7.5 三角形内角和定理 同步练习 2024-2025学年北师大版八年级数学上册（含答案）

7.5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
基础题目
1.如图，根据图中的数据，可得x+y的值为 ( )
A.180 B.110 C.100 D.70
2.如图,在△ABC 中,∠BAC=80°,∠B= 40°,CD 是∠ACB 的平分线,则∠ADC= ( )
A.80° B.75° C.70° D.60°
3.具备下列条件的三角形 ABC中，不是直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=∠C
D.∠A-∠B=90°
4.在△ABC 中,∠A = 80°,∠B = 4∠C, 则∠C= .
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠AED=75°,∠A=60°,则∠B 的度数为 .
6. 如 图,在 △ABC 中,AD⊥BC,AE 平 分∠BAC,若∠BAE= 40°,∠CAD = 30°,则∠B= .
7.如图,在△ABC中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE 是 AC边上的高,CF 是 AB 边上的高,H 是 BE 和 CF 的交点,求∠BHC 的度数.
综合应用题
8. 在△ABC中,∠C=∠A+∠B,∠B=2∠A-12°,则∠B的度数为 ( )
A.78° B.58° C.56° D.34°
9. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，称α为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ( )
A.15° B.30° C.60° D.45°
10.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=50°,则∠1+∠2= °.
11.《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宜，一宣半的角叫做橘…”即：1宣 矩,1橘 宣(其中,1矩=90°).问题:图①为中国古代的一种强弩的图，图②为这种强弩的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1 橘,则∠C= °.
12.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,D为AB 边上一点,将△BCD 沿 CD 折叠后，点B 落在点 E 处，且CE∥AB,则∠ACD 的度数是 °.
13.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=80°,AD 是△ABC的角平分线,点 E 是边 AC 上一点，且 求∠CDE的度数.
14.如图,∠B=42°,∠1=∠2+10°,∠ACD=64°,∠ACD的平分线 CE 与 BA的延长线相交于点 E.
(1)请你判断 BF 与 CD 的位置关系，并说明理由；
(2)求∠3的度数.
创新拓展题(
15. 【引入概念 1】：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.【引入概念2】：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
【理解概念】：
(1)如图①,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”.
① ;② .
(2)如图②,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°.请你说明 CD是△ABC的等角分割线.
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第2课时 三角形的外角
基础题目
1.如图,∠1的度数为 ( )
A.60° B.70°
C.100° D.110°
2.将一副直角三角板按如图的方式放置，使两直角边重合，则∠α的度数为 ( )
A.75° B.105°
C.135° D.165°
3. 如图，已知△ABC，∠1是它的一个外角，点 E 为边AC上一点，点D 在边BC的延长线上，连接DE，则下列结论中不一定正确的是 ( )
A.∠1>∠2 B.∠1>∠3
C.∠3>∠5 D.∠4>∠5
4.将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1的度数为 .
5.如图,在△ABC中,延长 AB至 D,延长 BC至E,若∠1+∠2=230°,则∠A= .
6.一副三角板如图放置，则∠1+∠2= °.
7.如图,在△ABC中,AN 是∠BAC的平分线,∠B=60°,∠ANC=80°.求∠C的度数.
综合应用题
8. 如图，根据所学的三角形的内、外角知识可得x的值为 ( )
A.80 B.90 C.100 D.110
9.如图,∠CBE 和∠BCF 是△ABC 的两个外角,若∠A=54°,则∠CBE+∠BCF 的度数为 .
10.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=38°,E是 BC边上一点，ED 交 CA 的延长线于点D,交AB于点 F,∠D=32°,则∠AFE的大小为 .
11如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C,∠CAB=50°,∠CBA=60°,∠CEF=30°.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=130°,且∠CAB,∠CBA,∠E的大小保持不变，则∠D 应调整为 .
12. 一个零件的形状如图所示,按规定∠A 应等于 90°,∠B,∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗
13.在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点 O作 OD⊥OB,交边 BC于点 D.
(1)如图①,猜想∠AOC与∠ODC 的关系,并说明你的理由；
(2)如图②,作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO 的延长线于点 F.对 BF∥OD 进行说理.
创新拓展题
14.如图，已知△ABC 的内 角 ,分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点. 和 的平分线交于点 A ……以此类推得到∠A ,则∠A 的度数是 .
15.在课本第七章第5节中，我们学习了由三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知：∠ACD是△ABC的一个外角(如图①),则∠ACD=∠A+∠B.
(1)如图②,线段 AB,CD 相交于点 O,连接 AC,BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系： .
(2)如图③，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若∠BOF=120°,运用(1)中得出的数量关系,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
第1课时 三角形内角和定理
1. B 2. C 3. D 4 20° 5.45°
6.40° 【点拨】∵AE平分∠BAC,∠BAE=40°,
∴∠BAC=2∠BAE=80°.∵AD⊥BC,∠CAD=30°,
∴∠C=90°-∠CAD=90°-30°=60°.
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-60°=40°.
7 【解】∵BE是AC边上的高,∴∠CEB=90°.
∵∠ACB=54°,∴∠CBE=180°—90°-54°=36°.
同理可得∠BCF=24°,
∴∠BHC=180°-24°-36°=120°.
