浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期7月学考联考数学试题
1．（2024高二下·浙江期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·浙江期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·浙江期末）在中，为边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·浙江期末）数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．（2024高二下·浙江期末）从数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·浙江期末）已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高二下·浙江期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·浙江期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16 B．72 C．74 D．90
9．（2024高二下·浙江期末）在中，已知角所对的边分别是，已知，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2024高二下·浙江期末）已知函数，则其图象一定不过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2024高二下·浙江期末）已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·浙江期末）已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高二下·浙江期末）民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本数据落在区间内的频率为0.45
B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策
C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家
D．估计样本的中位数为480万元
14．（2024高二下·浙江期末）已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024高二下·浙江期末）已知平面向量的夹角为，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
16．（2024高二下·浙江期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称图形
B．若定义在上的函数对任意的都有，则函数图象的对称中心为
C．若是偶函数，则的图象关于直线成轴对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
17．（2024高二下·浙江期末）已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 ；体积为 ．
18．（2024高二下·浙江期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为
19．（2024高二下·浙江期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
20．（2024高二下·浙江期末）若函数的值域为，则的最小值为 ．
21．（2024高二下·浙江期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积．
22．（2024高二下·浙江期末）如图，在三棱台中，平面为的中点．
（1）证明：．
（2）过的平面把三棱台分成两部分，体积分别是和，求的值．
（3）求平面和平面所成锐二面角的正切值．
23．（2024高二下·浙江期末）已知函数．
（1）若，求的取值范围．
（2）记已知函数有个不同的零点．
①若，求的取值范围；
②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，得，
所以，函数的定义域为．
故选：C．
【分析】根据偶次根式函数的定义域的求解方法得出函数的定义域.
2．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以．
故选：A．
【分析】解一元二次方程得出集合B，再利用集合的并集得出集合A和集合B的并集.
3．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：
因为，故A、B错误；
因为，故C错误；
由平行四边形法则可知，故D正确；
故选：D．
【分析】由向量的加减法运算法则，从而借助三角形法则和相反向量的定义，进而分别对四个选项进行判断，从而得出正确的选项.
4．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为数据共有8项，且，
所以，第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．
故选：B．
【分析】根据题意结合百分位数求解方法，从而得出数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数.
5．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：样本空间的样本点总数为8，设事件：“这个数平方的个位数是6或9”，
则中的样本点为共5个，所以概率．
故选：D．
【分析】利用已知条件找到样本空间个数及符合条件的样本点的个数，再利用古典概型求概率公式得出这个数平方的个位数是6或9的概率.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，与可能相交也可能平行，故不能推出，即充分性不成立；
由可以推出，即必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【分析】利用已知条件和线面平行、面面平行的位置关系判断方法，从而根据充分条件、必要条件的判断方法，进而找出正确的选项.
7．【答案】A
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式可化为，等价于，
解得，所以，不等式的解集为．
故选：A．
【分析】将不等式整理为，再结合分式不等式求解方法得出不等式的解集.
8．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：由题意知，只要解不等式，化简得，
因为，所以，
所以．
故选：C．
【分析】由题得出不等式，再结合指数式与对数式的互化公式，然后由对数运算性质结合参考数据可得答案.
9．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理得出角A的值，再由正弦定理得出b的值．
故选：A
【分析】根据三角形内角和定理和正弦定理得出b的值.
10．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：因为，取，得，所以在第一象限有图象；
取，得，所以在第四象限有图象；
取，得，所以在第三象限有图象．
由排除法知图象不过第二象限．
故选：B．
【分析】由函数的解析式和代入法，计算出，，，再判断出图象过第一，第四，第三象限，从而得到答案.
11．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为是锐角，所以，
所以，化简得，
平方得，
所以．
故选：D．
【分析】根据是锐角，得到，故，再两边平方，从而结合同角三角函数基本关系式和正弦二倍角公式求出的值.
