北京市房山区2023-2024学年高二下学期学业水平调研（二）数学试卷
1．（2024高二下·房山期末）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·房山期末）函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·房山期末）如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·房山期末）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
5．（2024高二下·房山期末）要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．（2024高二下·房山期末）在的展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·房山期末）某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·房山期末）为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
父亲身高的平均数记为，儿子身高的平均数记为，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为.则下列结论中正确的是（ ）
A．与正相关，且相关系数为
B．点不在回归直线上
C．每增大一个单位，增大个单位
D．当时，.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm
9．（2024高二下·房山期末）设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．随机变量的数学期望可以等于
C．当时，
D．数列的通项公式可以为
10．（2024高二下·房山期末）已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.是数列的前项和，若，则的值可以等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·房山期末）若，则 .
12．（2024高二下·房山期末）若，则 ； .
13．（2024高二下·房山期末）为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答个问题，记分规则是：每答对一题得分，答错一题扣分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取名，设其答对的问题数量为，最后得分为分．当时，的值为 ；若，则 .
14．（2024高二下·房山期末）设无穷数列的通项公式为.若是单调递减数列，则的一个取值为 .
15．（2024高二下·房山期末）已知函数， 给出下列四个结论：
①当时，在定义域上单调递增；
②对任意，存在极值；
③对任意，存在最值；
④设有个零点，则的取值构成的集合是.
其中所有正确结论的序号是 .
16．（2024高二下·房山期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
17．（2024高二下·房山期末）已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）若的极小值为，求函数在上的最大值．
18．（2024高二下·房山期末）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球.
（1）求第一次摸到白球的概率；
（2）求第二次摸到白球的概率；
（3）求两次摸到的小球颜色不同的概率.
19．（2024高二下·房山期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.
（1）从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
（2）采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小.
（结论不要求证明）
20．（2024高二下·房山期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对于任意的，有，求的取值范围.
21．（2024高二下·房山期末）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．
（1）若，，判断，是否是“数列”；
（2）已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；
（3）已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由可得为定值，
又，所以是以为首项，公比的等比数列，
∴=4，
故选：B
【分析】利用等比数列概念（等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数被称为等比数列的公比）及通项可得结果.
2．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：根据函数的图象，应用导数的几何意义可得，
在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率，
所以，A，B选项错误；
又因为，所以，D选项错误.
故选：C.
【分析】根据函数的图象结合导数的几何意义（函数在某点的导数值是过这一点的切线斜率）判断即可.
3．【答案】A
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：因③图形比较分散，则；因为①②④相较③接近于一条直线附近，所以，
又因为②为下降趋势，则，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，所以.
综上，最大.
故选：A
【分析】由散点图图形趋势（如果散点图中的点大致分布在一条直线的附近，这表明两个变量之间存在线性关系；如果点分布得较为分散，或者存在明显的非线性模式，这可能表明两个变量之间的关系不是线性的，或者关系较弱 ）可判断大小关系.
4．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值.
故选：D
【分析】设公差为，依题意和等差数列的通项公式得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性(对于一个数列，如果从数列的第二项起，每一项的值都不小于它前面一项的值，则称这样的数列为递增数列)判断即可.
5．【答案】A
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：因为先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有种排法，
将剩余的4个节目全排列，共有种排法，
根据分步乘法计数原理可得共有种排法，
故选：
【分析】先将甲同学排列在中间3个位置，再将其余节目全排列，最后利用分步乘法计数原理求解即可.
6．【答案】B
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由已知可得展开式的通项，
令，解得，
所以，系数为，
故选：B.
【分析】写出二项展开式的通项(其中是二项式系数，表示从n个中选择r个的组合数)，利用赋值法可得特定项系数.
7．【答案】D
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设事件为当天下雨，事件为当天刮风，
则，，
则已知刮风的条件下，也下雨的概率，
故选：D.
【分析】先用字母设出相关事件，再根据题意写出相关事件的概率，最后根据条件概率公式直接可得解.
