第一章 勾股定理全章热门考点整合应用 同步练习 2024-2025学年北师大版八年级数学上册（含答案）

第一章 勾股定理全章热门考点整合应用
核心考点整合
考点1 勾股定理
1.如图,在 四边形 ABCD 中,∠D=∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,则AB的长为 ( )
A.20 B.25 C.35 D.30
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,分别以AC,BC为边向三角形外作正方形，其面积分别记为 S ，S ，则. 的值等于 .
3.如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边的长为5，短直角边的长为3，图②中阴影部分的面积为S，那么S的值为 .
考点 2 直角三角形的判定
4下列各组线段能构成直角三角形的一组是 ( )
A.9,40,41 B.13,14,15
C.5,7,10 D.4,8,9
5.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且 则 ( )
A.∠A 为直角 B.∠C 为直角
C.∠B 为直角 D.不是直角三角形
6. 3 月 12 日是植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动.在这次植树活动中，小刚所在班级一共植树12棵，按如图所示分布，已知每两棵树之间相距 3 m，则小刚所在班级植树围成的区域的面积为多少
考点3 勾股数
7. 法国数学家费尔马早在 17世纪就研究过形如 的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数.如(3,4,5)就是一组勾股数.
(1)请你再 写 出 两 组 勾 股数:( ),( );
(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数， 那么,以x,y,z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以说明.
思想方法整合
思想 1 转化思想
8. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何 ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B处，则该葛藤的最短长度是多少丈 (一丈是十尺)
思想 2 方程思想
9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线分别交AB,AC于 D 点,E 点,已知 AC=8,BC=4,求 EC的长.
思想 3 数形结合思想
10.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为 25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形的边长.
思想 4 分类讨论思想
11.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,P 为射线 BC 上一动点，当△ABP 为直角三角形时,求 BP 的长.
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1. B 【点拨】在 Rt△ADC 中,AD=16,CD=12,∠D=90°,所以 ,所以AC=20.同理可得 AB=25.
2.25 【点拨】因为∠ACB=90°,所以△ABC是直角三角形,所以 ,因为AB=5,所以AC°+BC°=25,因为 所以
3.16 【点拨】如图,由题意得 AB=3,BC=5,△ABC 是直角三角形,所以 所以大正方形的面积 ,由题意知 CD=3,所以△ADC的面积 所以 S=34-4×4.5=16.
4. A
5. C 【点拨】因为( 所以 所以△ABC是直角三角形，且b为斜边，即∠B为直角.
6.【解】由题意可知,AB=3×3=9(m),BC=3×4=12(m),AC=5×3=15(m),因为 所以 ，所以△ABC是直角三角形,且∠C=90°,所以
7.【解】(1)6,8,10;9,12,15(答案不唯一)
(2)因为 所以x，y，z为勾股数.
【解】如图所示，AB表示葛藤的最短长度.
由题意可知：
BC=3(丈),AC=8×5÷10=4(丈),
在 Rt△ABC中,
所以AB=5丈,
所以葛藤的最短长度是 5丈.
【解】如图,连接EB,设 EC=x,所以AE=AC-CE=8-x.因为 DE垂直平分AB，所以 BE=AE=8-x,因为∠C=90°,所以 即( ,解得x=3,所以CE=3.
10.【解】设直角三角形的两直角边中较长边为a，较短边为b，所以大正方形的面积为 由题意得： 25,a+b=7.因为( 所以： 所以 所以a-b=1,所以小正方形的边长为1.
11.【解】因为在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以 所以 BC=4 cm.
①当∠APB=90°时,此时 BP=BC=4cm.
②当∠PAB=90°时,如图,设 BP=x cm,则 PC=(x-4) cm.
在 Rt△ACP 中,
在 Rt△ABP 中,
所以
所以
解得
P
即
综上所述，BP=4 cm或