8. C 【点拨】∵在△ABC中,∠C+∠A+∠B=180°,∠C=∠A+∠B,∴∠A+∠B=90°.
∵∠B=2∠A-12°,∴∠A+2∠A-12°=90°.
∴∠A=34°.∴∠B=56°.
9. B
10.110 【点拨】∵在△ABC 中,∠A=60°,∠B=50°,∴∠C=180°-∠A-∠B=70°.∴∠1+∠2=180°-∠C=110°.
11.22.5 【点拨】∵1宣 矩，1橱 宣,1矩=90°,∠A=1矩,∠B=1 橱,∴ 90°=67.5°.∴∠C=180°--∠A-∠B=180°—90°—67:5°=22.5°.
12.25 【点拨】∵△ECD是由△BCD折叠得到的,
∴△ECD≌△BCD.∴∠ECD=∠BCD.∵CE∥AB,
∴∠ECD=∠CDB.∴∠CDB=∠BCD.
∵∠CDB+∠BCD+∠B=180°,∠B=50°,
90°,∴∠ACD=90°—65°=25°.
13. 【解】∵在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=80°,
∴∠B=180°-60°-80°=40°.
∵AD平分
∴∠ADC=180°-∠ADB=∠B+∠BAD=70°.
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=70°-20°=50°.
14.【解】(1)BF∥CD.理由如下:
在△ABC中,∠B+∠1+∠2=180°,∠1=∠2+10°,∠B=42°,
∴42°+∠2+∠2+10°=180°.∴∠2=64°=∠ACD.
∴BF∥CD.
(2)∵∠ACD=64°,CE平分∠ACD,
由(1)知 BF∥CD,
∴∠3=180°-∠DCE=148°.
15 【解】(1)①△ABC与△CBD ②△ACD与△CBD(答案不唯一)
(2)∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°.
∵CD为角平分线，
∵在△DBC中,∠DCB=40°,∠B=60°,
∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°.
∴∠BDC=∠ACB.
∵ ∠BDC = ∠ACB, ∠DCB = ∠A, ∠B = ∠B,∠A=∠ACD,
∴CD为△ABC的等角分割线.
第2课时 三角形的外角
1. B 2. D 3. D 4.105° 5.50° 6.45
7. 【解】∵∠ANC=∠B+∠BAN,∠B=60°,∠ANC=80°,∴∠BAN=∠ANC-∠B=80°-60°=20°.
∵AN是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAN=2×20°=40°.
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-60°-40°=80°.
8. C 【点拨】∵∠ABD+∠ABC=180°,∠ABD=x°+20°,∴x°+20°+∠ABC=180°,∴∠ABC=160°-x°.
∵∠BCE=∠A+∠ABC,∠A=80°,∠BCE=x°+40°,
∴x°+40°=80°+160°-x°,解得x=100.
9.234° 【点拨】∵∠A=54°,∴∠ABC+∠ACB=180°-54°=126°.∵∠CBE 和∠BCF 是△ABC的两个外角,∴∠CBE+∠BCF=360°-126°=234°.
10.115° 【点拨】∵∠B=45°,∠C=38°,∴∠DAB=45°+38°=83°.又∵∠D=32°,∴∠AFE=83°+32°=115°.
11.30° 【点拨】连接 CF,并延长至点 M.在△ABC 中,∠CAB=50°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-50°-60°=70°.
∴∠DCE=∠ACB=70°.
∵∠DFM=∠DCF+∠D,∠EFM=∠ECF+∠E,
∴∠EFD=∠DCF+∠ECF+∠D+∠E=∠DCE+∠D+∠E,即130°=70°+∠D+30°,∴∠D=30°.
12.【解】延长 BC与AD 相交于点 E.
∵∠CED是△ABE的外角,∠A=90°,∠B=20°,
∴∠CED=∠B+∠A=20°+90°=110°,
∴∠BCD=∠CED+∠D=110°+30°=140°.
∵李师傅量得∠BCD=142°,不是140°,
∴这个零件不合格.
13 【解】(1)∠AOC=∠QDC.理由如下:
∵三个内角的平分线交于点 O，
易知
90°+∠OBC.
∵OD⊥OB,∴∠BOD=90°,
∴∠ODC=90°+∠OBD,∴∠AOC=∠ODC.
(2)∵BF 平分 ∠ABC)=90°-∠DBO.
∵∠BOD=90°,∴∠ODB=90°-∠OBD,
∴∠FBE=∠ODB,∴BF∥OD.
【点拨】∵BA 是∠ABC的平分线,CA 是∠ACD的平分线， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A CD=∠A BC+∠A , ∠A.∵∠A=α,∴∠A =a .同理可得
15.【解】(1)∠A+∠C=∠B+∠D
(2)连接 EF,如图,
由(1)的结论可得∠B+∠C=∠EFO+∠FEO=∠BOF=120°,∠A+∠D=∠EFD+∠FEA.
又∵∠EFD = ∠EFO - ∠CFD,∠FEA = ∠FEO-∠AEB,
∴∠A+∠D=∠EFO-∠CFD+∠FEO--∠AEB=∠BOF-∠CFD-∠AEB=120°-∠CFD-∠AEB,
∴∠A+∠D+∠CFD+∠AEB=120°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEB+∠CFD=240°.