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第1章 全等三角形 单元测试培优卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 工业园区校级期末）下列各组图形中，属于全等图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】各组图形中，属于全等图形的是第三组图形．
故选．
2．（2023秋 沭阳县月考）已知图中的两个三角形全等，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】图中的两个三角形全等，
与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，
．
故选．
3．（2023秋 平山县期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选．
4．（2023秋 新吴区期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．在和中，，，，
无法证出，选项符合题意；
．在和中，
，
，选项不符合题意；
．在和中，
，
，选项不符合题意；
．在和中，
，
，选项不符合题意．
故选．
5．（2023秋 泗阳县期中）下列说法中，正确的是
A．周长相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个钝角三角形全等
C．周长相等的两个等腰三角形全等
D．周长相等的两个等边三角形全等
【答案】
【解析】周长相等的两个直角三角形不一定全等，
故选项不符合题意；
周长相等的两个钝角三角形不一定全等，
故选项不符合题意；
周长相等的两个等腰三角形不一定全等，
故选项不符合题意；
周长相等的两个等边三角形，三边对应相等，
根据可证这两个等边三角形全等，
故选项符合题意，
故选．
6．（2022秋 大丰区校级月考）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，在和中，
，
，
（或观察图形得到，
，
，
又，
．
故选．
7．（2019秋 沭阳县期中）如图，，，垂足分别为、，、相交于点．如果，那么图中全等的直角三角形的对数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】，，
，
在和中，
，
；
，，
，
，
在和中，
，
；
，，
在和中，
，
；
共有3对全等直角三角形，
故选．
8．（2023秋 锡山区校级月考）如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连接，使．下列结论中正确的个数为
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】为中线，
．
，，
，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
，
，故④正确；
，
，故③正确．
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 拱墅区校级月考）下列说法正确的是 ②④⑤ （填写语句的序号）
①形状相同的图形是全等图形；
②边长相等的等边三角形是全等图形；
③面积相等的三角形是全等三角形；
④平移前后的两个图形一定是全等形；
⑤全等图形的对应边和对应角都相等．
【答案】②④⑤
【解析】①形状相同，大小相等的图形是全等图形，故本小题错误；
②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；
③面积相等的三角形是全等三角形，错误；
④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；
⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确．
所以，正确的说法有②④⑤．
故答案为：②④⑤．
10．（2020秋 鼓楼区月考）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则 6 ．
【答案】6
【解析】由题可知，图中有8个全等的梯形，所以．
11．（2024春 崇川区校级期末）如图，，，要使，则可以添加的一个条件是 （答案不唯一） ．
【答案】
【解析】添加条件：，
，
，
在和中，
，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（2023秋 铜山区期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出的依据是 ．
【答案】．
【解析】由作法易得，，，
在与△中，
，
△，
（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：．
13．（2019秋 东台市月考）如图，在与中，，，，，则 ．
【答案】
【解析】在与中，
，，，
，
．
故答案为：．
14．（2023秋 滨海县期中）如图，要测量小河两岸相对的、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点、、在一条直线上．若测量的长为25米，则、两点之间的距离为 25 米．
【答案】25．
【解析】，，
，
在和中，
，
，
米，
即、两点之间的距离为25米．
故答案为：25．
15．（2022秋 启东市期末）如图，已知线段，于点，，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发 5 秒后，在线段上有一点，使与全等．
【答案】5．
【解析】由题意可知：，，，
①当时，
，即：，
解得：，
此时：，符合题意；
②当时，
，即：，
解得：，
此时，
，
故不符合题意．
故答案为：5．
16．（2022秋 大丰区月考）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为 64 ．
【答案】64．
【解析】如图所示，连接，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：64．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 灌云县校级月考）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）．
【解析】如图，
18．（2023秋 泉山区校级期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，，．求的度数及，的长．
【答案】，，．
【解析】，，，，
，，，
，
即，
，
．
19．（2023秋 南京月考）求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．
【解析】已知：如图，在和△中，，
于，于，，，
求证：△．
证明：于，于，
在与△中，
，
△，
．
在和△中，
，
△．
20．（2023秋 宿城区校级期中）已知：如图，点、在线段上，，，，，求证：．
【解析】证明：，
；
；
在和中
，
，
．
21．（2024 昆山市一模）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
（1）求证：
（2）若，，，求的度数．
【解析】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
22．（2023秋 海门市月考）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
（1）与全等吗？请说明理由．
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？
【解析】（1）与全等．
理由如下：
由题意可知，，
，
．
，
在与中，
，
；
（2），
，，
、分别为和，
，，
，
妈妈在距地面高的处，即，
，
答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的.
