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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 下册第27章
课标要求 1.理解圆、弧、弦、圆心角、 圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 2.探索并证明垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系， 知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半； 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 4.了解三角形的内心与外心。 5.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念 (例75)。 6.能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆 ;作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 7.能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线 (例76)。 8.探索并证明切线长定理： 过圆外一点的两条切线长相等。 9.会计算圆的弧长、扇形的面积。 10.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
内容分析 本章是华师大版九年级下册第27章《圆》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的性质”。学生已经学习了简单图形的周长、面积和体积等知识，对立体图形和平面图形有了初步的认识，形成了基本的空间观念和几何观念。本章内容先由生活中的常见图形引入圆，随后引导学生观察圆的基本元素，分别探究点、线圆的位置关系和圆的切线，然后解决与圆有关的计算问题，最后探究正多边形的外切圆与内切圆，进一步巩固圆的相关知识，为后续学习圆柱、圆锥等立体几何知识打下基础。但是由于本章内容需要较强的抽象逻辑思维和空间想象能力，教师应注意用直观教学手段展示圆的基本元素和性质，帮助学生形成直观认识；同时让学生亲自动手操作，体验知识探究的过程和形成过程。
学情分析 学生已经直观认识了圆，并学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，这为学习圆的相关知识提供了一定的基础。但是圆的性质较为抽象和复杂，学生的空间观念和几何观念正在发展中，因此学生在理解和应用上可能会存在一定的困难。本章在此基础上，通过多媒体等教学工具向学生直观的展示圆的相关的概念；同时让学生自己动手操作，探究知识的形成过程，发展学生的几何意识和动手能力；通过大量与生活相关的实际问题，让学生感受数学知识与生活之间的联系，发展数学素养。
单元目标 （一）教学目标 1.理解并掌握圆的基本元素 2.理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系，并能灵活运用这些关系解题 3.掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 4.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题 5.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 6.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 7.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系 8.理解和掌握切线的判定定理和性质定理；能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题 9. 了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心 10.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题 11.能掌握圆锥的组成，并解决圆锥相关的问题 12.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.掌握垂径定理及其推论; 2.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论 3.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 4.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 5.理解和掌握切线的判定定理和性质定理； 6. 了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心 7.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能解决圆锥相关的问题 8.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形 教学难点： 1.能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 2.能运用圆周角的知识解决数学问题 3.掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 4.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系 5.能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数27.1圆的认识327.2与圆有关的位置关系427.3圆中的计算问题227.4正多边形与圆1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务27.1.1圆的基本元素1、理解并掌握圆的基本元素，能识别其基本元素。 2、通过观察、对比等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的探索精神和创新意识。1.能识别圆的基本元素。 活动一：情景导入， 展示生活中常见的圆形，激发学生学习的兴趣 活动二：观察圆的图形，思考圆的形成过程及其基本特征，探究圆的基本元素。 活动三：例题训练，请学生回答问题. 活动四：课堂小结，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.2圆的对称性1．理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系，并能灵活运用这些关系解题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生的空间想象能力和动手能力。 3、感受数学图形的奇妙，提高学生对数学的兴趣。1．理解圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧和弦之间的关系 2.能够利用圆心角、弧和弦之间的关系进行简单应用 活动一：复习引入，回顾圆的基本元素，为继续探究圆的对称性奠定基础。 活动二：通过对折旋转等方式探究圆的对称性，以及弧、弦和圆周角之间的关系 活动三：例题精讲，运用圆心角、弧和弦之间的关系进行简单应用 活动四：课堂小结，巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.3垂径定理1、掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 2、通过动手操作、观察对比等活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 3、通过发现、推理验证垂径定理的过程，培养学生的数学逻辑思维和严谨的数学态度。1、能掌握垂径定理及其推论 2.能运用垂径定理解决相关的证明、计算问题。 活动一：复习引入，回顾圆的对称性中圆心角、弧和弦之间的关系 活动二：学生通过对折等方式进行探究，用演绎推论的方式证明结论，得到垂径定理。 活动三：例题精讲，运用垂径定理解决相关的证明、计算问题 活动四：知识总结，加深对知识的理解和记忆，培养学生的归纳总结能力。 