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2024年下学期望城区第二中学高三入学考试
数 学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在方向上的投影向量的模为1，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，点在上，且 ，点是的中点，若 ， ，则 等于
A.（-2,7） B.（-6,21） C.（2，-7） D.（6，-21）
4．函数的定义域为，且，若，则函数（ ）
A．以为周期 B．最大值是1
C．是函数的一个对称中心 D．既不是奇函数也不是偶函数
5．如图，在中， 是边上的点，且满足， ， ，则
A． B． C． D．0
6．已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
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A．1 B． C．3 D．5
8．如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．不等式“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．
B．若，则的最小值为
C．取最小值时
D．设，则
11．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线的斜率为
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数填入 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数字之和为，
如图三阶幻方的，那么 的值为 ．
13．由球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，PC，且，，，则球O的半径 ．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15．化简求值：
（1）化简：；
（2）求的值．
16．如图，四棱锥中，，，底面中，，，，是线段上一点，设.
(1)若，求证：平面；
(2)是否存在点，使直线与平面所成角为，若存在，求出；若不存在，请说明理由.
17．某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.
(1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望；
(2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.
18．对于函数，（），.
(1)当曲线在点处的切线方程为时，求、；
(2)当，且时，过曲线上任一点作轴的垂线，与曲线交于点，若点在点的下方，求的取值范围.
19．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点且斜率为1的直线与曲线：（是参数）交于两点，与直线：交于点.
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）若的中点为，比较与的大小关系，并说明理由.参考答案：
1．D
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意，.
故选：D.
2．B
【分析】根据投影向量的模长公式计算出，再由向量垂直关系列出方程，求出，得到夹角.
【详解】由题可得所以.
因为，所以，
所以，所以，
即.
因为，所以.
故选：B.
3.D
4．D
【分析】利用赋值法，分别令、，、，、，得到，即可得到解析式，再逐项判断.
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【详解】因为且，
令，，得①，
令，，得②，
令，，得③，
由①②③式得，
即.
则的最小正周期，故A错误；
的最大值为，故B错误；
因为，故关于对称，故C错误；
因为，所以，且，
所以既不是奇函数也不是偶函数，故D正确.
故选：D.
5．D
【详解】设则，，易知，由余弦定理可得，解得，故,
故选D
6．A
【分析】由题，将问题转化为在上无解，进而研究函数性质可得，再求得的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
且，
因为函数有唯一的极值点，
所以有唯一正实数根，
因为，所以，故在上无解，
所以在上无解，
记，，则有，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
此时时，有最小值，
所以，即，
所以，即的取值范围是.
故选：A
7．C
【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得的代数式，进而求得其最大值.
【详解】过点作、，垂足分别为、，
如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点，
在中，，
所以，即，
即，
，
同理，
则
，
由正弦定理得，
当且仅当时取“=”，
所以的最大值为.
故选：C.
8．B
【分析】根据已知条件依次求得两点的坐标，由此可求得的值.
【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为，
则，由，，
所以，所以椭圆方程可化为，
由，两式相减得，
，则，
根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称.
则，
直线的方程为.
将代入得，
由，解得或，
而，，所以，
所以，所以双曲线方程可化为，
由消去并化简得，
设，解得，所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，的关系是不相同的.
9．AB
【解析】解不等式，利用必要不充分条件的定义即可求解.
【详解】解不等式得：或，
所以不等式“”的充要条件是或．
根据必要不充分条件的定义可知：
不等式“”的一个必要不充分条件等价于：
或是选项的真子集，所以选项正确.
故选：AB.
【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的定义，属于中档题.
10．AC
【分析】对于A：根据题意列式求解，即可得结果；对于B：根据等差数列性质可得，再结合基本不等式分析运算；对于C：根据等差数列通项的正负性分析判断；对于D：利用错位相减法分析运算.
