第十二章 全等三角形 单元检测题（含解析）

第十二章 全等三角形 单元检测题
满分：120分；考试时间：120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可绕点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
3．（本题3分）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D．若，则点D到的距离为（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．（本题3分）如图，中，，平分，交于点D，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（本题3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 那么，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①去和带②去
6．（本题3分）如图，，，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）下列命题：①三角形的三边长确定后，三角形的形状就唯一确定②三角形的角平分线，中线，高线都在三角形的内部；③全等三角形面积相等，面积相等的三角形也全等．其中假命题是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8．（本题3分）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（　　）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
10．（本题3分）如图，点D是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E ，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）一个三角形的三条边长分别为5，8，x，另一个三角形的三条边长分别为5，6，8，若这两个三角形全等，则 ．
12．（本题3分）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当点Q的运动速度为 时，能够使△BPE与△CQP全等．
13．（本题3分）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
14．（本题3分）如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ．
15．（本题3分）如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ．
三、解答题（共75分）
16．（本题8分）如图，已知，E、F是AC上两点，且，求证：．
17．（本题8分）在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若DE平分∠ADC，∠AED＝90°，点F为AD上一点，DF＝DC．
求证：（1）△DCE≌DFE；
（2）AD＝AB+CD；
18．（本题8分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，∠ABD=∠BCE，且AD=BE．
(1)证明：①；②；
(2)若BC=15，AD=6，请求出DE的长度．
19．（本题8分）已知：如图，点O在射线AP上，．求证：．
20．（本题8分）如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于．
(1)求证：；
(2)请你判断并与之间的数量关系，并证明；
(3)如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
21．（本题10分）如图，，于点B，直线于点C，点P从点B开始沿射线移动，过点P作，交直线l于点Q．
(1)求证：；
(2)当点P运动到何处时，？写出点P的位置并说明理由．
22．（本题12分）太原市实验中学计划为七年级的同学配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（金属材料的宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，O分别是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，折叠凳撑开后的最大宽度为，猜想与的数量关系，并说明理由．
23．（本题13分）在平面直角坐标系中，、，点为线段上一点，且，连接．

(1)求点坐标；
(2)作直线轴，作交于点，求证：；
(3)在(2)的条件下，在直线上一动点，连接并在轴下方作且，连接点与点的线段交轴于点，当，则点坐标为______(请同学们自己画图，并直接写出结果)．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知和图形可得，，，据此即可判断求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵点为的中点，
∴，，
又∵，
∴由“边角边”可证明，
故选：．
3．B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，即可解题．
【详解】解：由题知，为的角平分线，
作于点，
，，
，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．
过点D作于点E，根据三角形的面积公式求出，结合角平分线的性质即可解答．
【详解】解：过点D作于点E，则，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
故选：A．