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.1.4圆周角1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用圆周角的知识解决数学问题。 2、引导学生经历圆周角定理的探究、证明和应用过程，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 3、激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养严谨求实的数学态度。1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论 2.能运用圆周角的知识解决数学问题。 活动一：复习引入，回顾所学知识 活动二：学生动手操作，发现圆周角定理，证明圆周角定理及其推论的过程，加深学生对知识的理解 活动三：例题精讲，让学生运用圆周角定理及其推论进行简单的证明和计算，巩固知识，提高学生的应用能力和解题技巧。 活动四：知识总结，回顾本节课所学内容，梳理知识，巩固记忆 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.1点与圆的位置关系1.理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系；探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。 2.通过生活中的实际例子，探求点和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识；渗透数形结合、分类讨论等数学思想。 3. 激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学态度和科学探索的学习方法。1.能理解并掌握点和圆的三种位置关系及其数量关系 2.掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法 活动一：情景导入，将数学与实际生活相联合，调动学生思维的积极性 活动二：通过动手操作、合作交流等方式，理解点和圆的三种位置关系以及三角形的外接圆、外心、内接三角形的概念和过不在同一直线上的三点画圆的方法 活动三：例题精讲，巩固和加深他们对课堂所学内容的理解，发展学生的思维和解题能力。 活动四：课堂小结，梳理本节课的知识框架 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.2.2直线与圆的位置关系1.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）；能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系。 2.通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。 3.渗透数形结合、归纳总结等数学思想，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的科学态度和科学探索的学习方法。1.能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离） 2.能够利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法判断直线与圆的位置关系。 活动一：情景导入，将数学与实际生活相联合 活动二：探究新知，结合图像理解直线与圆的三种位置关系，并会判断直线与圆的位置关系 活动三：例题训练，巩固和加深他们对课堂所学内容的理解 活动四：课堂小结，帮助学生形成系统、完整的知识体系 活动五：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题27.2.3切线（1）1.理解和掌握切线的判定定理和性质定理；能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题。 2.通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。 3.通过小组合作学习和自主探究，提高学生的综合运用能力和团队协作能力。1.能理解和掌握切线的判定定理和性质定理 2.能够灵活运用切线的判定定理和性质定理解决相关问题 活动一：情景导入，调动学生思维的积极性 活动二：探究新知，理解切线的判定定理和切线的性质定理 活动三：例题训练，根据题目要求选取恰当的表达式 活动四：课堂小结，巩固和加深学生对课堂所学内容的理解 活动五：巩固练习，请学生回答问题.27.2.4切线（2）1、了解并掌握切线长定理，能够运用定理解决实际问题；熟悉三角形内切圆的概念；掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心。 2.培养学生积极的学习态度，激发学生对数学几何知识的兴趣，增强学生的学习自信心。 3.通过探索三角形内切圆的性质，使学生感受数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣。1.能够运用切线长定理解决实际问题 2.能理解三角形内切圆的概念 3.掌握三角形内心的定义，能够准确找出三角形的内心活动一：复习导入，回顾切线的判定定理和切线的性质定理 活动二：探究三角形内切圆的概念和三角形内心的定义，学习如何准确找出三角形的内心 活动三：例题精讲，应用所学知识解决简单的实际问题 活动四：课堂小结，巩固所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.3.1弧长与扇形的面积1.掌握弧长和扇形面积的计算公式；能够运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 2、通过等分圆周的方法，体验弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生的探索能力、空间想象能力和数学运用能力。 3、体会数学与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。1.能掌握弧长和扇形面积的计算公式 2.运用公式准确计算弧长和扇形面积，并解决相关问题。 活动一：情景导入，激发学生的学习兴趣和求知欲 活动二：通过等分圆的方式探究弧长和扇形面积的计算公式 活动三：例题训练，加强学生对本节课知识的掌握和理解 活动四：课堂小结，引导学生自主总结公式记忆技巧和应用方法 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.3.2圆锥的相关计算1、掌握圆锥的组成，能够解决与圆锥相关问题。 2、通过对圆锥知识的学习，培养学生的空间几何观念。 3、培养学生良好的数学习惯。1、理解圆锥的组成 2.能够解决与圆锥相关问题。 活动一：复习导入，回顾所学知识 活动二：探究圆锥的组成，以及与圆锥相关的计算 活动三：例题训练，提高学生的应用能力和解题技巧 活动四：课堂小结，回忆所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题27.4正多边形和圆1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形。 2.经历从具体到抽象、从感性到理性的探究过程，培养抽象思维和用数学知识解决实际问题的能力。 3.鼓励学生勇于探索知识，培养他们的探索精神和创新意识。1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系 2.能通过圆来构造正多边形。 活动一：情景导入，引入课题 活动二：探究正多边形与圆之间的密切联系，学习通过圆来构造正多边形 活动三：例题训练，提高学生的应用能力和解题技巧 活动四：课堂小结，巩固所学知识 活动五：巩固练习，请学生回答问题
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27. 4 正多边形与圆
华师大版九年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形。
2.经历从具体到抽象、从感性到理性的探究过程，培养抽象思维和用数学知识解决实际问题的能力。
3.鼓励学生勇于探索知识，培养他们的探索精神和创新意识。
复习导入
问题一： 什么是正多边形？
各条边相等，各个角也相等的多边形是正多边形.