【详解】对于选项A：设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以，故A正确；
对于选项B：若，则，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
但，所以的最小值不为，故B错误；
对于选项C：令，解得，
又因为，可得的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以取最小值时，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
可得，
两式相减得：
，
所以，故D错误；
故选：AC.
11．AD
【分析】依题意设，，联立方程组，设而不求，利用韦达定理以及可求出直线的斜率，可判断B的正误，利用抛物线焦半径公式可判断C，D的正误，再利用抛物线焦点三角形面积公式可判断A的正误.
【详解】依题意，焦点，
易知，当的斜率不存在时，，与题意不符，故舍去，
所以，设，，
联立方程组，①，
消化简得，，②，
其中，所以，，
所以，解得，故B选项错误，
将代入②中，可得，解得，
所以，故C选项错误，
，故D选项正确，
由①式，消化简得，
所以，，
所以，
把代入得，，故A选项正确，
故选：AD.
12．369
【分析】直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果．
【详解】解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列，
则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于．
根据求和公式得：，
则．
故答案为：．
13．
【分析】以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体,由于点P，A，B，C都在球O的球面上,得到长方体内接于球O，对角线PF长就是球O的直径，即可得出半径．
【详解】以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体．
由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以
故球O的半径
【点睛】一般地，如果半径为R的球O有两两互相垂直的三条弦PA，PB，PC，那么为定值．
14．4
【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在焦点三角形中， 处长交于点，
因为为的内心，所以有，
，
因为，
所以有，
因此的离心率为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.
15．（1）；（2）4.
【分析】（1）利用诱导公式和同角的三角函数基本关系式可求值.
（2）利用辅助角公式和倍角公式可求值.
【详解】（1）.
（2）原式.
16．(1)证明见解析
(2)存在，或，理由见解析
【分析】（1）取中点，证明，由线线平行证得线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题.
【详解】（1）取中点，连接，如图所示，
∵，∴为中点，，且.
∵，，
∴且，∴得四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，
故平面.
（2）取中点，以为原点，，平面内过点垂直于的直线为轴，过点垂直平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：，
设，，∵
∴，，，，.
∴， ，，
解得：，，，∴，∴，
设，，又∴，
设平面的法向量为∴，
令，解得，，∴，
∴，
整理得：，解得或，
，所以，解得或.
17．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据条件知，利用二项分布列及期望公式，即可求出结果；
（2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品，
则，，，，再利用全概率公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题知，，
所以的分布列为，
.
（2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品，
则，，，，
所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）求得和导数，运用导数的几何意义和切点的含义，可得，的方程，解方程可得，的值；
（2）由题意可得已知条件可转化为，，由转化为的函数，由，求得单调性和最值，即可得到所求范围．
【详解】（1）解：因为，则，
，则，
依题意得，解得．
（2）解：已知条件可转化为，，
由得，
，
又，由；由；由．
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
则有，又得．
故的取值范围是．
19．（1）；（2），详见解析
【解析】（1）将方程消参得到，即为曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化关系，将化为，即为直线的直角坐标方程；
（2）联立消去y得，设点，，则由中点公式，得点M的坐标是，由韦达定理得到点M的坐标是(4，3)，联立，求得点N的坐标是，应用两点间距离公式和弦长公式求得与的值，比较可得结果.
【详解】（1）由得：
，
故曲线C的普通方程是；
由及公式得，
故直线的直角坐标方程是.
（2）因为直线过点且斜率为1，
所以根据点斜式得，直线的方程为，即.
曲线C：是以点为圆心，为半径的圆，
联立消去y得.
设点，，则由中点公式，得点M的坐标是.
由韦达定理，得，，所以，
所以点M的坐标是(4，3).
联立解得，故点N的坐标是.
所以由两点间的距离公式，得.
所以由弦长公式，得弦长.
因为，
所以.故.
【点睛】该题考查的是有关选修4-4的内容，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，直线被曲线所截弦长问题，两点间距离公式，属于中档
题目.
