1.3 勾股定理的应用 同步练习 2024-2025学年北师大版八年级数学上册（含答案）

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1.3 勾股定理的应用
基础题目
1.如图，有一根电线杆在离地面6m处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部 B点8m远的地方，则此电线杆原来的长度为 ( )
A.10 m B.12 m
C.14 m D.16 m
2. 如图①，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门口4 m及4 m 以内，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如图②，一个身高为1.5m的学生刚走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃 A 的距离为 ( )
A.7 m B.6 m C.5 m D.4 m
3. 情境题生活应用/ 如图，一扇卷闸门用一块宽50 cm,长120 cm的长方形木板撑住,用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起的高度为 cm.
4如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长AB等于2.5m，梯子完全撑开后顶端离地面的高度 AD 等于2. 4 m,则 此 时 梯 子 侧 面 宽 度 BC 等 于 m.
5.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，如图，它的底面周长是24 cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高18 cm时，这段葛藤的长是 cm.
6.如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪,经测量∠A=90°,AB=20米,BC=24米,CD=7米,AD=15米,若铺一平方米草坪需要50元，则铺这块空地需要投入资金 元.
7. 新考向：数学文化区三模 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十.广斜相并五十步，不知几亩及分厘.”其大意是：“昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步.不知该田的面积有多少 ”请帮他算一算，该田的面积为多少平方步.
综合应用题
8. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮忙计算一下，铺完这个楼道至少需要 元.
9.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阔(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸)，两扇门间的缝隙 CD 为 2 寸，那么门的宽度(两扇门宽度的和)AB为 寸.
10.如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3 m、1m 和6 m,为了美观,现要在该建筑物上缠绕一圈灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点 A 开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 .
11如图,在一棵树的 10 米高的 B处有两只猴子.一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处.另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米
由于大风，山坡上的甲树被李骞教材P15习题T5从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在乙树的根部C处,若AB=4m ,BC=13 m，两棵树的水平距离为 12 m，求这棵树原来的高度.
创新拓展题
13. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们运用勾股定理解决了众多实际问题.
知识运用：
(1)如图，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距 40 千米，C，D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=25千米,BC=16千米,则两个村庄的距离为 千米(直接填空)；
(2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图中作出 P 点的位置(保留作图痕迹，不写作法)并求出A，P两点间的距离.
1 D 【点拨】由题意可得:在 Rt△ABC中, AC°,因为AB=6m,BC=8m,所以AC=10m,故这根电线杆原来的高度为6+10=16(m).
2. C 【点拨】由题意可知:BE=CD=1.5 m,CE=4m ,所以AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),
由勾股定理得AC=5 m.
3.130 【点拨】设该长方形木板的长为a，宽为b，对角线的长度为c,因为a=120cm,b=50cm,所以c=130 cm.故最多可将这扇卷闸门撑起的高度为130 cm.
4.1.4 【点拨】由题意得, ,AD⊥BC.又因为 AD=AD,所以由勾股定理易知BD=CD.在 Rt△ABD 中,由勾股定理得. ,所以 BD=0.7 m,所以 BC=2BD=2×0.7=1.4(m).
5.30
6.11 700 【点拨】连接 BD,因为∠A=90°,AB=20米,AD=15米,所以. 所以 BD=25 米.
因为 BC=24米,CD=7米,所以. 所以△BDC是直角三角形,且∠C=90°,所以四边形ABCD的面积为
(平方米)，
则234×50=11 700(元),
即铺这块空地需要投入资金11 700元.
【解】设该长方形田的宽为x步，则对角线长为(50-x)步，由勾股定理，得 解得 x=16,故该田的面积为30×16=480(平方步).
8.1020 【点拨】由勾股定理得. ,所以AB=12m,则地毯总长为12+5=17(m),则地毯的总面积为 所以铺完这个楼道至少需要34×30=1 020(元).故答案为1 020.
9.101 【点拨】设OA=OB=AD=BC=r寸,如图,过 D作DE⊥AB 于 E,则 DE=10 寸, 寸，所以 AE=(r-1)寸.在 Rt△ADE中, 即( 解得 2r=101.故门的宽度(两扇门宽度的和)AB为101寸.
10 10m 【点拨】将该长方体建筑物的侧面展开，如图，连接AB',
由题意可得 (m),所以 所以 根据两点之间线段最短可知用在该建筑物上的灯线最短需要 10 m.
11.【解】设树的高度为x米，
由题意得，两只猴子所经过的距离都为10+20=30(米).
因为 DC⊥AC，所以由勾股定理得 10)] ,解得x=15.
故这棵树高为15 米.
12.【解】如图所示,过点 C 作CD⊥AB,交 AB的延长线于点D,
由题意可得 BC=13 m,DC=12 m.
在 Rt△BCD中,
故 BD=5m,
所以 AD=9m,
在 Rt△ACD 中, 所以 AC=15 m.故 AC+AB=15+4=19(m).
答：这棵树原来的高度是 19 m.
3.【解】(1)41 【点拨】如图①,连接CD,作 CE⊥AD于点 E,
因为AD⊥AB,BC⊥AB,
所以 BC=AE=16千米,
CE=AB=40 千米,
所以 DE=AD-AE=25-16=9(千米),
在 Rt△CDE 中,(
所以CD=41千米,
所以两个村庄相距41 千米.
(2)如图②所示，点P 即为所求.
设AP=x千米,则BP=(40-x)千米,在 Rt△ADP 中, 在 Rt△BPC中, 因为 PC=PD,
所以
解得x=16,即AP=16千米.