缺一不可
等边三角形是正三角形，正方形是正四边形。
正多边形都是轴对称图形，在日常生活和美术设计中都很常见。
新知讲解
做一做：分别画出下图中各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？
新知讲解
以正五边形为例，如图所示，我们发现正五边形有五条对称轴，而且这些对称轴都交于一点O 。
根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正五边形各边的垂直平分线，因而点 O 到正五边形各个顶点的距离相等，记为 R 。
那么以点 O 为圆心， R 为半径的圆就过正五边形的各个顶点，它是该正五边形的外接圆，如图。
新知讲解
另外，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根
据角平分线的性质，点 到各边的距离都相等，记为 。
那么以点 为圆心， 为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆，如图1。
如图 1 和图 2，其他正多边形也有类似的结论。
新知讲解
在同一个圆中，等弧对等弦， ，而根据圆周角定理，有 因此五边形 是正五边形。
这样我们就得到下面正多边形和圆的关系：
把圆分成 ()等份,依次连结各分点所得的多边形
是这个圆的一个内接正 边形。
如图所示，在 中， ，那么
之间有什么关系？ 之间又有什么关系？
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
新知讲解
例：利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形。
解：圆的内接正方形的作法：
（1）用直尺任作圆的一条直径 AC，
（2） 作与直径 AC 垂直的直径 BD，
（3） 顺次连结所得的圆上四点，则四边形 ABCD即为所求作的正方形，如图。
新知讲解
内接正六边形的作法：
（1）用直尺任作圆的一条直径 AD，
（2）以点A为圆心，OA为半径作圆，与交于点B、F ，
（3）以点D为圆心，OD 为半径作圆，与交于点C、E，
（4）顺次连结所得的圆上六点，则六边形 ABCDEF，
即为所求作的正六边形，如图。
新知讲解
因为圆的内接正六边形的边长与圆的半径相等。
试一试：如图所示，从圆上某一点开始，依次以圆的半径长为半径作圆，也可作出圆的内接正六边形。
想一想，为什么这两种方法作出来的图形都是正六边形？
典例精析
例1:如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着 的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
A
典例精析
例2 :如图，正五边形ABCDE内接于，连接AC，AD，则 .
36°
例3 :已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 ．
典例精析
例4:如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正三角形．
解：如图
∴△ABC就是所求作的三角形.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
B
2．如图，正六边形内接于，的半径为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．
A
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为 ．
3
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，正八边形内接于，M是弧DE上的一点，连接AM，BM，求的度数．
解：如图，连接OA，OB．
∵正八边形是的内接正八边形，
∴，
∴．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5．如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请回答下列问题：
（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连结BF，CE，判断四边形BCEF的形状，并加以证明．
解: （1）如图所示；
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
（2）四边形BCEF是矩形.证明如下：
如图，六边形ABCDEF是正六边形，
，
四边形BCEF是平行四边形.
，
是矩形.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6．如图甲所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答相关问题：
作法如图乙所示.①作直径AF.②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.③连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗 请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上
依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n
边形，求n的值.
