第一章 勾股定理及其应用 同步练习 2024-2025学年北师大版八年级数学上册（含答案）

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勾股定理及其应用
[时间: 60分钟分值: 100分]
一、选择题(每题 4分，共28分)
1. 下列各组长度的线段中，不能组成直角三角形的是 ( )
A.6,8,10 B.3,4,5
C.4,5,6 D.5,12,13
2.若△ABC的三边长a,b,c满足 ,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
3. 如图,四边形 ABDE 是正方形,AC=9,BC=4,则正方形ABDE的面积为 ( )
A.18 B.36 C.65 D.72
4.如图，一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，轮船从港口O沿北偏西 20°的方向航行 60 n mile到达点M处，同一时刻渔船已航行到距港口O80 n mile 的点 N 处.若 M,N 两点相距100 n mile,则∠NOF 的度数为 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
5. 如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=9,AC=6,将△ABC沿 DE折叠,使点 B刚好落在AC边的中点 F 处，则 BD的长为 ( )
A.5.5
B.5
C.4.5
D.4
6.如图,在△ABC中,分别以点A 和点C为圆心，大 AC的长为半径作弧(弧在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线 MN分别与边 BC,AC相交于点 D,E,连接AD,若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
7.已知直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，分别以a，b，c为边向外作三个正方形，剪下这三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为 S ，均重叠部分的面积为 S ，则( )
D. S ,S 的大小无法确定
二、填空题(每题5分，共20分)
8.请你任意写出两组勾股数： .
9.已知在 Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C 的对边. 若 a+b=14 cm,c=10 cm,则Rt△ABC的面积是 .
10.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的，如图，直角三角形的直角边长为a,b,斜边长为c,若b-a=4,c=20，则每个直角三角形的面积为 .
11.如图，圆柱底面的周长为 6 dm，圆柱高为4 dm，在圆柱的侧面上，过点A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为 .
三、解答题(共52分)
12.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°.求∠DAB的度数.
13.(12分)如图，已知等腰三角形 ABC的底边BC 的长为 10,D 是 AC 上的一点,其中BD=8,CD=6.
(1)试说明:BD⊥AC;
(2)求AB的长.
14.(12 分)如图，园艺工人要在一块直角三角形 ABC 空地(∠ACB=90°)上的阴影部分种草，测得 CD=3米，AD=4米,BC=12米,AB=13米.求阴影部分的面积.
15.(16 分)如图，有一辆环卫车沿公路 AB 由 A 点向 B 点行驶,已知点 C 为一所学校，且点 C 与A，B两点的距离分别为200 m和150 m,已知AB=250 m,环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域.
(1)学校 C会受噪声影响吗 为什么
(2)若该学校受环卫车噪声影响持续的时间有2 min，求环卫车的行驶速度.
一、1. C 2 D 3. C
4C 【点拨】因为OM=60 n mile,ON=80 n mile,MN=100 n mile,所以 OM +ON =MN ,所以∠MON=90°.因为 所以
5. B 【点拨】设BD=x,由折叠的性质可知DF=BD=x.因为 AB=9,所以 AD=9-x.因为 F 是AC 边的中点,AC=6,所以AF=3.在 Rt△ADF中, 所以 解得x=5.所以 BD的长为5.
6. D 【点拨】由题意知 MN是AC 的垂直平分线,
所以AC=2AE=8,DA=DC.所以∠DAC=∠C.
因为 BD=CD,所以 BD=AD.
所以∠B=∠BAD.
因为∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,所以2∠BAD+2∠DAC=180°.
所以∠BAD+∠DAC=90°.所以∠BAC=90°.
在 Rt△ABC中,BC=BD+CD=2AD=10,AC=8,
所以 .所以AB=6.
7. C 【点拨】因为直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,所以该直角三角形的斜边为c，
所以 所以
因为 所以
二、8.3,4,5;6,8,10(答案不唯一)
9.24 cm 【点拨】由勾股定理得 因为a+b=14 cm,c=10cm,所以 Rt△ABC的面积为 24(cm ).
10.96 【点拨】由题意可得 因为c=20,所以 即( 所以 384，所以 ab=192.所以每个直角三角形的面积为
11.10 dm 【点拨】如图，把圆柱的侧面展开，则这圈金属丝的长度最小为 的值.
因为圆柱底面的周长为6 dm，高为4 dm，所以 3( dm),所以 所以
所以这圈金属丝的长度最小为
三、12.【解】如图,连接AC.因为∠B=90°,AB=BC=2,所以 ∠BAC=45°.
又因为CD=3,DA=1,所以 所以△ACD是直角三角形,且∠CAD=90°.所以
13.【解】(1)因为 BC=10,BD=8,CD=6,所以. 所以△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,即 BD⊥AC.
(2)因为△ABC是等腰三角形,BC为底,所以AB=AC.所以AD=AC-CD=AB-6.
在 Rt△ABD中,由勾股定理,得 即 解得
14.【解】因为∠ACB=90°,BC=12米,AB=13米,所以 ,所以AC=5米.又因为CD=3米,AD=4米, 所以( 所以△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,所以阴影部分的面积=△ABC的面积-△ACD的面积= 24(平方米).
答：阴影部分的面积为24平方米.
【解】(1)学校 C会受噪声影响.理由如下：如图,过点 C作CD⊥AB于点D,因为 AC= 200 m,BC= 150 m, 所以 所以△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°
所以
所以 AC·BC=CD·AB,
即 200×150=250×CD,
所以
因为环 卫车 周围 130 m 以内为受噪声影响区域，130 m>120m,
所以学校C会受噪声影响.
(2)如图,取点 E,F,连接 EC,FC,使 EC=130 m,FC=
130 m，所以当环卫车在 EF上行驶时影响学校，
因为
所以 ED=50 m.同理可得 DF=50 m.
所以 EF=50+50=100(m).
因为该学校受环卫车噪声影响持续的时间有 2 min，
所以环卫车的行驶速度为100÷2=50(m/ min).
答:环卫车的行驶速度为50 m/ min.