8．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：对于A，因，则与正相关，但相关系数不是，故选项A错误；
对于B，回归方程过定点，故选项B错误；
对于C，由回归方程可知每增大一个单位，增大个单位，故选项C正确；
对于D，回归方程得到的为预测值，不一定满足实际情况，故选项D错误.
故选：C
【分析】由回归方程意义及性质（称为样本点的中心，回归直线经过样本点的中心）可判断选项正误.
9．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：由已知，则，选项A正确；
对于B：当时，期望为，选项B正确；
对于C：由，则，选项C正确；
对于D选项：由，则其前项和为，选项D错误；
故选：D.
【分析】根据随机变量的概率和为可判断A选项；当时，根据离散型随机变量的数学期望的计算公式，可判断B选项；根据对立事件的概率计算公式（）和等比数列求和公式（）化简可判断C选项；D选项，利用裂项相消法可得的前项和，进而可判断D选项.
10．【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：将数列分组，使每组第一项均为1，即：
第一组：
第二组：
第三组：
……
第组：
根据等比数列前项公式，得每组和分别为：，
每组含有的项数分别为.
所以
若，即，
若，则，即为前5组与第6组的第1个数的和，
此时，无解，故A错误，
同理若，则，此时，即，B符合题意；
同理若，则，此时，无解，故C错误，
同理若，则，此时，无解，故D错误，
综上可知，，
故选：
【分析】将数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，……，第组：，根据等比数列前项和公式对选项逐一验证即可.
11．【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，将代入可得，
故填：
【分析】根据求导公式对函数求导，然后代入计算可得结果.
12．【答案】1；-8
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意知，令可得，即，
由二项展开式的通项可得，
，即，
，即，
即，
故答案为：
【分析】利用赋值法，令可得，由二项展开式的通项(其中是二项式系数，表示从n个中选择r个的组合数)求出可得结果.
13．【答案】20；0.3
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题意知，答对道题，答错道题，
又因为答对得分，答错得分，
所以最后得分，
即当时，；
若，即，可得，
所以，
所以，
故填：；
【分析】易知当时，答错道题，计算得分为，即可得出的值；根据题意得出随机变量与的关系式，再由对立事件概率公式（）即可求出答案.
14．【答案】（答案不唯一，即可）
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由可得，
又是单调递减数列，可得，
即，
整理得恒成立，
即恒成立，所以，
又因为，所以，
即取值范围为，
故答案为：（答案不唯一，即可）
【分析】根据递减数列的性质（从第二项起，每一项都小于或等于它前面的一项），可得，进而列出关于的不等式，解不等式可得的取值范围.
15．【答案】②③④
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于结论①，当时，，，①错误；
对于结论②，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，因此对任意，存在极值，②正确；
对于结论③，当时，，，，
当时，，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，此时，
因此，，③正确；
对于结论④，当时，函数在上单调递增，，在上无零点，
在上单调递增，，
，在有一个零点，；
当时，，在上单调递增，同理得，
当时，，在上单调递增，，；
当时，，在上有两个零点，
当时，，，
当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，即在上有两个零点，；
当时，，在上有两个零点，，；
当时，，在上有两个零点，，，
因此的取值构成的集合是，④正确，
所以所有正确结论的序号是②③④.
故答案为：②③④
【分析】通过函数的单调性可判断①；对函数求导，根据导函数和函数单调性的关系可得极值点情况判断②，分别求出两段的最大值判断③；分段探讨零点个数判断④即得答案.函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，，
所以
因为，
所以，即等比数列的公比.
所以，.
所以.
（2）解：由（Ⅰ）知，，，
因此
从而数列的前n项和
.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由等比数列的通项公式可求出公比，即可求出；
（2）找出，由等差数列的求和公式和等比数列的求和公式分组求和得解.
（1）设等差数列的公差为d，，
所以
因为，
所以，即等比数列的公比.
所以，.
所以.
（2）由（Ⅰ）知，，，
因此
从而数列的前n项和
.
17．【答案】（1）解： ，
令，得或.
，的情况如下：
0 0
递减 a 递增 递减
所以是函数的极小值点；是函数的极大值点.