12．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
对于AB，设直线与平面所成的角为，
则，
因为，所以，
由最小角定理得，
对于A，当时，，所以A错误；
对于B，当时，，所以B错误；
对于C和D，设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面与平面所成的角为，
则，
由最大角定理得，
当时，，所以C正确；
当时，，所以D错误.
故选：C．
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式求出直线与平面所成的角和平面与平面所成的角，再结合最小角定理和最大角定理分析判断各选项，进而找出正确的选项.
13．【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
所以，数据落在区间内的频率为，所以A正确；
对于B，数据落在区间内的频率为，
所以B正确；
对于C，，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是，则符合条件的民营企业有家，
所以C错误；
对于D，数据落在区间内的频率为0.3，
数据落在区间内的频率为，
则估计中位数为，所以D正确．
故选：ABD．
【分析】根据频率分布直方图中结合概率等于小长方形的面积和概率之和等于1，再利用频率分布直方图求中位数公式进行计算判断各个选项，进而得出正确的选项.
14．【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，设，
则，故B正确；
对于C，设，
则，
，故C正确；
对于D，若，则，故D错误．
故选：BC．
【分析】根据题意，由复数的模长公式结合复数的运算法则，从而判断出选项A，C，D，再结合共轭复数的定义和复数的运算法则，从而判断出选项B，进而找出正确的选项.
15．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，
则在上的投影向量为，故D正确．
故选：BCD
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系从而判断出选项A；再利用数量积的运算律和向量求模公式判断出选项B和选项C；先计算，再利用数量积求投影向量公式判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
16．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为为奇函数，
所以的图象关于点成中心对称图形，故A正确；
对于B，设，若是奇函数，
则，
所以，
因为，
所以1为奇函数，所以图象的对称中心为，故B错误；
对于C，设，因为是偶函数，所以，
则，所以的图象关于直线成轴对称，故C正确；
对于D，显然的图象关于点成中心对称图形，再考虑的对称性，可化为为奇函数，
则即即，
令，则，即，解得或（舍去），
所以，则，
因为为奇函数，所以图象的对称中心为，
又因为与有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点中心对称，
，故D正确．
故选：ACD．
【分析】利用题中推广的结论和函数的图象的对称性判断出选项A和选项B；再利用偶函数的图象的对称性判断出选项C；根据奇函数的图象的对称性和两函数图象交点求解方法，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
17．【答案】；
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得出圆锥的高，
所以．
故填：.
【分析】根据题意，利用勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的侧面积公式和体积公式，进而得出结果.
18．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题设，得出都是直角三角形，只需平面即可，
所以，鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，
而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，
所以，的中点是外接球的球心，所以．
故填：.
【分析】利用直角三角形的结构特征得出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，从而找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，再结合球的表面积公式即可求解.
19．【答案】
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由概率的性质得，
所以，
所以．
故填：.
【分析】由题意结合对立事件求概率公式、互斥事件求概率公式，从而得出的值.
20．【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得，进而得出，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为3．
故填：3.
【分析】根据已知条件和二次函数的图象求值域的方法，进而由判别式法得出，再代入到，从而利用均值不等式求最值的方法得出的最小值.
21．【答案】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期．
（2）解：因为，
所以，
因为是锐角三角形的内角，
所以或（舍去），所以，
又因为，
所以的面积．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角形中的几何计算
【解析】【分析】解：（1）根据两角和（差）正弦公式和辅助角公式化简得，再利用正弦型函数的周期公式得出函数的最小正周期.
