专题十一 方程、函数与方案选择 同步练习（含答案） 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

专题十一 方程、函数与方案选择
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类型 1 运用二元一次方程来确定方案
1.李老师准备用30 元钱全部购买A，B两种型号的签字笔(两种型号的签字笔都买)，A种型号的签字笔每支5元，B种型号的签字笔每支2元，则李老师的购买方案有( )
A.4 种 B.3 种 C.2种 D.1 种
2.某公司在安排出差的22名员工住宿时，有2人间和3人间两种房间可供选择，如果每一个房间都住满，求安排住宿的方案有多少种
3.某手机店，计划用6万元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求.已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机 1 800 元/部，乙型号手机 600元/部，丙型号手机1200元/部，若手机店同时购进三种不同型号的手机共 40 部，并将 6 万元恰好用完，并且要求购进乙型号手机的数量不少于6部且不多于8部，试求该手机店购进每种型号手机的数量.
类型 2 运用二元一次方程组来确定方案
4.某公司有个工程对外招标，现有甲、乙两个工程队来应标.若甲、乙两个工程队合作，需8周完成，共需工程款33.6万元；若甲队单独做6周后，剩下的由乙队来做，还需 12 周才能完成，共需工程款32.4万元.若只选一个工程队完成，该公司应该选择哪个工程队来承接这个工程
类型 3 运用一次函数来确定方案
5.如图所示，l ，l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(小时)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2 000 小时，照明效果一样.
(1)根据图象分别求出 l 、l 的函数表达式；
(2)小明房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法.
6.为了落实“乡村振兴”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送水泥建设美丽乡村.已知A,B 两城分别有水泥 200 吨和 300吨，从A城往 C，D两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25 元/吨;从 B 城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现 C 乡 需 要 水 泥 240 吨,D乡 需 要 水 泥260 吨.
(1)设从 A 城运往C乡的水泥x 吨.设总运费为y元，写出y与x 的函数表达式，并求出最少总运费；
(2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(01. C 【点拨】设A种型号的签字笔购买x支，B种型号的签字笔购买y支,由题意,得5x+2y=30,
所以 因为x,y都是正整数,所以x=4,y=5或x=2，y=10.所以李老师的购买方案有2种.
2.【解】设需要3人间x间，需要2人间y间，由题意得,3x+2y=22.因为x,y是自然数,2y是偶数,22是偶数，所以3x是偶数.所以x是偶数.当x=0时，y=11;当x=2时,y=8;当x=4时,y=5;
当x=6时，y=2.综上所述，安排住宿的方案有4种.
3.【解】设手机店购进 x部甲型号手机，y部乙型号手机，则购进(40-x-y)部丙型号手机.
根据题意,得1800x+600y+1200(40-x-y)=60000,整理,得x=y+20.
又因为x,y,40-x-y均为正整数,且6≤y≤8
所以 或 或
所以该手机店共有3种进货方案.方案1：购进 26 部甲型号手机，6部乙型号手机，8部丙型号手机；方案2：购进27部甲型号手机，7部乙型号手机，6部丙型号手机；方案3：购进28部甲型号手机，8部乙型号手机，4部丙型号手机.
【解】设甲工程队单独做，每周的工作效率为x，乙工程队单独做，每周的工作效率为 y.
根据题意，得 解得
所以甲工程队完成这一工程所需要的时间为 12(周)；乙工程队完成这一工程所需要的时间为 24(周).
所以从节省时间的角度考虑选择甲公司.
设甲工程队每周费用为a万元，乙工程队每周费用为b万元.
根据题意，得 解得
所以甲工程队单独做需要3×12=36(万元)，乙工程队单独做需要1.2×24=28.8(万元).
所以从节约经费的角度考虑选择乙公司.
5.【解】(1)设l 的表达式为 的表达式为 ,由图可知 l 过点(0,2),(500,17),所以 解得 所以y =0.03x+2(0≤x≤2 000).由图可知l 过点(0,20),(500,26),同理可得y =0.012x+20(0≤x≤2 000).
(2)设白炽灯使用x 小时，总费用为w元，则节能灯使用(2 500-x )小时,根据题意,得 2 000).
因为0.018>0,所以w随x 的增大而增大.
所以当 时,W数小值=0,018×500+52=61.
所以最省钱的设计方案是白炽灯使用500 小时，节能灯使用2000小时,
【解】(1)从 A 城运往 C 乡x 吨,则从 A 城运往 D 乡(200-x)吨,从B城运往C乡(240-x)吨,从B城运往D乡
[260-(200-x)]=60+x(吨),根据题意,得 y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10 040(0≤x≤200).因为4>0,所以y随x的增大而增大.所以当x=0时，总运费最少，最少总运费为 10 040元.
(2)设减少运费后,总运费为 w元,则 w=(20-a)x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=(4-a)x+10 040(0≤x≤200).
分三种情况进行讨论:①当00,此时w随x的增大而增大，所以当x=0时，w取最小值，W股不一10 040;
②当4综上可得，当0当4