第二十一章一元二次方程 单元检测题 (2) （含解析）

第二十一章 一元二次方程 单元检测题
满分：120分；考试时间：120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列一元二次方程无解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（ ）
月份 1 2 3 4 5
收入/万元 10 12 14
A． B．
C． D．
3．（本题3分）在平面直角坐标系中，过原点及点、作长方形，的平分线交于点.点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动.设移动时间为秒，当为直角三角形时为（ ）
A．2或 B．2或
C．或 D．2或或
4．（本题3分）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．5， B．5，1 C．， D．，1
5．（本题3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）．
A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感
C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮一共会有1210人感染
6．（本题3分）如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长，宽的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为，则满足的方程是（　　　）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）某旅店底楼的客房比二楼少一间，各个房间住的人数同这层的房间数相同，现有36人，底楼都住满，而二楼只剩下一件空房，则二楼的房间数为（ ）
A．4间 B．5间 C．6间 D．7间
10．（本题3分）定义新运算，如，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝0 (a≠0)的一个根是x＝2018,，则方程a(x＋2)2＋bx＋2b＝0的根是 ．
12．（本题3分）观察下列图形规律，当图形中的“”的个数和“”个数差为2024时，的值为 ．
13．（本题3分）用配方法把代数式化为的形式，当取 时，代数式的值最大是 ．
14．（本题3分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程 的解是 ．
15．（本题3分）在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程 ．
16．（本题3分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加春游活动，所联系的旅行收费标准如下：

春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
18．（本题10分）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知是的三边长，且满足，求的周长．
19．（本题10分）列方程解应用题：
山西是面食之乡，面食种类繁多，其中以刀削面最为有名，可谓“面食之王”，它有内虚外筋、柔软光滑、易于消化等特点，与北京的炸酱面、河南烩面、武汉的热干面、四川的担担面被誉为我国著名的五大面食．在某县城内一家特色刀削面馆考察得知，一份刀削面的成本价为7元，若每份卖12元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为280元．每份刀削面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天800元的净利润？
20．（本题10分）已知一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程与是友好方程，且k是符合（1）中条件的最大整数，求此时m的值．
21．（本题10分）已知某商品进价每件 40 元，现售价每件 60 元，每星期可卖出 300 件，经市场调查反映，每次涨价1元，每星期可少卖10件.
(1)要想获利 6090元的利润，该商品应定价多少元？
(2)能否获利 7000元，试说明理由？
22．（本题10分）某中学需要购进100个某品牌的足球供学生使用,经调查,该品牌足球2021年的单价为200元，2023年的单价为162元
(1)求2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率.
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案:
试问去哪个商场购买足球更优惠
23．（本题14分）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断即可．
【详解】解：A、，有两个不相等的实数根，故选项说法错误，不符合题意；
B、，解得，，有两个不相等的实数根，故选项说法错误，不符合题意；
C、，化为一般式为，，方程无解，故选项说法正确，符合题意；
D、，，有两个不相等的实数根，故选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．
（1）当，方程有两个不相等的实数根；
（2）当，方程有两个相等的两个实数根；
（3）当时，方程无实数根．
2．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设增长率为x，列方程为，
故选B．
3．D
【分析】要使为直角三角形，显然只有当∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出，，，再分别就∠PQB=90°或∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可．
【详解】作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=，
∴OG=PG=t，
∴点P（t，t），
∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理得，，，，
当∠PQB=90°，
则，
即，
整理得：，
解得t=0（舍）或t=2，
∴t=2；
当∠PBQ=90°，则，
即，
整理得：，
解得；
∴当t=2或或时，为直角三角形；
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，用到的知识点是动点问题、勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是讨论P点的位置，由题意建立方程从而求出t的值，同时要注意数形结合．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．先把方程化为一般式得到，然后根据一次项系数和常数项的定义求解．
【详解】解：移项、合并得，
一次项系数为，常数项为1．
故选：D．
5．D
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有[1+x+x（x+1）]人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
则第一轮后共有（1+x）人患了流感，
故A正确，不符合题意；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，
第2轮又增加个人患流感，
故B正确，不符合题意；
依题意，得1+x+x（1+x）=121，
即（1+x）2=121，
故C正确，不符合题意；
解方程，得x1=10，x2=-12（舍去）．
∴每轮传染中平均每人传染了10人．
∴经过三轮一共会有人感染，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．
6．B
【分析】关于x的方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac＞0，即可得到关于p的不等式，从而求得p的范围．
【详解】∵a=1，b=-1，c=p，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×p=1-4p＞0，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
7．D