（2）利用已知条件和函数的解析式和代入法，再由三角形内角和定理和锐角三角形中角的取值范围计算出角，再利用三角形面积公式计算出的面积．
（1），
所以函数的最小正周期．
（2）因为，所以．
因为是锐角三角形的内角，所以或（舍去），
所以．又，
所以的面积．
22．【答案】（1）证明：如图1，连接，得出，连接，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在直角梯形中，，
所以，，
所以是以为底边的等腰三角形，
又因为是的中点，所以，
又因为，所以．
（2）解：如图2，取的中点，连接，可得，
则过的平面把棱台分成斜棱柱和几何体，
由题意得，，
因为，
所以，故．
（3）解：如图3，取的中点，连接，
则是平面和平面所成二面角的棱，
过作延长线的垂线，垂足为，即，
由棱台上下底面相似得到，所以四点共面，
又由，所以五点共面，
连接，因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是平面和平面所成二面角的棱，
，平面，，平面，
所以为所求的角．
延长和交于点，过作的垂线，垂足为，如图4，
则，，，
由，，
因为，是和的公共角，
所以，
所以即，所以，
所以．
即平面和平面所成锐二面角的正切值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由线面垂直的定义得到线线垂直，再结合和线面垂直的判定定理，从而得到平面，再由线面垂直的定义得到，从而由直角梯形中的边长关系和等腰三角形的定义判断出是等腰三角形，从而得出，再结合证出．
（2）取的中点，利用平行找到过的平面，从而得出两部分分别为斜棱柱和几何体，再由，从而由棱台和棱柱的体积公式得到的值.
（3）取的中点，找到两个平面的交线，再利用线线垂直和线面垂直的关系、几点共面的判断方法、二面角的求解方法，从而找到所求角，再根据勾股定理和三角形相似求出边长，从而根据正切函数的定义求出所成锐二面角的正切值.
（1）如图1，连接，得，连接．
因为平面，平面，所以．
又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以在直角梯形中，，
所以，所以是以为底边的等腰三角形，
又因为是的中点，所以．
又因为，所以．
（2）如图2，取的中点，连接，可得．
所以过的平面把棱台分成斜棱柱和几何体，
由题意得，．
因为，
所以，故．
（3），
如图3，取的中点，连接，则是平面和平面所成二面角的棱，
过作延长线的垂线，垂足为，即，
由棱台上下底面相似得到，所以四点共面，又由，所以五点共面，
连接，因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是平面和平面所成二面角的棱，，平面，，平面，所以为所求的角．
延长和交于点，过作的垂线，垂足为，如图4，
则，，，
由，，
因为，是和的公共角，所以，
所以即，所以，
所以．
即平面和平面所成锐二面角的正切值为．
23．【答案】（1）解：由题意得函数的定义域为，
当时，不等式等价于，
显然满足条件；
当时，不等式等价于，
即，解得，
综上所述，的解集为，
即当的取值范围为时，成立．
（2）解：（ⅰ）令
原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点），
当时，即为，
所以至多一个实根①；
当时，即为，
所以至多两个实根②，
由①知，），所以，
由②知，，所以或，
所以或，且，
当时，若，则有两个零点0和，符合题意，
当时，①无实根，
对于②，只要，化简得，
则，符合题意；
当时，若，
则有三个不等实根，不符合题意；
若，则有两个零点0和，符合题意；
若，则仅有一个零点0，不符合题意，
综上所述，当时，的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为
显然，所以，
易得函数在上单调递减，
所以，
所以．
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，分与两种情况代入不等式计算，从而求解不等式，进而得出实数x的取值范围.
（2）（ⅰ）利用，将问题转化为的实根个数问题，然后求得与时根的个数，从而可得实数的取值范围，然后分别检验，即可得到结果；
（ⅱ）利用已知条件结合（ⅰ）中的结论可得，再由零点求解方法和对勾函数的单调性，进而得出的取值范围.
（1）由题意得函数的定义域为．
当时，不等式等价于，显然满足条件；
当时，不等式等价于，即，
解得．
综上，的解集为，
即当的取值范围为时，成立．
（2）（ⅰ）令
原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）．
当时，即为，所以至多一个实根①；
当时，即为，所以至多两个实根②．
由①知，），所以，
由②知，，所以或，
所以或，且．
当时，若，则有两个零点0和，符合题意．
当时，①无实根，对于②，只要，化简得，
则，符合题意．
当时，若，则有三个不等实根，不符合题意．若，
则有两个零点0和，符合题意．若，则仅有一个零点0，不符合题意．
综上所述，当时，的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为，
显然，所以．
易得函数在上单调递减，所以，
所以．
1 / 1浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期7月学考联考数学试题
1．（2024高二下·浙江期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，得，
所以，函数的定义域为．
故选：C．
【分析】根据偶次根式函数的定义域的求解方法得出函数的定义域.
