湖南省株洲市渌口区第五中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·渌口期末）在中，角的对边分别为.若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024高一下·渌口期末）设集合，则有（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·渌口期末）如图，在曲柄绕点旋转时，活塞做直线往复运动，连杆，曲柄，当曲柄从初始位置按顺时针方向旋转时，活塞从到达的位置，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·渌口期末）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2024高一下·渌口期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．－ D．
6．（2024高一下·渌口期末）记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一下·渌口期末）若函数 是定义在R上的偶函数， 是定义在R上的奇函数，则下列叙述正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 为奇函数
C． 为偶函数 D． 为奇函数
8．（2024高一下·渌口期末）从一批产品中取出三件，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”， “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）.
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥
9．（2024高一下·渌口期末）下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．（2024高一下·渌口期末）(多选)为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的
C．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长
11．（2024高一下·渌口期末）已知，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为16 D．的最小值为
12．（2024高一下·渌口期末）不等式 的解集是 ．
13．（2024高一下·渌口期末）已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是
14．（2024高一下·渌口期末）若函数恰有4个零点，则的取值范围为 ．
15．（2024高一下·渌口期末）已知全集为，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（2024高一下·渌口期末）2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
17．（2024高一下·渌口期末）如图，在棱长为1的正方体中，M为棱上任意一点．
（1）确定向量在平面ABC上的投影向量，并求；
（2）确定向量在直线BC上的投影向量，并求．
18．（2024高一下·渌口期末）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变．再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围．
19．（2024高一下·渌口期末）设函数 ，其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，已知，，，
由余弦定理得：，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出c的值.
2．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为．
故答案为：A
【分析】利用已知条件和元素与集合的关系判断方法，从而找出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接，
因为，所以为等边三角形，
故，，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，负值舍去，
则.
故答案为：C.
【分析】作出辅助线，根据题意和等边三角形的性质，从而得到，，再由余弦定理得到的值，从而作差得到的值.
4．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，，
所以，所以关于对称.
令，，所以关于对称.
画出函数的图象与函数的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且所有交点的横坐标之和等于.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数图象的对称性以及函数的图象与函数的图象，从而得出函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和.
5．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
6．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设，，
则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点，
当时，，
若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则，
此时，则，与题意矛盾，
故函数在上无零点.
二次函数图象的对称轴为直线，
若，当，解得时，设函数的两个零点为、，
则，则，，函数有两个负零点，符合题意；
若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以，
解得，
综上，．
故答案为：B.
【分析】分析可知函数的两个零点均为负数或两个零点都在内，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】不妨取 ， ，
则 ，不是偶函数；
，不是偶函数；
，不是奇函数，A，C，D均错.
B选项，∵ 是偶函数， 是奇函数，
∴ , ，
∵ ，
的定义域为R，定义域关于原点对称，
∴ 是奇函数，B符合题意.
故答案为：B
【分析】取 ， ，可证A，C，D中函数均不是偶函数，由题意知 , ，可得 ，结合定义域可知 是奇函数.
8．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，
C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件
由此知：A与C是包含关系，不是互斥事件，B与C是互斥事件，
故答案为：B.
【分析】对事件进行分析，根据互斥事件的概念分析即可.
9．【答案】B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，则，所以A错误；
对于B，由得，又因为，故成立，所以B正确；
对于C，由得，又因为，则，所以C错误；
对于D，由得，又因为，故，
即成立，所以D正确，.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质比较大小的方法，进而找出正确的命题.
10．【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：方法一：要得到函数的图象，
可将的图象上所有点向左平移个单位长度，
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；
方法二：可将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得.
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件和三角型函数的图象变换找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A和B，，所以，，解得，
当且仅当时等号成立，即的最大值为，故A正确；B错误；
对于C，因为，
当且仅当，即时等号成立，，，故C错误；
对于D，，，可得，
，
当时，取的最小值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件和均值不等式求最值的方法、“1”的恒等变形和二次函数的图象求最值的方法，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由于 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
【分析】由一元二次不等式的解法即可得出不等式 的解集。
13．【答案】平行或异面
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，，，，
故直线m与n没有交点，故直线m与n平行或异面.
故填：平行或异面.
【分析】由题意结合面面平行的性质定理和线线的位置关系判断方法，从而得出直线m与n的位置关系.
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：
令，得，
若，则，
依题意可得，
解得．
故填：.
【分析】由二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式化简，令，得，再根据的范围求出的范围，再由三角函数的性质可得，解不等式得出m的取值范围.
15．【答案】（1）解：当时，，，
所以.
（2）解：因为，，
又因为，所以且，
解得．
【知识点】并集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）由结合一元一次不等式求解方法和交集的运算法则得出集合A，再结合并集的运算法则得出.