（2）解：因为的极小值为，即
解得，
又， .
所以当时，取得最大值.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负和函数单调性的关系（导数值为正时，函数单调递增；导数值为负时，函数单调递减）得出函数的极值；
（2）先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可.
（1） ，
令，得或.
，的情况如下：
0 0
递减 a 递增 递减
所以是函数的极小值点；是函数的极大值点.
（2）因为的极小值为，即
解得，
又， .
所以当时，取得最大值.
18．【答案】（1）解：设第一次摸到白球的事件为，则
，即第一次摸到白球的概率为.
（2）解：设第二次摸到白球的事件为，则
，即第二次摸到白球的概率.
（3）解：设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则
，即两次摸到的小球颜色不同的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由古典概型计算公式（一个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中所有可能的基本事件数）可得结果；
（2）由全概率公式计算可得；
（3）根据条件概率公式和乘法公式计算可得.
（1）设第一次摸到白球的事件为，则
，即第一次摸到白球的概率为.
（2）设第二次摸到白球的事件为，则
，即第二次摸到白球的概率.
（3）设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则
，即两次摸到的小球颜色不同的概率为.
19．【答案】（1）解：设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，则
（2）解：因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，所以的所有可能取值为，
所以的分布列为：
（或则）
（3）解：由（2）可得；由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，
可得.
因此.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；概率分布列
【解析】【分析】（1）有古典概型计算公式（一个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中所有可能的基本事件数）可得结果；
（2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用超几何分布计算可得结果）；
（3）由（2）可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，再由二项分布的方差计算公式（若，则）可得.
（1）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，
则
（2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，
所以的所有可能取值为，
所以的分布列为：
（或则）
（3）由（2）可得；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，
可得.
因此.
20．【答案】（1）解：由，知.
所以当时，有，.
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.
（2）解：当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.
综上，当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增.
（3）解：我们有.
当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故.
所以原结论对不成立，不满足条件.
综上，的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的几何意义（函数在一点的导数是函数图象在这一点的切线斜率）即可；
（2）对分情况，判断的正负，根据导数正负与函数的单调性的关系，即可得到的单调区间；
（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.
（1）由，知.
所以当时，有，.
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.
（2）当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.
综上，当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增.
（3）我们有.
当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故.
所以原结论对不成立，不满足条件.
综上，的取值范围是.
21．【答案】（1）解：对于数列而言，若，则，所以数列是“数列”；
对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；
（2）解：因为等差数列是“数列”，所以其公差．因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即
对任意的恒成立，
因为，所以．
所以的取值范围是.
（3）解：设等比数列的公比为，因为，所以，因为“数列”的每一项均为正整数，由得，
所以且，
因为，
所以，所以单调递增，
所以在数列中，“”为最小项，
而，从而在数列中，“”为最小项．
因为是“数列”，则只需，所以，
因为数列不是“数列”，则，所以，
因为数列的每一项均为正整数，即，所以或，
（1）当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
（2）同理可知，当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
综上，或.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）直接根据“数列”的定义进行判断即可；
（2）由是等差数列结合是“数列”可知公差，结合等差数列求和公式用含的式子表示，进一步结合恒成立，将分成两类进行讨论，综合即可得出的取值范围；
（3）由“数列”的每一项（）均为正整数，可得且，进一步可得单调递增，故将任意性问题转换为与1比较大小关系可得的范围，结合，或，注意此时我们还要分情况验证是否是“数列”，从而即可得解.
（1）对于数列而言，若，则，
所以数列是“数列”；
对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；
（2）因为等差数列是“数列”，所以其公差．
因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即
对任意的恒成立，
因为，所以．
所以的取值范围是.
（3）设等比数列的公比为，因为，所以，
因为“数列”的每一项均为正整数，由得，
所以且，
因为，
所以，所以单调递增，
所以在数列中，“”为最小项，
而，从而在数列中，“”为最小项．
因为是“数列”，则只需，所以，
因为数列不是“数列”，则，所以，
因为数列的每一项均为正整数，即，所以或，
（1）当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
（2）同理可知，当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
综上，或.
