专题十四 判定两直线平行的方法 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

专题十四 判定两直线平行的方法
类型 1 直接利用平行线的判定定理说明平行
1.若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是 ( )
A.∠1=∠2
B.如果∠2=30°,则有AC∥DE
C.如果∠2=45°,则有∠4=∠D
D.如果∠2=50°,则有BC∥AE
2.在同一平面内有2025条直线a ,a ,…,a 025,如果a ⊥a ,a ∥a ,a ⊥a ,a ∥a ,…,那么a 与a 的位置关系是 .
3. 如图,在 Rt△AOB 和 Rt△COD中,∠AOB=∠COD=90°,∠B=40°,∠C=60°,点 D 在边OA 上,将图中的△COD 绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边CD 恰好与边 AB 平行.
4.如图,直线 EF 分别与直线 AB,CD 相交于点P,Q,PG平分∠APQ,QH平分∠DQP,并且∠1=∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由.
类型 2 利用平行线的判定和性质说明平行
5.(1)如图①,若∠B+∠D=∠BED,试猜想 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由.
(2)如图②,要想得到AB∥CD,则∠1,∠2,∠3之间应满足怎样的数量关系 并说明理由.
6.如图,在△ABC 中,点 D,E分别在 AB,BC上,DE∥AC,∠1=∠2.
问：AF和BC平行吗 为什么
7. 如图,已知∠B=40°,∠BDC=40°,∠A=∠1,试说明AC∥DE.
类型3 利用平行于同一条直线的两条直线平行说明平行
8.如图,AB∥CD,E为AC的中点.
(1)过点E作线段EF,使EF∥AB,且EF与BD相交于 F.
(2)EF与CD平行吗 为什么
9.如图,直线 a⊥b,垂足为O,△ABC的边 AC,BC 与直线a,b分别交于点E,F,且∠C=90°,EG,FH 分别平分∠MEC和
(1)填空:
(2)试说明:
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1. B 【点拨】∵∠CAB=∠DAE=90°,
∴∠1=∠3,故 A错误.
∵∠2=30°,
∴∠1=∠3=60°,
∴∠CAE=90°+60°=150°,
∴∠E+∠CAE=180°,
∴AC∥DE,故 B正确.
∵∠2=45°,
∴∠3=45°.
∵∠E+∠3=∠B+∠4,∠E=30°,∠B=45°,
∴∠4=30°.
∵∠D=60°,
∴∠4≠∠D,故C错误.
∵∠2=50°,
∴∠3=40°,
∴∠B≠∠3,
∴BC与AE 不平行,故 D错误.
2. a ∥a o
3.10或28【点拨】①当两个三角形在点O的同侧时，如图①,设 CD 与OB 相交于点 E.
当∠CEO=∠B=40°时,AB∥CD.
∵∠C=60°,∠COD=90°,∠CEO=40°,
∴∠D=90°-60°=30°,∠OED=180°-40°=140°,
∴∠DOE=180°-∠OED-∠D=10°,
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°.
∵每秒旋转10°,∴旋转的时间为100°÷10°=10(秒).
②当两个三角形在点O的异侧时，如图②，延长BO与CD相交于点 E.当∠CEO=∠B=40°时,AB∥CD.
∵∠C=60°,∠COD=90°,∠CEO=40°,
∴∠D=90°—60°=30°,∠OED=180°—40°=140°,
∴∠DOE=180°-∠OED-∠D=10°,
∴旋转角为270°+10°=280°.
∵每秒旋转 10°,
∴旋转时间为 280°÷10°=28(秒).
综上所述.，在第 10 或28秒时，边CD 恰好与边AB 平行.
【解】AB∥CD,PG∥QH.理由:
∵PG平分∠APQ,QH平分∠DQP,
∵∠1=∠2,
∴∠APQ=∠PQD,∠GPQ=∠PQH,
∴AB∥CD,PG∥QH.
5 【解】(1)AB∥CD.理由如下:
如图①,延长 BE 交CD 于点 F.
∵∠BED = ∠B + ∠D, ∠BED = 180°- ∠DEF,∠DEF=180°-∠EFD-∠D,
∴∠B=∠EFD,∴AB∥CD.
(2)∠1=∠2+∠3.理由如下:如图②,延长 BA 交 CE 于点 M.
∵AB∥CD,∴∠3=∠EMA.
∵∠EMA+∠2+∠EAM=180°,
∴∠3+∠2+∠EAM=180°.
又∵∠1=180°-∠EAM,∴∠1=∠2+∠3.
6.【解】AF∥BC.理由如下:∵DE∥AC,∴∠1=∠C.
又∵∠1=∠2,∴∠C=∠2,∴AF∥BC.
7. 【解】∵∠B=40°,∠BDC=40°,
∴∠B=∠BDC.∴AB∥CD.∴∠A=∠C.
∵∠A=∠1,∴∠C=∠1.∴AC∥DE.
8.【解】(1)如图,线段 EF 即为所求.
(2)EF∥CD.理由如下:
∵EF∥AB,AB∥CD,
∴EF∥CD.
9.【解】(1)180°
(2)因为∠MEC=180°—∠OEC,∠NFC=180°—∠OFC,∠OEC+∠OFC=180°,
所以∠MEC+∠NFC=(180°—∠OEC)+(180°—
因为 EG,FH分别平分∠MEC和∠NFC,
所以
所以
过C点作CD∥EG,如图,则∠CEG=∠DCE.
因为∠DCE+∠DCF=90°,∠CEG+∠CFH=90°,
所以∠DCF=∠CFH,所以CD∥FH.
又因为CD∥EG,所以 EG∥FH.