（2）由已知条件可得，再结合和集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）当时，，，
所以；
（2），因为，
又因为，所以且，解得，．
16．【答案】（1）解：由题意可知，
解得
可知每组的频率依次为，，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
．
（2）解：设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为，
且各组频率之为：
，
所以，用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，
第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
则第二组、第四组面试者的面试成绩的方差为
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积以及各小矩形的面积之和为1，从而得出a，b的值，再结合频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）根据已知条件和分层抽样的方法、频率直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频率分布直方图求平均数的方法得出第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，再由方差公式估计出这次第二组和第四组所有面试者的方差．
（1）由题意可知，
解得
可知每组的频率依次为，，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
．
（2）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为，
且各组频率之为：
，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，
第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．
17．【答案】（1）解：在正方体中，
平面ABC，
所以，即为在平面ABC上的投影向量．
又因为在平面ABC内，
所以．
（2）解：在正方体中，
，且，
所以，即为在直线BC上的投影向量，
所以．
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的投影向量
【解析】【分析】（1）由正方体的结构特征得出线面垂直，再结合投影向量的定义得出向量在平面ABC上的投影向量，再结合数量积的定义得出的值．
（2）由正方体的结构特征得出线线垂直，再结合投影向量的定义得出向量在直线BC上的投影向量，再结合数量积的定义得出的值．
（1）解：在正方体中，
平面ABC，
所以即为在平面ABC上的投影向量．
又因为在平面ABC内，
所以．
（2）在正方体中，
，且，
所以即为在直线BC上的投影向量，
所以．
18．【答案】（1）解：
，
由，解得，
故函数的单调减区间为.
（2）解：根据正弦型函数的图象变换得到，
当时，则，
所以，.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简得到，再结合换元法和正弦函数的图象的单调性，从而得出函数的单调递减区间.
（2）利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合x的取值范围和不等式的基本性质，再利用正弦型函数的图象求值域的方法得出函数在时的取值范围.
（1），
取，解得，
故函数的单调减区间为
（2）根据平移法则得到，
当时，，
19．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，
所以
由题设知 ，
所以 ， .
故 ， ，又 ，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以 .
因为 ，
所以 ，
当 ，
即 时， 取得最小值
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知利用两角差的正弦公式整理化简，得到，再由 列式，即可求出 的值 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到 ，由已知三角函数的图象变换，可得 ，再利用正弦函数的性质，即可求出 的最小值 .
1 / 1湖南省株洲市渌口区第五中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
1．（2024高一下·渌口期末）在中，角的对边分别为.若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，已知，，，
由余弦定理得：，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出c的值.
2．（2024高一下·渌口期末）设集合，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为．
故答案为：A
【分析】利用已知条件和元素与集合的关系判断方法，从而找出正确的选项.
3．（2024高一下·渌口期末）如图，在曲柄绕点旋转时，活塞做直线往复运动，连杆，曲柄，当曲柄从初始位置按顺时针方向旋转时，活塞从到达的位置，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：连接，
因为，所以为等边三角形，
故，，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，负值舍去，
则.
故答案为：C.
【分析】作出辅助线，根据题意和等边三角形的性质，从而得到，，再由余弦定理得到的值，从而作差得到的值.
4．（2024高一下·渌口期末）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，，
所以，所以关于对称.
令，，所以关于对称.
画出函数的图象与函数的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且所有交点的横坐标之和等于.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数图象的对称性以及函数的图象与函数的图象，从而得出函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和.
5．（2024高一下·渌口期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
6．（2024高一下·渌口期末）记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】设，，
则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点，
当时，，
若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则，
此时，则，与题意矛盾，
故函数在上无零点.
二次函数图象的对称轴为直线，
若，当，解得时，设函数的两个零点为、，
则，则，，函数有两个负零点，符合题意；
若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以，
解得，
综上，．
故答案为：B.
【分析】分析可知函数的两个零点均为负数或两个零点都在内，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
7．（2024高一下·渌口期末）若函数 是定义在R上的偶函数， 是定义在R上的奇函数，则下列叙述正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 为奇函数
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】不妨取 ， ，
则 ，不是偶函数；
，不是偶函数；
，不是奇函数，A，C，D均错.
B选项，∵ 是偶函数， 是奇函数，
∴ , ，
∵ ，
的定义域为R，定义域关于原点对称，
∴ 是奇函数，B符合题意.
故答案为：B
【分析】取 ， ，可证A，C，D中函数均不是偶函数，由题意知 , ，可得 ，结合定义域可知 是奇函数.
8．（2024高一下·渌口期末）从一批产品中取出三件，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”， “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）.
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，
C为{三件产品不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件
由此知：A与C是包含关系，不是互斥事件，B与C是互斥事件，
故答案为：B.
【分析】对事件进行分析，根据互斥事件的概念分析即可.