1 / 1北京市房山区2023-2024学年高二下学期学业水平调研（二）数学试卷
1．（2024高二下·房山期末）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由可得为定值，
又，所以是以为首项，公比的等比数列，
∴=4，
故选：B
【分析】利用等比数列概念（等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数被称为等比数列的公比）及通项可得结果.
2．（2024高二下·房山期末）函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：根据函数的图象，应用导数的几何意义可得，
在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率，
所以，A，B选项错误；
又因为，所以，D选项错误.
故选：C.
【分析】根据函数的图象结合导数的几何意义（函数在某点的导数值是过这一点的切线斜率）判断即可.
3．（2024高二下·房山期末）如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】散点图
【解析】【解答】解：因③图形比较分散，则；因为①②④相较③接近于一条直线附近，所以，
又因为②为下降趋势，则，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，所以.
综上，最大.
故选：A
【分析】由散点图图形趋势（如果散点图中的点大致分布在一条直线的附近，这表明两个变量之间存在线性关系；如果点分布得较为分散，或者存在明显的非线性模式，这可能表明两个变量之间的关系不是线性的，或者关系较弱 ）可判断大小关系.
4．（2024高二下·房山期末）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值.
故选：D
【分析】设公差为，依题意和等差数列的通项公式得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性(对于一个数列，如果从数列的第二项起，每一项的值都不小于它前面一项的值，则称这样的数列为递增数列)判断即可.
5．（2024高二下·房山期末）要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：因为先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有种排法，
将剩余的4个节目全排列，共有种排法，
根据分步乘法计数原理可得共有种排法，
故选：
【分析】先将甲同学排列在中间3个位置，再将其余节目全排列，最后利用分步乘法计数原理求解即可.
6．（2024高二下·房山期末）在的展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由已知可得展开式的通项，
令，解得，
所以，系数为，
故选：B.
【分析】写出二项展开式的通项(其中是二项式系数，表示从n个中选择r个的组合数)，利用赋值法可得特定项系数.
7．（2024高二下·房山期末）某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设事件为当天下雨，事件为当天刮风，
则，，
则已知刮风的条件下，也下雨的概率，
故选：D.
【分析】先用字母设出相关事件，再根据题意写出相关事件的概率，最后根据条件概率公式直接可得解.
8．（2024高二下·房山期末）为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
父亲身高的平均数记为，儿子身高的平均数记为，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为.则下列结论中正确的是（ ）
A．与正相关，且相关系数为
B．点不在回归直线上
C．每增大一个单位，增大个单位
D．当时，.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：对于A，因，则与正相关，但相关系数不是，故选项A错误；
对于B，回归方程过定点，故选项B错误；
对于C，由回归方程可知每增大一个单位，增大个单位，故选项C正确；
对于D，回归方程得到的为预测值，不一定满足实际情况，故选项D错误.
故选：C
【分析】由回归方程意义及性质（称为样本点的中心，回归直线经过样本点的中心）可判断选项正误.
9．（2024高二下·房山期末）设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．随机变量的数学期望可以等于
C．当时，
D．数列的通项公式可以为
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的实际应用
【解析】【解答】解：对于A：由已知，则，选项A正确；
对于B：当时，期望为，选项B正确；
对于C：由，则，选项C正确；
对于D选项：由，则其前项和为，选项D错误；
故选：D.
【分析】根据随机变量的概率和为可判断A选项；当时，根据离散型随机变量的数学期望的计算公式，可判断B选项；根据对立事件的概率计算公式（）和等比数列求和公式（）化简可判断C选项；D选项，利用裂项相消法可得的前项和，进而可判断D选项.
10．（2024高二下·房山期末）已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.是数列的前项和，若，则的值可以等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：将数列分组，使每组第一项均为1，即：
第一组：
第二组：
第三组：
……
第组：
根据等比数列前项公式，得每组和分别为：，
每组含有的项数分别为.
