湖南省衡阳县第一中学2025届高三上学期开学考试数学试卷

衡阳县一中2025届高三开学考试试卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知非空集合，且，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义在上的偶函数满足，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C．5 D．4
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知各项均为正数的数列的前项和为，则（ ）
A．511 B．93 C．72 D．41
7．已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知数列满足，，记数列的前项积为，前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．函数在区间上单调递增
C． D．函数的图象关于直线对称
11．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线与直线为异面直线
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．二面角的平面角余弦值为
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D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图，在正方体中，点M为棱的中点，记过点与AM垂直的平面为，平面将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为，则 .
13．设函数，若，且，则的最小值为 .
14．已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）数列满足，，.
(1)的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
16．（15分）已知.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.
(1)求证：平面
(2)求证：平面平面
(3)若，求二面角 的余弦值.
18．（17分）已知椭圆 （其中）的离心率为，左右焦点分别为，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值．
19．（17分）（1）证明：当时，；
（2）已知函数.求证：当时，.
数学答案
1．【答案】C
【解析】
解：
因为非空集合，
所以，所以，
所以m的取值范围为：．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】的定义域为，则，
因为有两个极值，所以有两个不等的实数解，
由，得，
令，，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以的图象如图所示，

由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值，
因为是的真子集，
所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是，
故选：A
3．【答案】C
【解析】由，所以是函数的一个周期，
所以，
又是偶函数且，所以.
故选：C
4．【答案】C
【解析】因为，，，所以，所以.
故选：C.
5．【答案】B
【解析】因为，
所以，所以.
故选：B
6．【答案】B
【解析】，
∴
，
所以，
则，
故选：B．
7．【答案】C
【解析】由，得，或，所以，
由，得，或，所以，
因为，所以，
整理得，得，所以.
故选：C.
8．【答案】C
【解析】令，的对称轴为，
则实根的个数即为函数与函数图象交点个数，
如下图，
当时，
函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1，
即，函数与函数有2个交点，
且2个交点关于对称，
则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，，
时，可得，或，
时，，可得，，，
即函数与函数的图象有5个交点，
则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，
即函数与函数的图象有2个交点，分别为，
即，或，，
当时，函数与函数无交点，不符合题意；
当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，
所以4个交点横坐标之和为4，
则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意，
综上，实数的取值范围是.
故选：C.
9．【答案】AD
【解析】已知数列满足，则，所以数列是以3为一个周期的周期数列．
对于A项，，A项正确；
对于B项，，B项错误；
对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则，C项错误；
对于D项，，所以，D项正确．
故选：AD．
10．【答案】BC
【解析】由图象可知，，解得，
所以，
将点代入中，得，解得，
又，所以，所以，故A错误；
所以函数的解析式为.
由，得，令，则在上单调
递增，所以函数在区间上单调递增，故B正确；
，故C正确；
，所以函数的图象不关于直线对称，故D错误.
故选：BC.
11．【答案】BCD
【解析】对于A，连接，则为矩形，则，
而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故，
则四点共面，故直线，不是异面直线，故A错误；
对于B，由于平面，故即为直线与平面所成角，
而，则，
故，故B正确；
对于C，连接交于点O，连接，
平面平面，故，
又平面，故平面，
即为二面角的平面角，
又，
故，故C正确；
对于D，连接，则，
则梯形即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，
而，
故等腰梯形的高为，
故等腰梯形的面积为，
即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为，故D正确，
故选：BCD.
12．【答案】/
【解析】分别取的中点，连接，则∥，
且∥，，可知为平行四边形，则∥，
可得∥，即四点共面，
因为平面，平面，则，
又因为，
即，可知，可得，
且，平面，
可得平面，由平面，可得，
连接，
因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，
可得平面，由平面，可得，
且，平面，
可得平面，可知平面即为平面，
设正方体的棱长为2，
则正方体的体积为，三棱台的体积为，
可知，，所以.
故答案为：.
13．【答案】
【解析】由题意可知：的定义域为，
令，解得；令，解得；
则当时，，故，所以；
当时，，故，所以；
故，即.
当时，则，
当且仅当，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14．【答案】
【解析】设点，点为弦的中点，有，
将两点代入椭圆方程，得，
两式作差得，整理得
得直线的斜率为，直线的方程为，即.
经检验符合题意.
故答案为：.
15．【答案】(1)；(2)
【解析】（1）数列 满足 ，
整理得 ，又，
即 (常数)，
所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.
故 ，
整理得 .
（2）由于 ，所以 ，
所以 ①，
②，
① - ②得： ，
所以 .
16．【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意得，
又（），得（），
令，得，令，得，
所以在上的单调递增区间是.
（2）因为，
所以（），得，
又C是锐角，所以.
由余弦定理，得，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，
故△ABC的面积的最大值为.
17．【解析】（1）证明：取的中点，
因为为棱的中点，
所以，，
又，，为的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
（3）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
又，所以，
又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，
所以，，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值为．
18．【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意可得，又，可得，
所以，
所以椭圆C的方程为：.
（2）连接，由O为的中点，而D为的中点，所以OD为中位线，即，
即，设，可得，
在中，，所以，
整理可得，可得，
所以可得A为上顶点或下顶点，
所以直线AB斜率为或，即或．
所以k的值为．
19．【解析】（1）要证，需证明，
令，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
即对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
所以；
（2）要证，
只需证明，
只需证明，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，所以；
再令，则，
当时，，当时，，
知在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
因为与不同时为0，所以，
故原不等式成立．