9．（2024高一下·渌口期末）下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，则，所以A错误；
对于B，由得，又因为，故成立，所以B正确；
对于C，由得，又因为，则，所以C错误；
对于D，由得，又因为，故，
即成立，所以D正确，.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质比较大小的方法，进而找出正确的命题.
10．（2024高一下·渌口期末）(多选)为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的
C．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长
【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：方法一：要得到函数的图象，
可将的图象上所有点向左平移个单位长度，
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到；
方法二：可将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得.
故答案为：BC.
【分析】根据已知条件和三角型函数的图象变换找出正确的选项.
11．（2024高一下·渌口期末）已知，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为16 D．的最小值为
【答案】A,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A和B，，所以，，解得，
当且仅当时等号成立，即的最大值为，故A正确；B错误；
对于C，因为，
当且仅当，即时等号成立，，，故C错误；
对于D，，，可得，
，
当时，取的最小值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件和均值不等式求最值的方法、“1”的恒等变形和二次函数的图象求最值的方法，进而找出正确的选项.
12．（2024高一下·渌口期末）不等式 的解集是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由于 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
【分析】由一元二次不等式的解法即可得出不等式 的解集。
13．（2024高一下·渌口期末）已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是
【答案】平行或异面
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意，，，，
故直线m与n没有交点，故直线m与n平行或异面.
故填：平行或异面.
【分析】由题意结合面面平行的性质定理和线线的位置关系判断方法，从而得出直线m与n的位置关系.
14．（2024高一下·渌口期末）若函数恰有4个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：
令，得，
若，则，
依题意可得，
解得．
故填：.
【分析】由二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式化简，令，得，再根据的范围求出的范围，再由三角函数的性质可得，解不等式得出m的取值范围.
15．（2024高一下·渌口期末）已知全集为，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，，
所以.
（2）解：因为，，
又因为，所以且，
解得．
【知识点】并集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）由结合一元一次不等式求解方法和交集的运算法则得出集合A，再结合并集的运算法则得出.
（2）由已知条件可得，再结合和集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）当时，，，
所以；
（2），因为，
又因为，所以且，解得，．
16．（2024高一下·渌口期末）2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
【答案】（1）解：由题意可知，
解得
可知每组的频率依次为，，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
．
（2）解：设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为，
且各组频率之为：
，
所以，用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，
第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
则第二组、第四组面试者的面试成绩的方差为
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积以及各小矩形的面积之和为1，从而得出a，b的值，再结合频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）根据已知条件和分层抽样的方法、频率直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频率分布直方图求平均数的方法得出第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，再由方差公式估计出这次第二组和第四组所有面试者的方差．
（1）由题意可知，
解得
可知每组的频率依次为，，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
．
（2）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为，
且各组频率之为：
，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，
第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．
17．（2024高一下·渌口期末）如图，在棱长为1的正方体中，M为棱上任意一点．
（1）确定向量在平面ABC上的投影向量，并求；
（2）确定向量在直线BC上的投影向量，并求．
【答案】（1）解：在正方体中，
平面ABC，
所以，即为在平面ABC上的投影向量．
又因为在平面ABC内，
所以．
（2）解：在正方体中，
，且，
所以，即为在直线BC上的投影向量，
所以．
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的投影向量
【解析】【分析】（1）由正方体的结构特征得出线面垂直，再结合投影向量的定义得出向量在平面ABC上的投影向量，再结合数量积的定义得出的值．
（2）由正方体的结构特征得出线线垂直，再结合投影向量的定义得出向量在直线BC上的投影向量，再结合数量积的定义得出的值．
（1）解：在正方体中，
平面ABC，
所以即为在平面ABC上的投影向量．
又因为在平面ABC内，
所以．
（2）在正方体中，
，且，
所以即为在直线BC上的投影向量，
所以．
18．（2024高一下·渌口期末）已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变．再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围．
【答案】（1）解：
，
由，解得，
故函数的单调减区间为.
（2）解：根据正弦型函数的图象变换得到，
当时，则，
所以，.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简得到，再结合换元法和正弦函数的图象的单调性，从而得出函数的单调递减区间.
（2）利用已知条件结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再结合x的取值范围和不等式的基本性质，再利用正弦型函数的图象求值域的方法得出函数在时的取值范围.
（1），
取，解得，
故函数的单调减区间为
（2）根据平移法则得到，
当时，，
19．（2024高一下·渌口期末）设函数 ，其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，
所以
由题设知 ，
所以 ， .
故 ， ，又 ，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以 .
因为 ，
所以 ，
当 ，
即 时， 取得最小值
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知利用两角差的正弦公式整理化简，得到，再由 列式，即可求出 的值 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到 ，由已知三角函数的图象变换，可得 ，再利用正弦函数的性质，即可求出 的最小值 .
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