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴；
（2）△AMN是正三角形，理由如下：
如图，连接FN、OD、ON，
由题意易得FN=ON=OF，
∴△OFN是等边三角形，
∴∠NFA=60°，∴∠NMA=60°，
同理∠ANM=60°，∴∠MAN=60°，
∴△AMN是正三角形；
课堂练习
【综合拓展类作业】
（3）∵∠AMN=60°，
∴∠AON=120°，
∵∠AOD=，
∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°，
∵
∴ n的值为15.
课堂总结
正多边形与圆的关系：
这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心。
外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角。
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。
板书设计
正多边形与圆
正多边形与圆：
例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
D
2．一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．24cm2 B．6cm2 C．12cm2 D．8cm2
B
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数．
解：如图，设该正十二边形的圆心为O，
由题意，得的长= ⊙O的周长，
∴∠A3OA10= ×360°=150°，
∴∠A3A7A10=75°．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.小明绘制了如图所示的图形.图中六个形状大小都相同的四边形围成了一个圆的内接正六边形和一个小正六边形.若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为，求该圆的半径.
解：设两个正六边形的中心为点O，连接MN，OP，OB，OQ，过点O作OG⊥PM，OH⊥AB，MN交圆O的内接正六边形于点N，
∵正六边形，
∴∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
∵ 小正六边形的面积为 ，
∴小正六边形的边长为，
∴，
∴，
∵OG⊥MP，
∴，
在Rt△OPG中，
，
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
设OB=x，
∵OH⊥AB，
∴BH=x，则，
∴，
在Rt△PHO中，
，
解之：x=8（取正值）
∴该圆的半径为8cm.
作业布置
【综合拓展类作业】
5．我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率的值.
（1）对于边长为的正方形，其外接圆半径为 ，根据故事中的方法，用该正方形的周长替代它的外接圆周长，利用公式，可以估算 .
（2）类比(1)，当正多边形为正六边形时，估计的值.
作业布置
【综合拓展类作业】
解：（2）设正六边形的边长，
∴该正六边形的周长为6m，
∴外接圆半径为，
所以估计
的值为3
谢谢
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《正多边形与圆》教学设计
27.4《正多边形与圆》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 正多边形与圆是“华师大版九年级数学（下）”第二章第四节的内容。本节内容是探究正多边形与圆的相关联系，包括内接圆和外接圆的概念，以及尝试如何通过圆来作出正多边形的图形。通过本课时的学习，学生可以深入理解正多边形与圆之间的内在联系，掌握相关的计算方法和性质。
学习者分析 学生已经对圆的基本性质和正多边形的相关性质有所了解。在此基础上，本课时通过情景引导学生探究正多边形与圆的联系，包括内接圆和外接圆的概念；并尝试通过圆来作出正多边形的图形。但是由于正多边形与圆的关系相对复杂，学生可能会感到困惑。因此在教学时，需要充分考虑学生的实际情况，注重基础知识的巩固和扩展。
教学目标 1.能够理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系，以及如何通过圆来构造正多边形。 2.经历从具体到抽象、从感性到理性的探究过程，培养抽象思维和用数学知识解决实际问题的能力。 3.鼓励学生勇于探索知识，培养他们的探索精神和创新意识。
教学重点 理解并掌握正多边形与圆之间的密切联系
教学难点 能通过圆来构造正多边形
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，引入新知教师活动1： 教师提问：什么是正多边形？ 学生回答：各条边相等，各个角也相等的多边形是正多边形.（缺一不可） 等边三角形是正三角形，正方形是正四边形。 正多边形都是轴对称图形，在日常生活和美术设计中都很常见。学生活动1： 通过复习引入，回顾正多边形的相关知识，激发学生的好奇心。活动意图说明：通过复习引入，回顾正多边形的相关知识，为本节课的学习奠定基础，同时激发学生的好奇心，提高学生对本节课的学习兴趣。环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 做一做：分别画出下图中各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？ 以正五边形为例，如图所示，我们发现正五边形有五条对称轴，而且这些对称轴都交于一点O 。 根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正五边形各边的垂直平分线，因而点 O 到正五边形各个顶点的距离相等，记为 R 。 那么以点 O 为圆心， R 为半径的圆就过正五边形的各个顶点，它是该正五边形的外接圆，如图。 另外，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根 据角平分线的性质，点 到各边的距离都相等，记为 。 那么以点 为圆心， 为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆，如图1。 如图 1 和图 2，其他正多边形也有类似的结论。 如图所示，在 中，弧 ，那么弦之间有什么关系？ 之间又有什么关系？ 