7.1 为什么要证明同步练习 2024-2025学年北师大版八年级数学上册（含答案）

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7.1 为什么要证明
基础题目
1.下列说法正确的是 ( )
A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C.对于自然数n, 一定是质数
D.有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2 个
2.爸爸准备从家出发去奥体中心体育场，打开导航，显示两地的直线距离为12.4km，但导航提供的三条可选路线长却分别为 19 km，17 km，18 km，能解释这一现象最合理的数学知识是 ( )
A.两点之间，线段最短
B.两点之间，直线最短
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
3.小明花整数元网购了一本《趣味数学》，让同学们猜书的价格.甲说：“至少15元.”乙说“至多13元.”丙说:“至多10元.”小明说：“你们都猜错了.”则这本书的价格为 ( )
A.12元 B.13 元 C.14元 D.无法确定
4.先观察再验证：
(1)图①中两条线段a与b 哪一条更长
(2)图②中的直线 AB与直线CD 平行吗
综合应用题”
5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'，BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是 ( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
6我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，观察下列图形，可以推出公式( 的是 ( )
7. 图①是光的反射规律示意图.其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN,∠POK是入射角,∠KOQ是反射角,∠KOQ=∠POK.图②中,光线自点 P 射入，经镜面 EF反射后经过的点是 ( )
A. A点 B. B点 C. C点 D. D点
8.甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高.”乙说：“我不是最矮的.”丙说：“我没有甲高，但还有人比我矮.”丁说：“我最矮.”实际测量表明只有一人说错了，则身高从高到低排第三位的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9.(1)观察图①中的线段a，b，你能肯定哪条线段更长吗 用刻度尺度量一下，验证你的观察结果.
(2)比较图②中线段 BE,EF,CE的长度,先猜一猜，再用刻度尺量一量，验证你的猜想.
(3)观察图②中∠EBC,∠EFB,∠ECB,先比较它们度数的大小，再用量角器量一量，验证你的比较结果是否正确.
10.观察下列各式及其验证过程：
验证
验证：
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式，小明猜想： (n为大于1的整数)，小明的猜想正确吗 请简要说明理由.
创新拓展题
11. 规定两正数a，b之间的一种运算记作 L(a,b),如果 ,那么L(a,b)=c.例如：因为 所以 L(3,9)=2.
小明在研究这种运算时发现一个结论：
小明给出了如下的证明：
设L(a,m)=x,L(a,n)=y,由规定，得 所以 所以 所以 L(a,n).
请你解决下列问题：
(1)填空:L(2,16)= ,L( ,36)=—2;
(2)试说明:L(3,5)+L(3,8)=L(3,40);
(3)如果正数a,m,n满足L(a,m)=x--2,L(a,n)=3x-6,L(a, mn)=2x+2,求x.
1 为什么要证明
1. D 2. A
3. C 【点拨】由题意可得，甲、乙、丙的说法都是错误的，甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，又因为小明花整数元网购了一本《趣味数学》，所以这本书的价格是14 元.
4【解】观察可能得出的结论是：
(1)a更长一些;(2)AB与CD不平行.
用科学的方法验证可发现：
(1)a与b一样长;(2)AB与CD平行.
5.A.
6. D 【点拨】A.由图形可得(a+b+c)d= ad+ bd+ cd,故本选项不符合题意;B.由图形可得(a+b)(c+d)= ac+ ad+ bc+ bd，故本选项不符合题意；C.由图形可得( ，故本选项不符合题意；D.由图形可得(a- 故本选项符合题意.
7. B 【点拨】补全图形并作出法线OK，如图所示.
根据图形可以看出OB是反射光线.
8. C 【点拨】根据题干分析可得：丁没有说错，则乙也没有说错，那么甲和丙有一个人说错了；
假设甲说对了“我最高”，那么丙也说对了“我没有甲高，但还有人比我矮”，所以此假设不成立，即：甲说错了，丙就说对了，由上述推理可得：这四个人的身高按从高到矮排列为：乙、甲、丙、丁.
所以排在第三位的是丙.
9.【解】(1)先观察再测量发现a=b;
(2)先观察再测量发现 BE=EF(3)可先猜测∠EFB>∠EBC>∠ECB,再用量角器测量比较发现∠EFB=∠EBC>∠ECB.
10.【解】(1)猜想:因为
所以
验证
(2)小明的猜想正确，理由：
11.【解】(1)4 【点拨】因为2 =16,所以 L(2,16)=4.因为 所以
(2)设L(3,5)=x,L(3,8)=y,由规定,得3*=5,3 =8,所以
所以L(3,40)=x+y,
所以L(3,40)=L(3,5)+L(3,8).
(3)因为L(a,m)=x-2,L(a,n)=3x-6,L(a, mn)=2x+2，所以 所以 所以2x+2=4x-8,解得x=5.