专题二 利用勾股定理解决最短路径问题 2024-2025学年北师大版八年级数学上册（含答案）

专题二 利用勾股定理解决最短路径问题
一、依据“两点之间线段最短”求最小距离
【高分秘籍】遇到不在同一直线上的两条变化的线段，且欲求它们的和的最小值时，常需要将其转化到同一直线上，利用“两点之间线段最短”来确定线段，并构建直角三角形，运用勾股定理来解答.
1.如图，一探险者在某海岛探宝，登陆后，从A 点出发，先往东走了8千米，又往北走了 2千米，又向西走了 3千米，再又向北走了6千米，往东一拐，仅走了1千米就在 B 点处找到了宝藏，试问：他走的是最近的路吗 如果是，请求出这个路线长；如果不是，请在图上画出最近的路线，并求出最近的路线长.
2. 新考法对称找点法 如图，直线 l 是一条河，A，B两地到l的距离 AC 和 BD 分别为 5 km,7 km,且 CD=5 km,欲在 l上的某点 M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，求铺设最短的管道长.
二、依据“垂线段最短”来求最小距离
【高分秘籍】遇到“点到直线的最短距离”问题时，常要利用“垂线段最短”来确定最短的路径，并构建直角三角形，运用勾股定理来解答.
3.如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯.游了一段时间后，小明到达 B处.已知 BD=14米,AD=13米,AB=15米,求攀梯A 到泳道 l 的最近距离.
4.如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离为125 m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上,供水点 M 到AB 的距离 MN 的长为60 m,BM的长为 75 m.
(1)求供水点 M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉 B到小路AC 的最短距离.
三、将立体图形转化为平面图形求最短距离
【高分秘籍】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构建直角三角形，运用勾股定理来解答.
5.如图，有一圆柱形油罐，要从 A点环绕油罐侧面搭梯子，正好到A点正上方的B点.梯子最短需要多少米 (已知油罐底面的周长是12 m,高 AB是5 m)
6.如图，圆柱形容器的高为120 cm，底面周长为100 cm,在容器内壁离容器底部 40 cm的点 B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40 cm与蚊子相对的点 A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离.
7.一只蚂蚁沿图①中立方体的表面从顶点 A 爬到顶点 B，图②是图①立方体的表面展开图，设立方体的棱长为1.
(1)在图②中标出点 B的位置.
(2)若蚂蚁从点 A 到点 B 爬行的最短路径长为m,求 m .
8. 如图，在一个长为2米，宽为 1 米的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地宽AD平行且长度大于 AD长，木块从正面看是边长为0.2米的正方形，求蚂蚁从点 A处开始，到达C处时走的最短路程.(精确到0.01米)
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专题二 利用勾股定理解决最短路径问题
1.【解】他走的不是最近的路.最近的路线如图所示.
过点 B 作 BC⊥AD,易知AC=6千米,BC=8千米.
由勾股定理得： 所以AB=10千米.所以最近的路线长为10千米.
2.【解】如图，作点 A 关于直线l的对称点E，连接 BE，交l于点M，连接AM，MA+MB的值即为所求最短管道长，
因为 MA=ME,所以 MA+MB=ME+MB=BE,则线段BE的长度即为所求,过E作EF∥CD,交BD的延长线于F,
由题易知,EF=CD=5km,BF=BD+DF=BD+AC=7+5=12( km),所以 所以 BE=13 km.
故铺设最短的管道长是 13 km.
3.【解】过点A作BD的垂线，垂足为C，则AC的长是攀梯A到泳道l的最近距离.设BC=x米,则CD=(14-x)米,根据题意，可得
所以 ,解得 x=9.所以 AC = .所以 AC=12 米.
答：攀梯 A到泳道l的最近距离为12米.
4.【解】(1)在 Rt△MNB 中, 所以 BN=45 m.
所以AN=AB-BN=125-45=80(m).
在 Rt△AMN 中, 10 000,所以 AM=100m.
所以供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为100+75=175(m).
(2)因为AB=125 m,AM=100m,BM=75 m,所以 BM +AM ,所以△ABM是直角三角形,所以 BM⊥AC,所以喷泉 B到小路AC 的最短距离是BM=75 m.
5.【解】油罐的侧面展开图如图所示.因为
所以
所以
答：梯子最短需要13 m.
6.【解】如图，将容器侧面的一半展开，作A关于 EC 的对称点 A',连接 A'B 交 EC 于 F,连接AF,易知 AF=A'F,所以 AF+FB= ，易知 A'B的长即为最短距离.过点 A'作A'D⊥BC交 BC 延长线于 D,由题易得,A'D=50 cm,BD=120 cm,在 Rt△A'DB 中, 16 900,所以
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130 cm.
7.【解】(1)如图所示.(答案不唯一)
(2)如图，连接 AB，因为立方体的棱长为1,所以 AC=2,BC=1,所以 【
解】如图,将木块展开,由题意可知,AB=2+0.2×2=2.4(米);BC=1米.由勾股定理,得. 即 所以 AC=2.60米.