23．（2023秋 锡山区校级月考）如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：．
【解析】证明：（1），
，，
，
在和中，
，
；
（2），，
，
由（1）知，
，
，
，
，
；
（3）延长到，使得，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
24．（2023秋 海州区校级期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ．
（1）如图（1），当 或 时，的面积等于面积的一半；
（2）如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
【解析】（1）①当点在上时，如图①，
若的面积等于面积的一半；则，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
②当点在上时，如图①
若的面积等于面积的一半；则，即点为中点，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
故答案为：或；
（2），即，对应顶点为与，与，与；
①当点在上，如图②所示：
此时，，，
点移动的速度为，
②当点在上，如图②所示：
此时，，，
即，点移动的距离为，点移动的距离为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好，
点的运动速度为或．
25．（2024春 昆山市校级月考）如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，．
（1）判断： （用“”、“ ”、“ ”填空）；
（2）探究：与之间的关系；
（3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
【解析】（1）设、交于，
、是高，
，
，
，，
；
故答案为：；
（2）结论：，，
证明：、是的高，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
而，
，
即，
；
即，；
（3）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
、是的高，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，．
26．（2023秋 兴化市月考）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，，．
（1）求，的值；
（2）若分别以3，，为边长的三角形存在，试确定，的值，并说明理由；
（3）当边长小于边长时，在以，，为边长的三角形中，边长为的边上的中线长度为，请直接写出的长度取值范围．
【解析】（1）由题意可得，或，
解得，或，
故，或，；
（2）当，时，以3，，为边长的三角形存在．理由如下：
如果，，
，
以3，5，9为边长的三角形不存在，舍去；
如果，，
，
以3，6，7为边长的三角形存在，符合题意；
，；
（3），
，舍去，，符合题意，
此时三边为，6，7；
如图，已知中，，，，为边的中线，
延长至，使，连接．
为中线，
，
在和中，
，
，
．
在中，，
即，
，
即．
27．（2024春 乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ．
【解析】（1）如图1，延长到，使，连接．
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
易证．
．
．
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
，，
，
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
．
．
．
（3）当（1）结论成立，
当图三中，或．
证明：在上截取，使，连接．
，，
．
在与中，
，
．
，．
．
．
，
．
．
同理可得：
．
故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或．
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第1章 全等三角形 单元测试培优卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024春 工业园区校级期末）下列各组图形中，属于全等图形的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 沭阳县月考）已知图中的两个三角形全等，则的度数是
A． B． C． D．
3．（2023秋 平山县期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是
A． B． C． D．
4．（2023秋 新吴区期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是
A． B． C． D．
5．（2023秋 泗阳县期中）下列说法中，正确的是
A．周长相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个钝角三角形全等
C．周长相等的两个等腰三角形全等
D．周长相等的两个等边三角形全等
6．（2022秋 大丰区校级月考）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则
A． B． C． D．
7．（2019秋 沭阳县期中）如图，，，垂足分别为、，、相交于点．如果，那么图中全等的直角三角形的对数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023秋 锡山区校级月考）如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连接，使．下列结论中正确的个数为
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 拱墅区校级月考）下列说法正确的是 （填写语句的序号）
①形状相同的图形是全等图形；
②边长相等的等边三角形是全等图形；
③面积相等的三角形是全等三角形；
④平移前后的两个图形一定是全等形；
⑤全等图形的对应边和对应角都相等．
10．（2020秋 鼓楼区月考）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则
．
11．（2024春 崇川区校级期末）如图，，，要使，则可以添加的一个条件是 ．
12．（2023秋 铜山区期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出的依据是 ．
13．（2019秋 东台市月考）如图，在与中，，，，，则 ．
14．（2023秋 滨海县期中）如图，要测量小河两岸相对的、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点、、在一条直线上．若测量的长为25米，则、两点之间的距离为 米．
15．（2022秋 启东市期末）如图，已知线段，于点，，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发
秒后，在线段上有一点，使与全等．
16．（2022秋 大丰区月考）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 灌云县校级月考）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）．
18．（2023秋 泉山区校级期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，，．求的度数及，的长．
19．（2023秋 南京月考）求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．
20．（2023秋 宿城区校级期中）已知：如图，点、在线段上，，，，，求证：．
21．（2024 昆山市一模）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
（1）求证：
（2）若，，，求的度数．
22．（2023秋 海门市月考）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
（1）与全等吗？请说明理由．
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？
23．（2023秋 锡山区校级月考）如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求证：．
24．（2023秋 海州区校级期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ．
（1）如图（1），当 时，的面积等于面积的一半；
（2）如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
25．（2024春 昆山市校级月考）如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，．
（1）判断： （用“”、“ ”、“ ”填空）；
（2）探究：与之间的关系；
（3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
26．（2023秋 兴化市月考）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，，．
（1）求，的值；
（2）若分别以3，，为边长的三角形存在，试确定，的值，并说明理由；
（3）当边长小于边长时，在以，，为边长的三角形中，边长为的边上的中线长度为，请直接写出的长度取值范围．
27．（2024春 乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ．
声
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