2．（2024高二下·浙江期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以．
故选：A．
【分析】解一元二次方程得出集合B，再利用集合的并集得出集合A和集合B的并集.
3．（2024高二下·浙江期末）在中，为边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：
因为，故A、B错误；
因为，故C错误；
由平行四边形法则可知，故D正确；
故选：D．
【分析】由向量的加减法运算法则，从而借助三角形法则和相反向量的定义，进而分别对四个选项进行判断，从而得出正确的选项.
4．（2024高二下·浙江期末）数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为数据共有8项，且，
所以，第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．
故选：B．
【分析】根据题意结合百分位数求解方法，从而得出数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数.
5．（2024高二下·浙江期末）从数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：样本空间的样本点总数为8，设事件：“这个数平方的个位数是6或9”，
则中的样本点为共5个，所以概率．
故选：D．
【分析】利用已知条件找到样本空间个数及符合条件的样本点的个数，再利用古典概型求概率公式得出这个数平方的个位数是6或9的概率.
6．（2024高二下·浙江期末）已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，与可能相交也可能平行，故不能推出，即充分性不成立；
由可以推出，即必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【分析】利用已知条件和线面平行、面面平行的位置关系判断方法，从而根据充分条件、必要条件的判断方法，进而找出正确的选项.
7．（2024高二下·浙江期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式可化为，等价于，
解得，所以，不等式的解集为．
故选：A．
【分析】将不等式整理为，再结合分式不等式求解方法得出不等式的解集.
8．（2024高二下·浙江期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16 B．72 C．74 D．90
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：由题意知，只要解不等式，化简得，
因为，所以，
所以．
故选：C．
【分析】由题得出不等式，再结合指数式与对数式的互化公式，然后由对数运算性质结合参考数据可得答案.
9．（2024高二下·浙江期末）在中，已知角所对的边分别是，已知，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理得出角A的值，再由正弦定理得出b的值．
故选：A
【分析】根据三角形内角和定理和正弦定理得出b的值.
10．（2024高二下·浙江期末）已知函数，则其图象一定不过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：因为，取，得，所以在第一象限有图象；
取，得，所以在第四象限有图象；
取，得，所以在第三象限有图象．
由排除法知图象不过第二象限．
故选：B．
【分析】由函数的解析式和代入法，计算出，，，再判断出图象过第一，第四，第三象限，从而得到答案.
11．（2024高二下·浙江期末）已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为是锐角，所以，
所以，化简得，
平方得，
所以．
故选：D．
【分析】根据是锐角，得到，故，再两边平方，从而结合同角三角函数基本关系式和正弦二倍角公式求出的值.
12．（2024高二下·浙江期末）已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
对于AB，设直线与平面所成的角为，
则，
因为，所以，
由最小角定理得，
对于A，当时，，所以A错误；
对于B，当时，，所以B错误；
对于C和D，设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面与平面所成的角为，
则，
由最大角定理得，
当时，，所以C正确；
当时，，所以D错误.
故选：C．
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式求出直线与平面所成的角和平面与平面所成的角，再结合最小角定理和最大角定理分析判断各选项，进而找出正确的选项.
13．（2024高二下·浙江期末）民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本数据落在区间内的频率为0.45
B．若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策
C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家
D．估计样本的中位数为480万元
【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
所以，数据落在区间内的频率为，所以A正确；
对于B，数据落在区间内的频率为，
所以B正确；
对于C，，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是，则符合条件的民营企业有家，
所以C错误；
对于D，数据落在区间内的频率为0.3，
数据落在区间内的频率为，
则估计中位数为，所以D正确．
故选：ABD．
【分析】根据频率分布直方图中结合概率等于小长方形的面积和概率之和等于1，再利用频率分布直方图求中位数公式进行计算判断各个选项，进而得出正确的选项.