所以
若，即，
若，则，即为前5组与第6组的第1个数的和，
此时，无解，故A错误，
同理若，则，此时，即，B符合题意；
同理若，则，此时，无解，故C错误，
同理若，则，此时，无解，故D错误，
综上可知，，
故选：
【分析】将数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，……，第组：，根据等比数列前项和公式对选项逐一验证即可.
11．（2024高二下·房山期末）若，则 .
【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为，所以，将代入可得，
故填：
【分析】根据求导公式对函数求导，然后代入计算可得结果.
12．（2024高二下·房山期末）若，则 ； .
【答案】1；-8
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意知，令可得，即，
由二项展开式的通项可得，
，即，
，即，
即，
故答案为：
【分析】利用赋值法，令可得，由二项展开式的通项(其中是二项式系数，表示从n个中选择r个的组合数)求出可得结果.
13．（2024高二下·房山期末）为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答个问题，记分规则是：每答对一题得分，答错一题扣分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取名，设其答对的问题数量为，最后得分为分．当时，的值为 ；若，则 .
【答案】20；0.3
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题意知，答对道题，答错道题，
又因为答对得分，答错得分，
所以最后得分，
即当时，；
若，即，可得，
所以，
所以，
故填：；
【分析】易知当时，答错道题，计算得分为，即可得出的值；根据题意得出随机变量与的关系式，再由对立事件概率公式（）即可求出答案.
14．（2024高二下·房山期末）设无穷数列的通项公式为.若是单调递减数列，则的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一，即可）
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由可得，
又是单调递减数列，可得，
即，
整理得恒成立，
即恒成立，所以，
又因为，所以，
即取值范围为，
故答案为：（答案不唯一，即可）
【分析】根据递减数列的性质（从第二项起，每一项都小于或等于它前面的一项），可得，进而列出关于的不等式，解不等式可得的取值范围.
15．（2024高二下·房山期末）已知函数， 给出下列四个结论：
①当时，在定义域上单调递增；
②对任意，存在极值；
③对任意，存在最值；
④设有个零点，则的取值构成的集合是.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于结论①，当时，，，①错误；
对于结论②，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，因此对任意，存在极值，②正确；
对于结论③，当时，，，，
当时，，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，此时，
因此，，③正确；
对于结论④，当时，函数在上单调递增，，在上无零点，
在上单调递增，，
，在有一个零点，；
当时，，在上单调递增，同理得，
当时，，在上单调递增，，；
当时，，在上有两个零点，
当时，，，
当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，即在上有两个零点，；
当时，，在上有两个零点，，；
当时，，在上有两个零点，，，
因此的取值构成的集合是，④正确，
所以所有正确结论的序号是②③④.
故答案为：②③④
【分析】通过函数的单调性可判断①；对函数求导，根据导函数和函数单调性的关系可得极值点情况判断②，分别求出两段的最大值判断③；分段探讨零点个数判断④即得答案.函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
16．（2024高二下·房山期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，，
所以
因为，
所以，即等比数列的公比.
所以，.
所以.
（2）解：由（Ⅰ）知，，，
因此
从而数列的前n项和
.
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由等比数列的通项公式可求出公比，即可求出；
（2）找出，由等差数列的求和公式和等比数列的求和公式分组求和得解.
（1）设等差数列的公差为d，，
所以
因为，
所以，即等比数列的公比.
所以，.
所以.
（2）由（Ⅰ）知，，，
因此
从而数列的前n项和
.
17．（2024高二下·房山期末）已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）若的极小值为，求函数在上的最大值．
【答案】（1）解： ，
令，得或.
，的情况如下：
0 0
递减 a 递增 递减
所以是函数的极小值点；是函数的极大值点.
（2）解：因为的极小值为，即
解得，
又， .
所以当时，取得最大值.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负和函数单调性的关系（导数值为正时，函数单调递增；导数值为负时，函数单调递减）得出函数的极值；
（2）先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可.
（1） ，
令，得或.
，的情况如下：
0 0
递减 a 递增 递减
所以是函数的极小值点；是函数的极大值点.
（2）因为的极小值为，即
解得，
又， .
所以当时，取得最大值.
18．（2024高二下·房山期末）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球.
