专题十五 利用平行线的性质求角度的常见帮手同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

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专题十五 利用平行线的性质求角度的常见帮手
帮手1对顶角与邻补角
1.如图,直线 l ∥l ,直线 l ,l 被直线 l 所截,AD平分∠CAB,若∠1=110°,则∠2 的度数为 ( )
A.35° B.55° C.70° D.110°
2.如图所示,AB∥CD,若∠1=146°,则∠2 的度数是 .
帮手2垂直(余角)
3.如图,已知a∥b,点A在直线a上,点 B,C在直线b上,∠BAC=90°,∠1=30°,则∠2的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.如图,AB∥CD,FE⊥DB,垂足为 E,GH⊥AB,垂足为 H,若∠1=45°,则∠3的度数是( )
A.30° B.35° C.45° D.40°
5.如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含 60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2=98°，则∠1=( )
A.58° B.56° C.52° D.62°
6. 如图是一种躺椅的简化结构示意图，扶手 AB 与底座 CD 都平行于地面，靠背 DM 与支架OE 平行，前支架OE 与后支架OF 分别与 CD 交于点 G 和点 D,AB 与 DM交于点 N,当∠EOF=90°,∠ODC=30°时,人躺着最舒服，求此时扶手AB与支架 OE的夹角∠AOE 和扶手 AB 与靠背 DM 的夹 角∠ANM的度数.
帮手3角平分线
7. 将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，若∠1=40°，则∠2 的度数是 .
如图,已知 AB∥CD,∠ACD=110°,∠BAC的平分线交 CD于点 E,在直线AB上取点 F,使∠ACF=∠AEC,则∠AFC的度数是 .
9.如图,∠MON=50°,OE平分∠MON,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(点A,B,C不与点O重合),且AB∥ON,连接 AC 交射线 OE 于点 D.
(1)求∠ABO的度数;
(2)当△ADB中有两个相等的角时,求∠OAC的度数.
帮手 4三角形的外角
10.一张小马扎的结构如图所示，凳面AB 与地面CD互相平行，一位同学量得∠3=86°，他还 发 现 ∠1 ═ ∠2, 则 ∠ADC 的 度 数是 .
11. 如图,在△ABC 中,EF ∥BC,∠ACG 是△ABC的外角,∠BAC的平分线交 BC于点D,若 ∠1 = 150°, ∠2 = 110°, 则 ∠3 =
12.如图，点 E 是△ABC的内角与外角的平分线的交点,点 F 是 CB 延长线上一点,AF∥EC,∠ABF=80°,∠FAB=∠EAC+10°,则∠F= .
13.如图,AB∥CD,∠ABE=120°.
(1)如图①,写出∠BED 与∠D 的数量关系,并证明你的结论；
(2)如图②,∠DEF=2∠BEF,∠CDF ∠CDEEF 与DF 交于点F,求∠EFD的度数.
专题十五 利用平行线的性质求角度的常见帮手
1. B 2.34° 3. C 4. C 5. C
6.【解】∵扶手 AB 与底座CD 都平行于地面,
∴AB∥CD,∴∠BOD=∠ODC=30°.
又∵∠EOF=90°,∴∠AOE=60°.
∵DM∥OE,∴∠AND=∠AOE=60°,
∴∠ANM=180°-∠AND=120°.
7.70°
8.35°或75° 【点拨】∵AB∥CD,∴∠BAE=∠AEC.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,
∴∠AEC=∠CAE.在△ACE中,∠ACE=110°,
∴∠AEC=∠CAE=∠BAE=35°.
下面分两种情况讨论：
如图①,当点F位于点A的右侧时,∵∠ACF=∠AEC=35°,∴∠AFC=180°—∠BAE--∠CAE--∠ACF=180°—35°—
如图②，当点 F位于点 A 的左侧时，
∵∠ACF=∠AEC=35°,
∴∠AFC=∠BAC--∠ACF=∠BAE+∠CAE--∠ACF=
综上,∠AFC的度数是35°或 75°.
9.【解】(1)∵∠MON=50°,OE平分∠MON,
∵AB∥ON,∴∠ABO=∠COB=25°.
(2)当∠BAD=∠ABD=25°时,
∵∠AOB=25°,∠ABO=25°,∴∠OAC=180°-∠AOB一
当∠BAD=∠BDA时,∵∠ABO=25°,
∴∠OAC=180°—∠AOB-∠BAD--∠ABO=180°— °或 52.5°.
10.43°
11.70° 【点拨】∵AD 平分∠BAC,∴∠BAC=2∠DAC.
∵∠1=∠2+∠DAC,∠1=150°,∠2=110°,
∴∠DAC=40°,∴∠BAC=80°.∵∠1=∠BAC+∠B,
∴∠B=70°,∵EF∥BC,∴∠3=∠B=70°.
12 70° 【点拨】如 图. ∵CE 平 分 ∵AF∥CE,∴∠F=∠4,∴∠F=∠4 =∠3, ∵ AE 平 分 ∠BAC,
∴∠1=∠2.
∵∠FAB=∠EAC+10°,∴设∠EAC=x°,则∠FAB=x°+10°,∠1=∠2=x°.∵∠ABF=80°,∴∠F=180°- ∵∠GCB=∠F+∠FAC,∠F=∠4=∠3,∴∠F+ ∴90-x= 3x+ 10,解得 x= 20,∴3x+10 = 70,
13.【解】(1)结论:∠BED+∠D=120°.
证明：延长AB交DE于点F.
∵AB∥CD,∴∠BFE=∠D.∵∠ABE=120°,
∴∠BFE+∠BED=∠ABE=120°,
∴∠D+∠BED=120°.
(2)设∠BEF=α,∠CDF=β.
∵∠DEF=2∠BEF,∠CDF ∠CDE
即∠CDE=3∠CDF,
∴∠DEF=2α,∠DEB=3α,∠CDE=3β,∠EDF=2β.
由(1)知∠BED+∠CDE=120°,
∴3α+3β=120°,∴α+β=40°,∴2α+2β=80°,
∴∠EFD=180°-∠DEF-∠EDF=180°-(2α+2β)=