江苏省南京师范大学附中2015-2016学年高一数学期末模拟检测二

南京师范大学附中高一数学模拟测试卷二
(三角函数部分)
班级 学号 姓名
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．终边在x轴上的角的集合是 {x|x＝kπ， k∈Z}．
2．一个扇形的圆心角是2弧度，弧长为4cm，则扇形的面积是 4cm2 ．
3．sin 的值是 － ．
4．角α的终边经过点P(－1， )，则sin(＋α)＝ － ．
5．在△ABC中，若cos (B＋C)＝0．5， 则tan A＝ － ．
6．若α是第二象限角，则sin (sin α)， sin (cos α)， cos (sin α)， cos (cos α)中正数的个数
是 3 ．
7．函数y＝5＋4cos (3－2πx)的最小正周期是 1 ．
8．若y＝15sin [(x＋1)]表示一个振动，则这个振动的初相是 ．
9．的值是 1 ．
10．函数y＝的定义域是{x| kπ－11．函数y＝f(x)的图象向左平移单位，得到函数y＝3sin 4x的图象，则f(x)的解析式
是 y＝3sin (4x－)．
12．已知f(x)是奇函数，若x＞0时， f(x)＝sin x＋cos x，则x＜0时， f(x)＝sin x－cos x．
13．函数f(x)＝3sin (ωx＋φ) (ω≠0)对于任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(1－x)，则f(1)
＝ ±3 ．
14．设k∈Z，下列四个命题中正确的有 ③④ ．(填所有正确命题的序号)
①若sin α＋sin β＝2，则α＝β＝2kπ＋；
②若tan α＋＝2，则α＝2kπ＋；
③若sin α＋cos α＝1，则sin5 α＋cos5 α＝1；
④若sin5 α＋cos5 α＝1，则sin α＋cos α＝1．
二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分9分)已知sin α＋cos α＝，0＜α＜π，求下列各式的值．
(1)tan α；(2) sin 2α－2sin αcos α＋3cos 2α．
解：(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， sin α>0>cos α，
sin α－cos α＝， sin α＝， cos α＝－，
(1) tan α＝－;
(2) sin 2α－2sin αcos α＋3cos 2α＝(sin α－cos α)2＋2cos 2α＝()2＋2(－)2＝．
16．(本小题满分9分)设f(x)＝12sin (2x＋φ)，(φ是常数)．
(1) 求证：当φ＝时，f(x)是偶函数；
(2) 求使f(x)为偶函数的所有φ值的集合．
解：(1) 当φ＝时，f(x)＝12sin (2x＋)＝12cos 2x， f(－x)＝f(x) ，f(x)是偶函数;
(2) 12sin (－2x＋φ)＝12sin (2x＋φ)对一切实数x成立，
－2x＋φ＝2x＋φ＋2kπ，或－2x＋φ＝π－（2x＋φ）＋2kπ（ k∈Z）对一切实数x成立，
所以φ＝kπ＋， k∈Z，
f(x)为偶函数的φ值的集合是{φ|φ＝kπ＋， k∈Z}．
17．(本小题满分10分)设函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )＝Asin (ωx＋φ) (A＞0， ω＞0， －＜φ＜)，在一个周期内，当x＝时取得最大值1，当x＝时取得最小值－1．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 画出f(x)的简图，并写出f(x)的单调区间．
解：(1) A＝1， 周期是2(－)＝π，
函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象过点（，1），φ＝，f(x)＝sin (2x＋);
(2) 仿课本P30例1，P37例1方法， ( http: / / www.21cnjy.com )先用“五点法”作出一个周期的图象，列表，描点画图；然后通过周期性，向左右平移（每次平移π个单位）得到整个图象．
增区间是[kπ－， kπ＋] (k∈Z)，减区间是[kπ＋， kπ＋] (k∈Z)．
18．(本题满分10分)如图，一只蚂蚁绕一 ( http: / / www.21cnjy.com )个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8m，圆环的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处．
（1）试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m)；
（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m？
解：（1）以O点为原点，直线OP0为y轴， 建立平面直角坐标系，
设蚂蚁在时刻t(min)时到达P点，由OP在分钟内所转过的角为t，可知以OX为始边，OP为终边的角为t－，则P点的纵坐标为8sin (t－)，则
h＝8sin (t－)＋10＝10－8cos t (m)，t≥0．
（2）10－8cos t ≥14．
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令，∴，
所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．
