专题十六 三角形中的双角平分线问题 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

专题十六 三角形中的双角平分线问题
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题型1 两内角平分线
1. 如图,在△ABC中,∠CAB,∠ABC的平分线相交于点 I,若∠C=70°,则∠AIB= °.
2.如图,在四边形 ABCD中,BP,CP 分别是∠ABC,∠BCD 的平分线,猜想∠BPC 与∠A，∠D 的数量关系，并说明理由.
C
题型2 两外角平分线
3.已知:如图,△ABC的两个外角的平分线交于点 P，如果∠A=40°，求∠BPC的度数.
题型 3 一内角平分线与一外角平分线
4.如图,在△ABC中,BD,CD 分别平分∠ABC和 外 角 ∠ACE, 若 ∠D ═ 24°, 则∠A= °.
5.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平 分∠BAC,BD 平 分∠CBE,则∠ADB= °.
6. 如 图,在 △ABC 中,AD⊥ BC,AE 平 分∠BAC,AG⊥ AE, CG 是 △ABC 的 外 角∠ACF的平分线,若∠G--∠DAE=60°,求∠ACB 的度数.
题型 4 双角平分线的拓展问题
7. 如图,∠MON=90°,点 A,B分别 在 射 线 OM,ON 上 移 动,BE 平 分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点 C.
(1)当A,B移动后,∠BAO=45°时,∠C= ;
(2)当 A,B 移动后,∠BAO=60°时,∠C= ;
(3)由(1)(2)猜想∠C是否随A,B的移动而发生变化 并说明理由.
题型 5 双角平分线的综合应用问题
8.在 中， 与 的平分线相交于点 P.
【特例感知】
如图①,如果 则
【类比探究】
(2)如图①，如果∠A=α，用含α的代数式表示∠BPC;
【结论应用】
(3)探索:如图②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q，试写出∠Q，∠A 之间的数量关系；
【拓展延伸】
(4)拓展:如图③,在图②的基础上,延长BP,QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数.
专题十六 三角形中的双角平分线问题
1.125 【点拨】如图,连接 CI 并延长交AB 于点 P.
∵AI平分∠CAP,
∴∠1=∠2.
∵BI平分∠CBP,∴∠3=∠4.
∴∠7+∠8=∠1+∠3+∠5+∠6=55°+70°=125°.
2.【解】 理由如下：如图，延长 BA，CD相交于点E. 易得 - ∠ECB,∴∠BPC=180°-(∠PBC
又∵∠E = ∠BAD —∠ADE = ∠BAD —(180°—∠ADC).
即
3.【解】在△ABC中,∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°—∠A=180°-40°=140°.∵∠CBE,∠BCF均是△ABC的外角,∴∠CBE=∠A+∠ACB,∠BCF=∠A+∠ABC.∵BP平分∠CBE,CP 平分∠
∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-110°=70°.4.48 5.45
6. 【解】∵AD⊥BC,∴∠CAD=90°-∠ACB.
(90°-∠ACB)-∠DAE=∠ACB-∠DAE.
∵CG 是△ABC的外角∠ACF的平分线,
又∵在△ACG中,∠CAG+∠ACG+∠G=180°,
又∵
∴∠ACB=60°.
7.【解】(1)45° (2)45°
(3)∠C不会随A，B的移动而发生变化.理由如下：
根据三角形的外角性质,得∠ABN=∠AOB+∠BAO.
∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO,
8.【解】(1)125°
(2)∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°,
(3)∵BQ,CQ分别是∠CBM,∠BCN的平分线,
∵∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,
∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q=180°,
即
(4)∠A的度数为 45°或 60°或 120°或 135°. 【点拨】∵BP是∠ABC的平分线,BQ是∠CBM的平分线,
∵∠ABC+∠CBM=180°,
∴∠QBE=∠PBC+∠CBQ=90°.
∴∠E+∠Q=90°.
由(3)知
∵在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍,∠QBE=90°,∴∠Q,∠E都是锐角.
分四种情况讨论：
∴∠A=120°;
∴∠A=135°.
综上可知,∠A 的度数为45°或60°或120°或135°.