，
∵，
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
（3）如图3，

当时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴F1点的坐标：，
如图4，

当时，
作于G，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．
9．(1)
(2)最大面积为
(3)点的坐标为，，或
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可；
（2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值；
（3）根据题意，设，分三种情况讨论，分别以为直角顶点，根据勾股定理即可求解
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
设抛物线解析式为，将代入得：
解得
抛物线解析式为
即
（2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，
，
则直线的解析式为
设，则
当时，最大，最大值为
（3）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为
设，
则，
①如图，当时，，
解得
②如图，当时，，
解得
③如图，当时，，
∴，
解得
综上所述，点的坐标为，，或；
【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，勾股定理，一元二次方程的解法，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．(1)
(2)的最大值为
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）过点作轴，将的长度用二次函数表示，即可求出最大值，从而求得线段的最大值；
（3）分两种情况进行讨论，求出点的坐标．
【详解】（1）解：由题意可得点的坐标为，
∴，
解得；
（2）解：过点作轴于点，
当时，，
∴点的坐标为，，
当时，，，
∴点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵点在抛物线上，
∴设，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为；
（3）解：设，
情况一：当时，过点作轴于点，，
∵，，
∴，
解得（舍去），，
∴，，
∴，；
情况二：当时，过点作轴于点，，
∵，，
∴，
解得（舍去），，
∴，，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数最值问题，二次函数与四边形结合，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
11．(1)
(2)P点坐标为或
(3)m有最小值，
【分析】本题主要考查二次函数，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据平行于的直线上两点间的距离，求出的长，根据面积和差列出方程即可求解．
（3）根据平行的性质，将平移到上，根据轴对称的性质得出的对称点，根据两点间线段最短，由勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：由，，得
，
即，
把A，B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：作轴交于M点，如图1
由，得的解析式为，
设P点坐标为．
的长为，
，
；
由，得
．
化简，得，解得，
点坐标为或；
（3）解：m有最小值，理由如下：
在上作，如图2
作关于对称轴的对称点，连接，
取得最小值为．
在中，由勾股定理，得
，
．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把、两点的坐标代入求出和的值即可求出抛物线的解析式；
（2）先得出点的坐标为，再结合三角形面积公式，以为底，到的距离为，代入面积公式计算，即可作答．
（3）易得关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为点M，连接，运用待定系数法解的解析式为，令，则，即可作答．
此题考查了二次函数图象上的坐标特征，待定系数法求函数的解析式；轴对称性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：连接，如图所示：
当时，，
故点的坐标为，
，两点的纵坐标相同，
轴，
点到的距离为，
．
（3）解：∵，，，
∴关于对称轴对称，
∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接，
此时周长最小，
∵， ，
设的解析式为，
把和分别代入，
得出，
解得，
∴的解析式为，
令，则，
∴．
13．(1)
(2)3
(3)或
(4)的值是或
【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答；
（2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积；
（3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可；
（4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答．
【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵点是抛物线上的动点，，
∴，
∴，
设的解析式为：，与轴交于点，
把和代入得：，
∴，
∴的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
∴的面积；
（3）解：如图1，当点位于直线下方时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可求得的解析式为：，
∴，
解得：（舍），，
∴；
当点位于直线上方时，作轴于，于，
则，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时，即．
综上，或．
（4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
由题意得：，
∵，
∴抛物线对称轴是直线，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（如图3），；
如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
同理可得：，
∴，
∴，
解得：，，
综上，的值是或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
14．(1)
(2)D的坐标为：
(3)存在，点F的坐标为：或或
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，即可求解；
（3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，
理由：为最小，
对称轴为，由点的对称性知，点的对称点D的坐标为：；
（3）存在，理由：
令，则，
解得或，
∴点，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，
由点A、C、F的坐标得，，
同理可得：，
当时，
则，
解得：（舍去）或2，
即点；
当或时，
同理可得：或，
解得：（舍去）或或；
综上，点F的坐标为：或或．
15．(1)
(2)的最大值为
(3)存在，点N的坐标为或或或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）设，先求得抛物线的对称轴是直线，设直线交x轴于点G，则，轴，作于点F，可证明，再分四种情况讨论即可．
【详解】（1）直线相交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：、，
则抛物线的表达式为，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）如图1，设，
∵轴交直线BC于点D，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
∴的最大值为．
（3）存在，设，
∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
设直线交x轴于点G，则，轴，
作于点F，则，，
如图2，点M在x轴上方，且点N在直线左侧，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
如图3，点M在x轴上方，且点N在直线右侧，
同理可得，
∴，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
如图4，点M在x轴下方，且点N在直线右侧，
同理可得，
∴，，
∴，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
如图5，点M在x轴下方，且点N在直线左侧，
同理可得，
∴，，
∴，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
综上所述，点N的坐标为或或或．
【点睛】此题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解一元二次方程，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
16．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可；
（3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由直线求出，因为抛物线经过，利用待定系数法解决问题即可．
（2）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）设，可求，当为直角三角形时，或，分两种情况讨论：①当时，，设与轴交于点，则，即，求得；②当时，点与点重合，则，求得．
【详解】（1）解：直线，令，则，
，
抛物线经过，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
，
抛物线与轴交于，两点，
令，则或3，
，，
，
，，
，
，
直线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
（3）解：设，
，，
，
，
，
当轴时，
，
当为直角三角形时，或，
①如图，
当时，，
设与轴交于点，则，
，即，
解得或（舍，
；
②当时，点与点重合，
，
解得或（舍，
；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
18．(1)3
(2)①；②1或或
【分析】（1）当时，，即；
（2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或．
【详解】（1）解：当时，，即；
（2）解：①将点A代入
得，，
解得：，
∴解析式为：，
而，
∴对称轴为直线：，
当，且时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当，，当时，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由题意得，，，
∴四边形为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
即；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，
∵
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点P代入，
得：，
解得：或，
而当时，，故舍，
∴，
综上：点P的横坐标为1或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．(1)，
(2)①该二次函数的解析式为：；，
②存在，P点横坐标为：或或
【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得；
（2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，；
②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵的图像经过，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴，
，
，
∴，．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为：，
当时，，
解得，，
∴， ．
②设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
当点P在点A右侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴点P横坐标为或；
当点P在点A左侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴点P横坐标为，
综上所述，P点横坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)①见解析；②的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：对于，令，
解得：
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，

∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则
∴，
∴
解得：（舍去）或
∴
（3）①点与点重合，则，
∵点为中点，，
∴,
设直线的解析式为，代入,
∴
解得：
∴
联立
解得：或
∴，在直线上
即，，三点共线；
②设，
∵，，三点共线；
∴设的解析式，
联立
消去得，
∴
∵，
设直线解析式为，直线的解析式为
联立
解得：
∴
∵，
∴，
∴
而不为定值，
∴在直线上运动，
∴到轴的距离为定值，
∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的，
∴的面积为是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)，
(2)当时，
(3)有，
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）观察图象得：当时，，即可；
（3）作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点，求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线 可得方程组
，解得：，
所以函数表达式为 ，
当时，，
解得；
另一个交点B的坐标为；
（2）解∶观察图象得：当时，；
（3）解: 如图，作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点．
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴直线的函数式为，
∵抛物线对称轴为直线，
当时，，
即点．
22．(1)
(2)最大值，．
(3)四边形的周长为
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
（1）把，代入，求出a和c的值，即可得出抛物线解析式；
（2）先求出，在得出的函数表达式为，设，则，，得出，，则结合二次函数的性质，即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论：①当点在y轴正半轴时，连接交于点H，
先证明四边形是菱形，设，则，得出，，根据，列出方程求解即可；②当点在y轴正半轴时，用和①同样的方法，即可解答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴，
设的函数表达式为，
把，代入得：，
解得：，
∴的函数表达式为，
设，则，，
∴，，
∴ ，
∵，
∴当时，有最大值，
此时．
（3）解：①当点在y轴正半轴时，
连接交于点H，
∵点关于直线的对称，
∴，，，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），，
∴四边形的周长；

②当点在y轴正半轴时，
同理可得：四边形是菱形，
，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），，
∴四边形的周长；

综上：四边形的周长为．
23．(1)
(2)面积的最大值为
(3)或
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，顶点式的运用，学会数形结合的解题方法，即可．
（1）把点代入抛物线，即可；
（2）设直线的解析式为：，求出解析式；当直线向上平移，与抛物线仅一个交点时，面积有最大值，且平移的解析式为，求出点的坐标，再根据，即可．
（3）过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点；得到，根据全等三角形的判定和性质，则，求出，，得到点的坐标，设直线的解析式为：，求出解析式，联立抛物线，延长交于点，过点作交于点，且轴，同理得到，求出，，得到点的坐标，设直线的解析式为：，求出解析式，联立抛物线，即可．
【详解】（1）∵抛物线的顶点为，且通过点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴顶点．
（2）∵，，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当直线向上平移，与抛物线仅一个公共点时，面积有最大值，且平移的解析式为，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴平移直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴点，
设直线与轴的交点为点，
∴，
∴，
∴
∴．
（3）过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∴点，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴直线的解析式为：，
联立抛物线，
∴，
解得：（舍去），，
∴点；
延长交于点，过点作交于点，且轴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴点
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上
∴直线的解析式为：，
∴联立抛物线，
∴，
解得：（舍去），，
∴点；
综上所述，点或．
24．(1)
(2)
(3)四边形面积最大面积是，此时
(4)存在，或或或
【分析】（1）直接使用待定系数法求解即可；
（2）过点P做轴的平行线交于点，将分为和分别求解即可；
（3）结合（2）将四边形面积分为和两部分相加，设，则，列出四边形面积的表达式，将其化为顶点式即可解题；
（4）根据平行四边形的性质，结合坐标与图形，以及二次函数图象与性质，分别讨论点B，M，N，P形成平行四边形的情况，再求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，
将、两点代入得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设的所在直线的解析式为：，
将代入得：，解得：，
的所在直线的解析式为，
将P的横坐标代入得：，
的坐标为，
如图，过点P做轴的平行线交于点，则点横坐标为，
将点横坐标为代入，，
的坐标为，
由图知：
；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
点A、（A点在B点左侧）关于直线对称，
，
，
如（2）所示：
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时即；
（4）解：由（2）可知：的坐标为，
①如图所示，四边形为平行四边形，
，且，
∴点的纵坐标为，，解得：，，
∴点的坐标为，
，
设点，
，
，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，，，
可得，
，且，设，，
，解得：，，
当时，，即，则，当时，，即，则，
点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
，，，
设，则，
，即点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，二次函数与几何图形的综合，二次函数的最值，平行四边形性质，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键．
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