19．(本小题满分10分)
设函数y＝2sin 2x＋2acos x＋2a－1的最大值是－．
(1) 求a的值；
(2) 求y取最大值时x的集合．
20．(本小题满分10分) ( http: / / www.21cnjy.com )偶函数f(x)满足：f(x＋2)＝f(x)对一切实数x成立，且当x∈(－2013，－2012)时，f(x)＝cos x，f(－2012)＝a，f(－2013)＝b，(a＜b)．
(1) 若△ABC是钝角三角形，C是钝角，证明：f(sin A)＞f(cos B)；
(2) 若f(x)的值域是[a，b]，求a，b的值，并求方程f(x)＝b的解集．
解：(1) x∈(－1，0) 时x－2012∈(－2013，－2012)，
f(x)＝f(x－2012)＝cos (x－2012)＝cos x，
因为f(x)是偶函数，所以x∈(0，1) 时， f(x)＝cos x，
f(x)在(0，1)上是减函数，
因为△ABC是钝角三角形，C是钝角，所以0＜A＜－B＜，
所以0＜sin A＜cos B＜1，所以f(sin A)＞f(cos B)；
(2) x∈(－1，0)∪(0，1) 时f(x)＝cos x∈(0，1)，
f(0)＝f(－2012)＝a，f(－1)＝f(1)＝f(－2013)＝b，
若f(x)的值域是[a，b]，则a＝0，b＝1．
方程f(x)＝b的解集是{x|x＝2k＋1， k∈Z }．
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．
1． {x|x＝kπ， k∈Z}．2．4cm2．3．－．4．－．5．－ ．
6．3．7．1．8．．9．1．10．{x| kπ－11．y＝3sin (4x－)．12．sin x－cos x．13．±3．14．③④．
二、解答题：本大题共6小题，9＋9＋10＋10＋10＋10＝58分．．
15．解：∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， sin α>0>cos α，
∴sin α－cos α＝， ∴sin α＝， cos α＝－，（5分）
(1) tan α＝－；（2分）
(2) sin 2α－2sin αco ( http: / / www.21cnjy.com )s α＋3cos 2α＝(sin α－cos α)2＋2cos 2α＝()2＋2(－)2＝．（2分）
16．解：(1) 当φ＝时，f(x)＝12sin (2x＋)＝12cos 2x，∵ f(－x)＝f(x) ，
∴f(x)是偶函数;（3分）
(2) f(x)是偶函数等价于12sin (－2x＋φ)＝12sin (2x＋φ)对一切实数x成立，
就是－2x＋φ＝2x＋φ＋2kπ，或－2x＋φ＝π－（2x＋φ）＋2kπ（ k∈Z）对一切实数x成立，
等价于φ＝kπ＋， k∈Z，∴f(x)为偶函数的φ值的集合是{φ|φ＝kπ＋， k∈Z}．（6分）
(如果只说明当φ＝kπ＋（k∈Z）时f(x)是偶函数，则不超过3分)
17．解：(1) A＝1， ∵周期是2(－)＝π， ∴ω＝2,
∵函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象过点（，1），∴φ＝，f(x)＝sin (2x＋);（3分）
(2) 仿课本P30例1，P37例 ( http: / / www.21cnjy.com )1方法，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表，描点画图；然后通过周期性，向左右平移（每次平移π个单位）得到整个图象．（4分）
增区间是[kπ－， kπ＋] (k∈Z)，减区间是[kπ＋， kπ＋] (k∈Z)．（3分）
18.解：（1）以O点为原点，直线OP0为y轴， 建立平面直角坐标系， 设蚂蚁在时刻t(min)时到达P点，由OP在分钟内所转过的角为t，可知以OX为始边，OP为终边的角为t－，则P点的纵坐标为8sin (t－)，
则h＝8sin (t－)＋10＝10－8cos t (m)，t≥0．（6分）
（2）10－8cos t ≥14．
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令，∴，
所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．（4分）
19．解：(1) 设cos x＝t， 则y＝－2(t－)2＋＋2a＋1，（2分）
当－1＜＜1时，＋2a＋1＝－，解得a＝－1；
当≥1时，－(1－)2＋＋2a＋1＝－，无解；
当≤－1时，－(－1－)2＋＋2a＋1＝－，无解．a的值是－1．（5分）
(2) 由（1）知， y取最大值时， cos x＝－，
x的集合：{x|x＝2kπ±， k∈Z}．（3分）
20．解：(1) x∈(－1，0) 时x－2012∈(－2013，－2012)，
f(x)＝f(x－2012)＝cos (x－2012)＝cos x，（2分）
因为f(x)是偶函数，所以x∈(0，1) 时， f(x)＝cos x，f(x)在(0，1)上是减函数，（2分）
因为△ABC是钝角三角形，C是钝角，所以0＜A＜－B＜，
所以0＜sin A＜cos B＜1，所以f(sin A)＞f(cos B)；（2分）
(2) x∈(－1，0)∪(0，1) 时f(x)＝cos x∈(0，1)，（2分）
f(0)＝f(－2012)＝a，f(－1)＝f(1)＝f(－2013)＝b，
∵若f(x)的值域是[a，b]，∴a＝0，b＝1．
方程f(x)＝b的解集是{x|x＝2k＋1， k∈Z }．（2分）