14．（2024高二下·浙江期末）已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，设，
则，故B正确；
对于C，设，
则，
，故C正确；
对于D，若，则，故D错误．
故选：BC．
【分析】根据题意，由复数的模长公式结合复数的运算法则，从而判断出选项A，C，D，再结合共轭复数的定义和复数的运算法则，从而判断出选项B，进而找出正确的选项.
15．（2024高二下·浙江期末）已知平面向量的夹角为，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得，
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，
则在上的投影向量为，故D正确．
故选：BCD
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系从而判断出选项A；再利用数量积的运算律和向量求模公式判断出选项B和选项C；先计算，再利用数量积求投影向量公式判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
16．（2024高二下·浙江期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称图形
B．若定义在上的函数对任意的都有，则函数图象的对称中心为
C．若是偶函数，则的图象关于直线成轴对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为为奇函数，
所以的图象关于点成中心对称图形，故A正确；
对于B，设，若是奇函数，
则，
所以，
因为，
所以1为奇函数，所以图象的对称中心为，故B错误；
对于C，设，因为是偶函数，所以，
则，所以的图象关于直线成轴对称，故C正确；
对于D，显然的图象关于点成中心对称图形，再考虑的对称性，可化为为奇函数，
则即即，
令，则，即，解得或（舍去），
所以，则，
因为为奇函数，所以图象的对称中心为，
又因为与有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点中心对称，
，故D正确．
故选：ACD．
【分析】利用题中推广的结论和函数的图象的对称性判断出选项A和选项B；再利用偶函数的图象的对称性判断出选项C；根据奇函数的图象的对称性和两函数图象交点求解方法，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
17．（2024高二下·浙江期末）已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为 ；体积为 ．
【答案】；
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得出圆锥的高，
所以．
故填：.
【分析】根据题意，利用勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的侧面积公式和体积公式，进而得出结果.
18．（2024高二下·浙江期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题设，得出都是直角三角形，只需平面即可，
所以，鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，
而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，
所以，的中点是外接球的球心，所以．
故填：.
【分析】利用直角三角形的结构特征得出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，从而找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，再结合球的表面积公式即可求解.
19．（2024高二下·浙江期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
【答案】
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由概率的性质得，
所以，
所以．
故填：.
【分析】由题意结合对立事件求概率公式、互斥事件求概率公式，从而得出的值.
20．（2024高二下·浙江期末）若函数的值域为，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得，进而得出，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为3．
故填：3.
【分析】根据已知条件和二次函数的图象求值域的方法，进而由判别式法得出，再代入到，从而利用均值不等式求最值的方法得出的最小值.
21．（2024高二下·浙江期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积．
【答案】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期．
（2）解：因为，
所以，
因为是锐角三角形的内角，
所以或（舍去），所以，
又因为，
所以的面积．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角形中的几何计算
【解析】【分析】解：（1）根据两角和（差）正弦公式和辅助角公式化简得，再利用正弦型函数的周期公式得出函数的最小正周期.
（2）利用已知条件和函数的解析式和代入法，再由三角形内角和定理和锐角三角形中角的取值范围计算出角，再利用三角形面积公式计算出的面积．
（1），
所以函数的最小正周期．
（2）因为，所以．
因为是锐角三角形的内角，所以或（舍去），
所以．又，
所以的面积．
22．（2024高二下·浙江期末）如图，在三棱台中，平面为的中点．
（1）证明：．
（2）过的平面把三棱台分成两部分，体积分别是和，求的值．
（3）求平面和平面所成锐二面角的正切值．
【答案】（1）证明：如图1，连接，得出，连接，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在直角梯形中，，
所以，，
所以是以为底边的等腰三角形，
又因为是的中点，所以，
又因为，所以．
（2）解：如图2，取的中点，连接，可得，
则过的平面把棱台分成斜棱柱和几何体，
由题意得，，
因为，
所以，故．
（3）解：如图3，取的中点，连接，
则是平面和平面所成二面角的棱，
过作延长线的垂线，垂足为，即，
由棱台上下底面相似得到，所以四点共面，
又由，所以五点共面，
连接，因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是平面和平面所成二面角的棱，
，平面，，平面，
所以为所求的角．
延长和交于点，过作的垂线，垂足为，如图4，
则，，，
由，，
因为，是和的公共角，
所以，
所以即，所以，
所以．
即平面和平面所成锐二面角的正切值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由线面垂直的定义得到线线垂直，再结合和线面垂直的判定定理，从而得到平面，再由线面垂直的定义得到，从而由直角梯形中的边长关系和等腰三角形的定义判断出是等腰三角形，从而得出，再结合证出．
（2）取的中点，利用平行找到过的平面，从而得出两部分分别为斜棱柱和几何体，再由，从而由棱台和棱柱的体积公式得到的值.
