定义与命题、平行线的证明 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

定义与命题、平行线的证明
[时间: 60分钟分值: 100分]
一、选择题(每题4分，共32分)
1.下列语句中是命题的是 ( )
A.反对铺张浪费 B.今天会下雨吗
C.作线段AB=a D. a与b的差小于8
2.下列语句是命题的是 ( )
A.垃圾分类是一种生活时尚
B.今天，你微笑了吗
C.多彩的青春
D.一起走向未来
3.对于命题“如果|a|=|b|,那么a=b”,能说明它是假命题的反例是 ( )
A. a=-2,b=-2 B. a=2,b=2
C. a=3,b=3 D. a=-3,b=3
4.如图，添加下列条件，不可以得到 l ∥l 的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠3=∠5 D.∠3+∠4=180°
5.如图,a,b是直尺的两边,a∥b,把三角尺的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1=35°,则∠2的度数是 ( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
6. 如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与反射光线 m 平行.若入射光线 l 与镜面 AB的夹角∠1=40°10′,则∠2的度数为 ( )
A.100°40′ B.99°50′ C.99°40' D.99°20'
7.如图，将长方形纸片 ABCD沿 BD 折叠得到△BC'D,C'D 与AB交于点 E.若∠1=35°,则∠2为 ( )
A.20° B.30° C.35° D.55°
8. 如图,直线a∥b,将一个含30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若∠1=24°,则∠2的度数为 ( )
A.120° B.136° C.144° D.156°
二、填空题(每题5分，共20分 )
9.把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是 ，它是一个 命题(填“真”或“假”).
10.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，直线AB∥CD,则∠α的度数是 .
11. 如图,∠B=∠D,要使BE∥DF，还需补充一个条件，你认为这个条件可以是 (填一个条件即可).
12.如图,∠A+∠D=180°,∠C--∠B=25°,则∠B 的度数为 °.
三、解答题 ( 共48分)
13.(8分)将下列命题改写成“如果……那么……”的形式：
(1)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
(2)同一平面内，不相交的两条直线平行.
14.(10 分)如图,AB∥CD,BE∥CF.求证:∠1=∠4.
15.(10 分)如图,∠1=∠C,∠2+∠D=90°,BE⊥FD于点G.求证:AB∥CD.
16.(10 分)在①AD= AE;②∠ABE=∠ACD;③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.
问题:如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点 D在AB边上(不与点 A、点 B 重合),点 E 在AC 边上(不与点 A、点 C 重合),连接 BE,CD,BE与 CD 相交于点 F.若 (填序号),求证:BE=CD.
17.(10 分)“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图①所示，灯A的照射线从AM开始顺时针旋转至 AN便立即回转，灯B的照射线从BP开始顺时针旋转至 BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A转动的速度是每秒2°，灯 B转动的速度是每秒1°.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.
(1)填空:∠BAN= °.
(2)若灯 B的照射线先转动30秒，灯A的照射线才开始转动，在灯 B的照射线到达BQ 之前，当灯 A转动几秒时，两灯的光线互相平行
(3)如图②，若两灯同时转动，在灯 A 的照射线到达AN 之前.若两灯射出的光线交于点 E，过点 E 作∠AEF 交 PQ 于点 F,且∠AEF=120°，则在转动过程中，请探究∠BAE 与∠BEF的数量关系是否发生变化 若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.
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一、1. D 2. A 3. D 4. C 5. B 6. C
7. A 【点拨】解决折叠问题的关键是找到折叠前后相等的角，如本题中
8. C 【点拨】如图,作c∥a.
∵三角尺是含30°角的直角三角尺,∴∠3+∠4=60°.
∵a∥c,∴∠1=∠4=24°.
∵a∥c,a∥b,∴b∥c.
∴∠2+∠3=180°.
.故选 C.
二、9.相等的两个角是对顶角；假
10. 15° 【 点 拨 】 如 图. 由 题 意 得∠EFD = 90°, ∠FDE = 45°,∠EDC=30°.∵AB∥CD,∴∠AFD+∠FDC=180°,即∠α+∠EFD+∠FDE+∠EDC= 180°. ∴∠α= 180°—∠EFD——∠FDE—
11.∠B=∠COE(答案不唯一) 12.77,5
三、13.【解】(1)如果一个三角形中有一个角是钝角，那么它是钝角三角形.
(2)如果同一平面内的两条直线不相交，那么这两条直线平行.
14.【证明】∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD.
∵BE∥CF,∴∠2=∠3.
∴∠ABC-∠2=∠BCD-∠3.∴∠1=∠4.
15.【证明】∵BE⊥FD于点G,∴∠DGE=90°.
∴∠1+∠D=90°.
∵∠1=∠C,∴∠C+∠D=90°.
又∵∠2+∠D=90°,∴∠C=∠2.∴AB∥CD.
(答案不唯一)① 【证明】∵∠ABC=∠ACB,∴易得AB=AC.
在△ABE 和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴BE=CD.
17 【解】(1)60
(2)设当灯 A转动t 秒时，两灯的光线互相平行.
①当0根据题意知∠MAC=(2t)°,∠PBD=(30+t)°.
∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA.
∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA.∴∠CAM=∠PBD.
∴2t=30+t,解得 t=30.
②当90根据题意知∠PBD=(30+t)°,∠CAN=(2t-180)°.
∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°.
∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA.
∴∠PBD+∠CAN=180°.
∴(30+t)+(2t-180)=180,解得t=110.
综上所述，当灯 A转动30秒或110秒时，两灯的光线互相平行.
(3)∠BAE 和∠BEF的数量关系不会发生变化.
设灯 A的照射线转动时间为x 秒，
则∠EAN=180°-(2x)°.
又易知∠ABE=120°-x°,
∴∠BEA=180°—∠ABE-∠BAE=180°—x°.
∵∠AEF=120°,
∴∠BEF = 120°— ∠BEA = 120°— (180°— x°) =x°-60°.∴∠BAE=2∠BEF.