【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，再将已知解代入求出另一解即可．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为n，
∵两根的和为：，
∴，解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次一元二次方程的解，数量掌握根与系数的关系式解决本题的关键．
9．B
【分析】设二楼的房间有x间，则一楼有（x-1）间，一楼住了（x-1）2人，二楼住了（x2-x）人，根据“现有36人入住”可列（x-1）2+（x2-x）人，即可列出方程，解方程即可求解，注意根据实际意义进行值的取舍．
【详解】解：设二楼的房间有x间，根据题意得（x-1）2+（x2-x）=36，
方程化简为：2x2-3x-35=0
即：（x-5）（2x+7）=0
解之得x=5，x=-（舍去）
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据“各个客房的床位同这层的房间数相同”这句话，列出住一楼和二楼的客人数．
10．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可．
【详解】解：根据题意可得：， ，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
故选：B．
11．x1＝2016，x2＝－2
【分析】根据根与系数的关系即可得出答案
【详解】由ax2＋bx＝0，得x（ax+b）=0，
∴x=0，ax+b=0，
x1=0,x2=，
∵一元二次方程ax2＋bx＝0 (a≠0)的一个根是x＝2018，
∴=2018，
∵a(x＋2)2＋bx＋2b＝0，
∴a(x＋2)2＋b（x+2）=0，
设y= x＋2，则y（ay+b）=0，
∴y1=0，y2=，
∴x＋2=2018，即x1＝2016，
∴x＋2=0，即x2＝－2，
故答案为x1＝2016，x2＝－2
【点睛】本题考查根与系数的关系
12．不存在
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解一元二次方程，设第个图形中“”的个数为个，“”的个数为个，根据图形中“”和“”个数的变化，可找出变化规律；，令即可得出关于的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设第个图形中“”的个数为个，“”的个数为个，
观察图形，
可知∶，，
；
，，
；
当时，
，即，
解得或，均不为整数，不符合题；
当时，
，即，
，无解；
综上，n的值不存在
故答案为：不存在．
13． / /
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴当时，代数式的值最大是．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，准确计算是解题的关键．
14．
【分析】令，将方程化为已知根的方程；从而得到两个关于的一元二次方程，然后分别求解即可；
【详解】解：令
则关于的方程 可化为：；
根据题意可知
或
解方程得：
而方程无实数根；
故答案为：
【点睛】本题考查了用换元法解方程；熟练运用换元法将复杂的方程简单化是解题的关键．
15．
【分析】由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小刚看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程．
【详解】解：小明看错了一次项系数，
；
小刚看错了常数项，
，
．
正确的一元二次方程为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
16．14
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【详解】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为14．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
17．该班参加这次春游活动的人数为35名.
【分析】判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：∵25人的费用为2500元<2800元，
∴参加这次春游活动的人数超过25人，
设该班参加这次春游活动的人数为x名，
根据题意,得[100 2(x 25)]x=2800，
整理,得
解得：
时,100 2(x 25)=70<75，不合题意，舍去；
时,100 2(x 25)=80>75，
答：该班共有35人参加这次春游活动.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键.
18．(1)
(2)多项式的最小值为
(3)的周长为12
【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）根据阅读材料中的方法分解即可；
（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
（3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
，
的最小值为；
（3）解：，
，
，
∴，，，
故的周长为．
19．16元或19元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每份刀削面的价格是元，则销售量为份，设再根据净利润总收入总成本其它各种费用列出方程求解即可．理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：每份刀削面的价格是元，
由题意可得，，
整理得：，
解得：或，
答：每份刀削面的价格是16元或19元时，该面馆才能实现每天800元的净利润．
20．（1）k＜4且k≠2；（2）m=0或m=．
【分析】（1）根据k-2≠0且求解即可；（2）k=3，求得的两个根为，分别代入计算即可．
【详解】（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴k-2≠0且，
∴k-2≠0且，
∴k＜4且k≠2；
（2）∵k＜4且k≠2，且k是最大整数，
∴k=3，
∴变形为，
∴
∴，
当x=1是相同的实数根时，则，
解得m=0；
当x=3是相同的实数根时，则，
解得m= ；
综上所述，m=0或m=．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，不等式的整数解，熟练将根的判别式具体化，灵活解方程是解题的关键．
21．(1)应定价为 元或元
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据商场利润每件商品的利润销售数量，即可得到关于的方程，解方程可得结论；
（2）同理列方程，计算的值，方程无实数解，即可求解．
【详解】（1）设每件涨价为 元，依题意得，
，
整 理 得：，
解得，
，
答：要想获利元的利润，该商品应定价为 元或元；
（2）设每件涨价为 元，依题意，
，
整 理 得：，，
∴方程无实数解，
∴销售该商品不能获利7000元；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
22．(1)
(2)去商场购买足球更优惠
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）设2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为，根据2021年及2023年该品牌足球的单价，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商 城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为，
根据题意得：，
解得：或(舍去)．
答：2021年到2023年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为．
（2）解：个
在A商城需要的费用为元)，
在B商城需要的费用为(元)．
．
答：去商场购买足球更优惠．
23．(1)；；
(2)；
(3)-1
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1），；
故答案为；；
（2），，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页