（1）求第一次摸到白球的概率；
（2）求第二次摸到白球的概率；
（3）求两次摸到的小球颜色不同的概率.
【答案】（1）解：设第一次摸到白球的事件为，则
，即第一次摸到白球的概率为.
（2）解：设第二次摸到白球的事件为，则
，即第二次摸到白球的概率.
（3）解：设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则
，即两次摸到的小球颜色不同的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由古典概型计算公式（一个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中所有可能的基本事件数）可得结果；
（2）由全概率公式计算可得；
（3）根据条件概率公式和乘法公式计算可得.
（1）设第一次摸到白球的事件为，则
，即第一次摸到白球的概率为.
（2）设第二次摸到白球的事件为，则
，即第二次摸到白球的概率.
（3）设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则
，即两次摸到的小球颜色不同的概率为.
19．（2024高二下·房山期末）人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.
（1）从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
（2）采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小.
（结论不要求证明）
【答案】（1）解：设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，则
（2）解：因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，所以的所有可能取值为，
所以的分布列为：
（或则）
（3）解：由（2）可得；由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，
可得.
因此.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；概率分布列
【解析】【分析】（1）有古典概型计算公式（一个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中所有可能的基本事件数）可得结果；
（2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用超几何分布计算可得结果）；
（3）由（2）可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，再由二项分布的方差计算公式（若，则）可得.
（1）设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，
则
（2）因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，
所以的所有可能取值为，
所以的分布列为：
（或则）
（3）由（2）可得；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，
可得.
因此.
20．（2024高二下·房山期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对于任意的，有，求的取值范围.
【答案】（1）解：由，知.
所以当时，有，.
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.
（2）解：当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.
综上，当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增.
（3）解：我们有.
当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故.
所以原结论对不成立，不满足条件.
综上，的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的几何意义（函数在一点的导数是函数图象在这一点的切线斜率）即可；
（2）对分情况，判断的正负，根据导数正负与函数的单调性的关系，即可得到的单调区间；
（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.
（1）由，知.
所以当时，有，.
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.
（2）当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.
综上，当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增.
（3）我们有.
当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故.
所以原结论对不成立，不满足条件.
综上，的取值范围是.
21．（2024高二下·房山期末）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．
（1）若，，判断，是否是“数列”；
（2）已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；
（3）已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．
【答案】（1）解：对于数列而言，若，则，所以数列是“数列”；
对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；
（2）解：因为等差数列是“数列”，所以其公差．因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即
对任意的恒成立，
因为，所以．
所以的取值范围是.
（3）解：设等比数列的公比为，因为，所以，因为“数列”的每一项均为正整数，由得，
所以且，
因为，
所以，所以单调递增，
所以在数列中，“”为最小项，
而，从而在数列中，“”为最小项．
因为是“数列”，则只需，所以，
因为数列不是“数列”，则，所以，
因为数列的每一项均为正整数，即，所以或，
（1）当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
（2）同理可知，当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
综上，或.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）直接根据“数列”的定义进行判断即可；
（2）由是等差数列结合是“数列”可知公差，结合等差数列求和公式用含的式子表示，进一步结合恒成立，将分成两类进行讨论，综合即可得出的取值范围；
（3）由“数列”的每一项（）均为正整数，可得且，进一步可得单调递增，故将任意性问题转换为与1比较大小关系可得的范围，结合，或，注意此时我们还要分情况验证是否是“数列”，从而即可得解.
（1）对于数列而言，若，则，
所以数列是“数列”；
对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；
（2）因为等差数列是“数列”，所以其公差．
因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即
对任意的恒成立，
因为，所以．
所以的取值范围是.
（3）设等比数列的公比为，因为，所以，
因为“数列”的每一项均为正整数，由得，
所以且，
因为，
所以，所以单调递增，
所以在数列中，“”为最小项，
而，从而在数列中，“”为最小项．
因为是“数列”，则只需，所以，
因为数列不是“数列”，则，所以，
因为数列的每一项均为正整数，即，所以或，
（1）当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
（2）同理可知，当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
综上，或.
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