5．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】解：第③块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第①块，不但保留了原三角形的两个角还保留了两个角的夹边，符合判定定理“”，所以应该拿这块去．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握“”．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
要根据“”证明，还要添加一个条件是．
故选：A
7．B
【分析】本题考查了命题真假的判断，与三角形有关的线段，全等三角形的判定与性质；根据全等三角形的判定定理可判断①；根据与三角形有关的线段可判断②；根据全等三角形的性质及判定可判断③，最后可作出结论．
【详解】解：三角形的三边长确定后，三角形的形状就唯一确定，①是真命题；
三角形的角平分线，中线，都在三角形的内部；但高线可在三角形的外部也可是三角形的一边，②是假命题；
由全等三角形性质知，全等三角形面积相等；但面积相等的两个三角形未必全等，③是假命题；故假命题有两个；
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理的应用．由题意可知点O为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵点O到三边距离相等，
∴点O为的三条角平分线的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值．
【详解】解：过D作于F，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∵的面积为7，
∴
即，
解得：，
故选：A．
10．B
【分析】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明；然后得到，证明，得，然后求出；根据得到，然后由，即可证明出；根据可得，然后根据三角形内角和定理得到．
【详解】解：如图所示，
∵平分，，，
∴，
在和中，
∴，故①不符合题意；
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③不符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，故④符合题意；
故选B．
11．6
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，一个三角形的三条边长分别为5，8，x，另一个三角形的三条边长分别为5，6，8，
∴．
故答案为：6．
12．2或3.5cm/s
【分析】分两种情况：①当EB=PC时，△BPE△CQP，②当BP=CP时，△BEP△CQP，进而求出即可．
【详解】解：设运动的为ts，分两种情况：
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE△CQP，
∵AB=20cm，AE=6cm，
∴EB=14cm，
∴PC=14cm，
∵BC=16cm，
∴BP=2cm，
∴QC=2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t=2÷2=1（s），
∴点Q的运动速度为2÷1=2(cm/s)；
②当BP=CP，BE=QC=14cm时，△BEP△CQP，
由题意得：2t=16-2t，
解得：t=4（s），
∴点Q的运动速度为14÷4=3.5(cm/s)；
综上，点Q的运动速度为2或3.5cm/s；
故答案为：2或3.5 cm/s．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质．
13．100
【分析】根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得．本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
【详解】解：在和中，
，
，
，
故答案为：100．
14．15
【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．
过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过作于点，
平分，于点，
，
的面积，
故答案为：15．
15．
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质，连接，过点E作交的延长线于点G，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，即可求解；掌握相关的性质，构建三角形全等是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G，
为中点，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
同理可证：，
，
，
解得：，
，
故答案：．
16．证明见解析
【分析】先证明，再利用证明即可．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平分，可以得到．然后根据即可得到；
（2）根据（1）中的结论，可以得到，，再根据，可以得到，然后根据点为的中点，即可得到，再根据即可得到，从而可以得到，然后即可证明结论成立．
【详解】解：（1）证明：平分，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）知，，
，，
，，
，，
，
点为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)9
【分析】（1）①由ASA证明全等即可，②由①可证明；
（2）由△ABD≌△ECB可证DE=BD-BE=15-6=9．
【详解】（1）解：证明：①
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA），
② 由①得：△ABD≌△ECB
∴∠ADB＝∠EBC，
∴AD∥BC ；
（2）∵△ABD≌△ECB，BC=15，AD=6，
∴BD＝BC=15，BE=AD=6，
∴DE=BD-BE=15-6=9．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．
19．见解析
【分析】根据，可得，又已知，公共边AO，利用ASA可证得，得出．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，利用ASA证得，即可得出．
20．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)成立，证明见解析
【分析】（1）角平分线结合三角形的外角的性质，推出，即可得证；
（2）连接，易得是的角平分线，进而得到，证明，即可得证；
（3）连接，过点作，得到是的角平分线，进而得到，根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，推出，四边形的内角和得到，推出，证明，即可得证．
【详解】（1）解：∵是直角，，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
连接，
∵、分别是、的平分线，、相交于点，
∴是的角平分线，
∵于，于，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴；
（3）成立，证明如下：
连接，过点作，则：，
∵、分别是、的平分线，、相交于点，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形．
21．(1)见解析
(2)当时，；理由见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得答案；
（2）利用证明，可得答案．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点P在线段上时，
∵，
∴，
∴；
当点P在延长线上时，
同理可得，
综上：当时，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
22．，理由见解析
【分析】先证明，再由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：
理由：∵O是的中点
∴．
∵，
∴．
在和中
∴，
∴．
23．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）如图中，作轴于，作轴于．求出、的面积即可解决问题；
（2）如图中，作于，于．只要证明即可解决问题；
（3）分两种情形①如图中，当点的坐标为，时，作于．②如图中，当点的坐标为，时，作轴于．分别求解即可；
【详解】（1）解：如图中，作轴于，作轴于．

，
，
，
，
（2）证明：如图2中，作于，于．

上的点的横坐标为，，
，
，
，
在和中
，
∴
;
（3）①如图中，当点的坐标为时，作于．

，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
②如图中，当点的坐标为时，作轴于．

同法可得，，，
，
综上所述，点的坐标为或．
故答案为或．
【点睛】本题考查三角形综合题、图形与坐标的性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
答案第1页，共2页
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