7.5 三角形的内角和 同步练习 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

三角形的内角和
[时间: 60分钟分值: 100分]
一、选择题(每题4分，共32分 )
1.如图,平行线a,b被直线 c所截,若∠1=142°,则∠2的度数是 ( )
A.142° B.132° C.58° D.38°
2.如图,在△ABC中,若∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC,则∠AED的度数是 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：4，则这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
4.如图,AB∥CD,且 AC⊥CB 于 点 C,若∠BAC=35°,则∠BCD的度数为 ( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
5.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是 ( )
A.80° B.90°
C.100° D.110°
6.将一副三角尺按如图的方式摆放,点 E 在 AC 上,点 D 在 BC 的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是 ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
7. 如图，一束光线 AB 先后经平面镜OM,ON反射后,反射光线 CD 与AB平行,当∠ABM=35°时,∠DCN的度数为( )
A.55° B.70° C.60° D.35°
8.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF⊥AD于点 P，延长 EF交 BC的延长线于点 M.已知∠ACB=70°,∠B=40°,则∠M的度数为 ( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
二、填空题(每题 4分，共20分)
9. 如图,AD 是△ABC 的外角∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=32°,则∠C的度数是 .
10.如图,在△ABC中,高 BD,CE交于点 G,若∠A=70°,则∠BGC= .
11.如图是某建筑工地上的人字架.已知∠1=120°,那么∠3—∠2 的度数为 .
如图,∠1=20°,∠2=30°,∠BDC=95°,则∠A的度数是 .
13.在△ABC中,AD为边 BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC是 °.
三、解答题(共48分)
14.(10 分)在△ABC 中,若 求∠A,∠B,∠C 的度数.
15.(10分)如图,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC于点 D,DE⊥AB 于点 E,∠A=56°.求∠EDF的度数.
16.(12分)如图,在△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB 分别交CD,BC于点E,F,求证:∠CEF=∠CFE.
17.(16 分)【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”.例如:在△ABC 中,∠A=70°,∠B=35°,则∠A 与∠B 互为“开心角”,△ABC为“开心三角形”.
【理解】(1)若△ABC为开心三角形,∠A=132°,则这个三角形中最小的内角为 ；
(2)若△ABC 为开心三角形,∠A=60°,则这个三角形中最小的内角为 ；
(3)已知∠A是开心三角形ABC 中最小的内角，并且是其中的一个开心角，则∠A 的取值范围为 ；
【应用】(4)如图,AD平分△ABC的内角∠BAC,交 BC 于 点 E,CD 平 分 △ABC 的外 角∠BCF,延长 BA 和 DC 交于点 P,已知∠P=30°，若∠B 是开心三角形 ABE中的一个开心角,设∠B=∠α,求∠α的度数.
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一、1. A 2. D 3. C 4. B
5. C 【点拨】先由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，然后根据角平分线的定义求出∠ACD的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ADC的度数.
6. A 【点拨】∵∠B=90°,∠A=45°,∴∠ACB=45°.∵∠EDF=90°,∠F=60°,∴∠DEF=30°.∵EF∥BC,∴∠EDC=∠DEF=30°.∴∠CED=∠ACB-∠EDC=45°-30°=15°.故选 A.
7. A 【点拨】∵∠ABM=35°,∠ABM=∠OBC,∴∠OBC=35°.∴∠ABC=180°-∠ABM--∠OBC=180°-35°-35°=110°.∵CD∥AB,∴∠ABC+∠BCD=180°.∴∠BCD=180°-∠ABC=70°.∵∠BCO=∠DCN,∠BCO+∠BCD+
8. B 【点拨】∵∠ACB=70°,∠B=40°,∴∠BAC=180°—∠ACB- ∠B = 70°. ∵ AD 平 分 ∠BAC,∴∠BAD= ∠BAC=35°.∵EF⊥AD,∴∠APE=90°.∴∠AEF90°—∠BAD=90°—35°=55°.∵∠AEF=∠B+∠M,∴∠M=∠AEF-∠B=15°.
二、9.32° 10.110° 11.60°
12.45° 【点拨】连接 AD 并延长交 BC 于点 E,可得∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠1+∠BAD+∠2+∠CAD, 即∠BDC=∠1+∠2+∠BAC,则∠BAC=95°—20°-30°=45°.
13.80 或 40 【点拨】∵AD 为边 BC 上的高,∴∠ADB=90°.
当△ABC为锐角三角形时，如图①，
∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°—90°=60°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°;
当△ABC为钝角三角形时，如图②，
∠BAD=180°—∠B-∠ADB=180°—30°—90°=60°,
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°.
综上所述,∠BAC是80°或40°.
三、14.【解】设∠A=x°,则∠B=∠C=2x°.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴x°+2x°+2x°=180°,解得x=36.
∴∠A=36°,∠B=∠C=72°.
15.【解】∵∠B=∠C,∠A=56°,∴∠B=∠C=62°.
∵FD⊥BC,DE⊥AB,∴∠BED=∠CDF=90°.
∴∠BDE=90°-∠B=28°.
∴∠EDF=180°-90°-∠BDE=62°.
16.【证明】(1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°.
∴∠ACD=∠B.
(2)在 Rt△AFC中,∠CFA=90°—∠CAF.
在 Rt△AED中,∠AED=90°—∠DAE.
∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠DAE.
∴∠AED=∠CFE.
又∵∠CEF=∠AED,∴∠CEF=∠CFE.
17.【解】(1)16° 【点拨】设最小角为 x.
∵△ABC为开心三角形,∠A=132°,132°+132°÷2=198°>180°,∴∠B与∠C互为“开心角”.
∴x+2x=180°-132°=48°.∴x=16°.
(2)30°或40° 【点拨】易知∠A不是最小的内角.
当∠A与∠B或∠A与∠C互为“开心角”时，则最小角为
当∠C与∠B互为“开心角”时，设最小角为a，∴a+2a=180°-60°=120°.∴a=40°.
(3)0°<∠A≤45° 【点拨】∵∠A 是开心三角形ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，∴另一个开心角是2∠A.
∴第三个内角是180°-3∠A.
∵∠A是最小的内角，
∴∠A≤180°-3∠A.∴0°<∠A≤45°.
(4)∵AD平分△ABC的内角∠BAC,CD平分△ABC的外角
∵∠FCB=∠B+∠CAB,
即
又∵∠FCD=∠D+∠CAD,∴∠D ∠B ∠α
①当∠B与∠AEB互为开心角时，∠B=2∠AEB或∠AEB=2∠B,
或
解得∠α=75°或
②当∠B与∠EAB互为开心角时，
∠B=2∠EAB或∠EAB=2∠B,
或 解得∠α=20°.
综上所述,∠α的度数为 20°或75°或(