（3）取的中点，找到两个平面的交线，再利用线线垂直和线面垂直的关系、几点共面的判断方法、二面角的求解方法，从而找到所求角，再根据勾股定理和三角形相似求出边长，从而根据正切函数的定义求出所成锐二面角的正切值.
（1）如图1，连接，得，连接．
因为平面，平面，所以．
又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以在直角梯形中，，
所以，所以是以为底边的等腰三角形，
又因为是的中点，所以．
又因为，所以．
（2）如图2，取的中点，连接，可得．
所以过的平面把棱台分成斜棱柱和几何体，
由题意得，．
因为，
所以，故．
（3），
如图3，取的中点，连接，则是平面和平面所成二面角的棱，
过作延长线的垂线，垂足为，即，
由棱台上下底面相似得到，所以四点共面，又由，所以五点共面，
连接，因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是平面和平面所成二面角的棱，，平面，，平面，所以为所求的角．
延长和交于点，过作的垂线，垂足为，如图4，
则，，，
由，，
因为，是和的公共角，所以，
所以即，所以，
所以．
即平面和平面所成锐二面角的正切值为．
23．（2024高二下·浙江期末）已知函数．
（1）若，求的取值范围．
（2）记已知函数有个不同的零点．
①若，求的取值范围；
②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得函数的定义域为，
当时，不等式等价于，
显然满足条件；
当时，不等式等价于，
即，解得，
综上所述，的解集为，
即当的取值范围为时，成立．
（2）解：（ⅰ）令
原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点），
当时，即为，
所以至多一个实根①；
当时，即为，
所以至多两个实根②，
由①知，），所以，
由②知，，所以或，
所以或，且，
当时，若，则有两个零点0和，符合题意，
当时，①无实根，
对于②，只要，化简得，
则，符合题意；
当时，若，
则有三个不等实根，不符合题意；
若，则有两个零点0和，符合题意；
若，则仅有一个零点0，不符合题意，
综上所述，当时，的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为
显然，所以，
易得函数在上单调递减，
所以，
所以．
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，分与两种情况代入不等式计算，从而求解不等式，进而得出实数x的取值范围.
（2）（ⅰ）利用，将问题转化为的实根个数问题，然后求得与时根的个数，从而可得实数的取值范围，然后分别检验，即可得到结果；
（ⅱ）利用已知条件结合（ⅰ）中的结论可得，再由零点求解方法和对勾函数的单调性，进而得出的取值范围.
（1）由题意得函数的定义域为．
当时，不等式等价于，显然满足条件；
当时，不等式等价于，即，
解得．
综上，的解集为，
即当的取值范围为时，成立．
（2）（ⅰ）令
原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）．
当时，即为，所以至多一个实根①；
当时，即为，所以至多两个实根②．
由①知，），所以，
由②知，，所以或，
所以或，且．
当时，若，则有两个零点0和，符合题意．
当时，①无实根，对于②，只要，化简得，
则，符合题意．
当时，若，则有三个不等实根，不符合题意．若，
则有两个零点0和，符合题意．若，则仅有一个零点0，不符合题意．
综上所述，当时，的取值范围为.
（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为，
显然，所以．
易得函数在上单调递减，所以，
所以．
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