2015年湖南省郴州市湘南中学高一期末考试
数 学
温馨提示:
1. 本试题卷共分两部分，第I卷为选择题，第II卷为非选择题。
2. 答案一定要填写在答题卡上，写在试题卷上的不计分。
3. 考试时间120分钟，总分100分。
第I卷(选择题，共36分)
一、选择题 (本题包括12小题，每小题2分，共24分。每小题只有一个选项最符合题意 )
1． 已知集合，，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
2． 函数（且为常数）在区间（－∞，1]上有意义，则实数的取值范围
A． B． C． D．
3． 设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝
A． {x|x<－2或x>4} B． {x|x<0或x>4} C． {x|x<0或x>6} D． {x|x<－2或x>2}
4． 的大小关系是
A． B． C． D．
5． 函数的零点所在区间是
A． B． C． D．
6． 如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），则该几何体的表面积和体积分别为
A． B．
C． D．
7． 如图，三棱锥A－BCD中，AB平面BCD，BCCD，若AB＝BC＝CD＝2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为（ ）
A． B． 2 C． D．
8． 设、是两个不重合的平面，m、m是两条不重合的直线，则以下结论错误的是
A． 若，则
B． 若，则
C． 若，则
D． 若，则
9． 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C ( http: / / www.21cnjy.com )1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
10． 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
11． 过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是
A． B．
C． D．
12． 设A为圆上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
第II卷(非选择题，共76分)
二、填空题 (本题包括6小题，每小题2分，共12分。 )
13． 函数的定义域用区间表示是 .
14． 已知幂函数的图象过点，则
15． 与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线方程为 .
16． 过直线l：y＝2x上一点P作圆C： ( http: / / www.21cnjy.com )(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1， l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．
17． 如图,在平面直角坐标系中，直线AB交x、y轴于点,一圆心位于（0，3）,半径为3的动圆沿x轴向右滚动，动圆每6秒滚动一圈，则动圆与直线AB第一次相切时所用的时间为 秒.
18． 下列几个命题：
①方程有一个正实根，一个负实根，则；
②函数是偶函数，但不是奇函数；
③设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称；
④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有______________.
三、解答题(本题包括7小题，共64分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
19． （本题满分6分）
已知直线，
（1）若直线过点（3，2）且，求直线的方程；
（2）若直线过与直线的交点，且，求直线的方程．
20． （本题满分8分）
记U=R，若集合，，则
（1）求 , ；
（2）若集合=，，求的取值范围；
21． （本题满分8分）
如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点．
求证:（1）平面平面; （2）．
22． （本题满分8分）
（1）求值: ；
（2）求值: (lg2)2+lg5·lg20+ lg100;
（3）已知. 求a、b，并用表示.
（4）已知函数f(x)＝log2(ax＋b)，若f(2)＝1，f(3)＝2，求f(5)．
23． （本题满分10分）
设圆上的点A关于直线的对称点仍在这个圆上，且圆与轴相切，求圆的方程。
24． （本题满分12分）
某工厂为了提高经济效益，决定花5600千元引进新技术，同时适当进行裁员．已知这家公司现有职工人，每人每年可创利100千元．据测算，若裁员人数不超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75％．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．
（1）若m=400时，要使公司利润至少增加10％，那么公司裁员人数应在什么范围内？
（2）若15<<50，为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人
25． （本题满分12分）
设为奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）证明在区间内单调递增；
（3）若对于区间[3,4]上的每一个的值，不等式>恒成立，求实数的取值范围．
温馨提示: 1.写完后不要忘记检查哦！ 2.祝你成功!
第7题图
5
6
正（主）视图
5
6
侧（左）视图
俯视图
第17题图2015年湖南省郴州市湘南中学高一期末考试
数学参考答案
一、选择题 (本题包括12小题，每小题2分，共24分。每小题只有一个选项最符合题意 )
1．C 2．A 3． ( http: / / www.21cnjy.com )B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．C 11．A 12．A
二、填空题 (本题包括6小题，每小题2分，共12分。 )
13． 14． 15．3x+4y-11=0 16．3 17． 18．①④
三、解答题(本题包括7小题，共64分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
19． （1）设直线的方程为，过点（3，2）
∴ ∴直线的方程为
（2）交点为
∵ ∴直线方程为
20． （1） （2）
21． （本题满分8分）
（1）∵, ∴F分别是SB的中点
∵E．F分别是SA．SB的中点 ∴EF∥AB
又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理:FG∥平面ABC 又∵EFFG=F, EF．FG平面ABC∴平面平面
（2）∵平面平面 ，平面平面=sB
AF平面SAB， AF⊥SB ∴AF⊥平面SBC
又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC
又∵, ABAF=A, AB．AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB
又∵SA平面SAB ∴BC⊥SA
22． (1)原式==－3； ……………………2分
（2）原式===3…………4分
（3）…………10分
…………6分
（4）由f(2)＝1，f(3)＝2，得 ∴f(x)＝log2(2x－2)，∴f(5)＝log28＝3.…………8分
23．【答案】解：.设所求圆的方程是………………1分
因为点A在圆周上，所以……① ……………2分
又点A关于直线对称的点仍然在圆上，所以，直线过圆心，
得到……………………② …………………………………………4分
解①②得或者………………………………………………………8分
所以，所求的圆的方程为
或者……………………………10分
24． 【答案】(Ⅰ) 时公司利润至少增加10％. (Ⅱ)
【解析】解: 设该公司应裁员人,,所获得利润为.
（1）m=400时，若
公司所获利润y=
要使公司利润至少增加10％那么
≥400×100×(1+10％)
又 所以.
若公司所获利润y=
要使公司利润至少增加10％那么
≥400×100×(1+10％)
它在时成立
所以时公司利润至少增加10％.
（2）设公司裁员人,所获得利润为千元.则
设
因为所以当时,函数取最大值为:
设
因为所以当时,函数取最大值为:
.
所以当时公司可获得最大利润.
25．
【答案】（1）∵ f(-x)＝－f(x)，∴．
∴ ，即，∴a＝－1． ……3分
（2）由（1）可知f(x)＝（x>1） 记u(x)＝1＋，
由定义可证明u(x)在（1，＋∞）上为减函数， ∴ f(x)＝在（1，＋∞）上为增函数 ……7分
（3）设g(x)＝－．则g(x)在[3,4]上为增函数． ∴g(x)>m对x∈[3,4]恒成立，∴－． ……12分
