武威第六中学教育集团2024~2025学年度第一学期开学考试
高二年级数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．已知向量，，．若，则实数的值为（ ）
A．－8 B．－6 C．－1 D．6
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．数列是等差数列，若，，构成公比为q的等比数列，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：
下列结论正确的是（ ）
A．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5
B．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7
C．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%
D．2023年该校不上线的人数有所减少
6．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，平面，若三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
8．已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为
A． B．2 C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角的余弦值为 D．若，则
10．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
11．如图，在正方体中，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面 B．异面直线与所成角为
C．三棱锥的体积为定值 D．平面与底面ABCD的交线平行于AC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）
12．已知等比数列满足，，则 ．
13．如图，正八面体的12条棱长相等，则二面角的余弦值为 .
14．在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是_____________
①事件A与事件B是相互独立事件，②事件A与事件C是互斥事③ ④
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知复数，（i为虚数单位）．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
16．（15分）已知数列中，，．数列的前项和为，且．
(1)求数列以及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．（15分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率.
18．（17分）在①；②；③的面积为S，且，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中并求解．
在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，
（1）求角C；
（2）函数的最小正周期为π，c为在上的最大值，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答积分．
19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．高二第一学期开学考试数学参考答案
一、单选
1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．D 7．B 8．A
二、多选
9．BD 10．BC 11．ACD
三、填空
12． 13．. 14. ①④
四、解答题
15．【详解】（1），则；
（2），因为，
所有，解得
16．【详解】（1），即，又，所以是首项、公比都为2的等比数列，所以，当时，由，得，
，当时，，符合上式，.
（2）由（1）得，
则
，数列的前项和.
17．【详解】（1）解：由频率分布直方图性质得：
，解得
平均数为，
∴估计样本数据的平均数为157.6；
（2）解：采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，
则中抽取人，
分别记为，，，，中抽取人，分别记为，，
现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，共15个，
抽取的2人恰好观看时长在基本事件有：
，，，，，共6个，
所以抽取的3人中恰有2人的观看时长在的概率为.
18．【详解】若选①，,
(1)根据，由正弦定理得
可得，由为锐角三角形，则，则
所以, 且，则.
若选②，
由，根据正弦定理得，
，
，由为锐角三角形，则，则，
若选③，△ABC的面积为S，且，可得,
,即,由为锐角三角形，则，则，
(2) 函数，
函数的最小正周期为，则，，当[0，]，，，故,由（1），
由正弦定理得，所以，，
则
,因为则，故.
19．【详解】（1）连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且，
所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，，
又，，，所以，
所以，
又，所以，
设点到平面的距离为，则，即，
解得，即点到平面的距离.
（3）连接，，则且，
又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以，
取的中点，连接，则且，
又为中点，所以，又，所以，
由平面，平面，所以，，
又，平面，所以平面，则平面，
又，平面，所以平面，
连接，，则为直线与平面所成的角，即，
所以，为直线与平面所成的角，即，
所以，所以，
又，设，，所以，
所以，令，则，
所以，
因为，所以，所以当时取得最大值，且最大值为，所以.