在同一个圆中，等弧对等弦， ，而根据圆周角定理，有 因此五边形 是正五边形。 这样我们就得到下面正多边形和圆的关系： 把圆分成 ()等份,依次连结各分点所得的多边形 是这个圆的一个内接正 边形。 例：利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形。 解：圆的内接正方形的作法： （1）用直尺任作圆的一条直径 AC， （2）作与直径 AC 垂直的直径 BD， （3）顺次连结所得的圆上四点，则四边形 ABCD即为所求作的正方形，如图。 内接正六边形的作法： （1）用直尺任作圆的一条直径 AD， （2）以点A为圆心，OA为半径作圆，与交于点B、F ， （3）以点D为圆心，OD 为半径作圆，与交于点C、E， （4）顺次连结所得的圆上六点，则六边形 ABCDEF， 即为所求作的正六边形，如图。 试一试：如图所示，从圆上某一点开始，依次以圆的半径长为半径作圆，也可作出圆的内接正六边形。 想一想，为什么这两种方法作出来的图形都是正六边形？ 因为圆的内接正六边形的边长与圆的半径相等。学生活动2： 学生动手操作，画出各个正多边形的对称轴，并尝试回答问题 教师进行点拨讲解，学生积极思考，认真听讲 图形结合，培养学生数形结合的思维 教师进行点拨讲解，学生积极思考，认真听讲 学生积极思考问题，提高学生课堂参与度，发展学生的几何意识 学生回答问题，教师进行点拨讲解 教师讲解，学生认真听讲，理解知识 例题讲解，学生尝试通过圆来作出相应的正多边形，加强学生对本节课知识的掌握和理解 学生积极思考，回答问题，教师进行点评讲解活动意图说明：通过实验和讨论，让学生探索正多边形和圆的关系，如内接圆和外接圆，通过图形结合，学生自主动手等方式培养学生数形结合意识和动手能力。环节三：例题精讲，再探新知教师活动4： 例1如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着 的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（ ） A． B． C． D．不确定 例2如图，正五边形ABCDE内接于，连接AC，AD，则 . 例3已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 ． 例4如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正三角形．学生活动3： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行补充和讲解 活动意图说明：通过例题，巩固学生对知识的理解和应用能力，提高动手能力。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师讲授：正多边形与圆的关系： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。 这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心。 外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角。学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：回顾本节课的主要内容，总结正多边形和圆的关系等，加强学生对所学知识的理解。
板书设计 正多边形与圆 正多边形与圆：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，正六边形内接于，的半径为1，则的长为（ ） A． B． C． D． 3. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为 ． 4．如图，正八边形内接于，M是弧DE上的一点，连接AM，BM，求的度数． 选做题： 6．如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请回答下列问题： （1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连结BF，CE，判断四边形BCEF的形状，并加以证明． 【综合拓展类作业】 1. 如图甲所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答相关问题： 作法如图乙所示.①作直径AF.②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.③连结AM，MN，NA. （1）求∠ABC的度数. （2）△AMN是正三角形吗 请说明理由. （3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，的内接正六边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，已知的半径为2，则边与，围成的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 2．一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是（ ） A．24cm2 B．6cm2 C．12cm2 D．8cm2 3．如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数． 选做题： 4. 小明绘制了如图所示的图形.图中六个形状大小都相同的四边形围成了一个圆的内接正六边形和一个小正六边形.若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为，求该圆的半径. 【综合拓展类作业】 5．我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率的值. （1）对于边长为的正方形，其外接圆半径为 ，根据故事中的方法，用该正方形的周长替代它的外接圆周长，利用公式，可以估算 . （2）类比(1)，当正多边形为正六边形时，估计的值.
教学反思 本节课的教学效果总体较好，但仍有部分需要改进之处。部分学生在理解正多边形和圆的关系时仍存在困难，需要在后续教学中加强引导和练习。也有部分学生在进行计算时容易出错，要加强对基础知识的巩固和练习。因此在教学过程中，应更加注重培养学生的动手能力和思维能力，让学生在实践中体验知识的发生和发展过程。
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