2024年8月永州八中初升高入学考试试卷
数学
(考试时间: 120分钟 试卷满分: 120分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效.
3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.2024 的相反数是（ ）
A. B. C. 2024 D. -2024
2.下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
3.2023年全国粮食播种面积 17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%.将数17.85亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，DE是∠BDC的平分线，若AB∥CD, ∠1=35°,则∠2=（ ）
A.17.5° B.35° C.55° D. 70°
如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半轻画弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO,交BC于点E。已如CE=3，AB=6，△AEB 的面积为（ ）
A.6 B.9 C.12 D.18
古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A.中位数为1
B.从1，1，4，5, 1, 4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大
C.众数是1 D. 平均数为
8.今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十
送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. D.1
9.如图，在矩形ABCD中， AD=4.对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD， 垂足为E，DE=3BE，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.2
10. 若三条长度分别为a, b，c的线段能构成三角形，我们就把(a,b,c)称为三角数组， 已知(p,q,r)是三角数组，则下列说法正确的是（）
①（）一定是三角数组 ；②（）不一定是三角数组；
③()一定是三角数组；④()不一定是三角数组；
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
第II卷
二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)
11.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
12.分解因式:
13. 不等式组的解集是
14.若关于x的分式方程有增根，则m的值是 。
15. 设a, b是方程的两个实数根，则的值为
16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1, ⊙O是ABC的外接圆，点A, B, O在网格线的交点上，则cos∠ACB的值是
17.如图，反比例函数y=x的图象经过 ABCD对角线的交点P，已知点A, C, D在坐标轴上，BD⊥DC， ABCD的面积为16，则k=
18.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”。观察下列勾股数:
3,4,5；5,12,13；7,24,25 ；. ... 这类勾股数的特点是:勾为奇数，弦与股相差为1。柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如: 6,8,10；8,15,17；. ..若此类勾股数的勾为10，则其弦
是
三、解答题(本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、 23
题每题8分，第24、 25题每题10分，第26题12分，共66分)
19.计算:
20. 先化简，后计算:，其中a是满足条件的合适的非负整数.
21.如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直(∠ACB=90°)，BC=3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE=且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE=4米.
(1)求该支架的边BD的长；
(2)求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF(结果保留根号)
22. 4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解
情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图
(1)n= ，补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“70 - 80”这组的扇形圆心角为 °
(3)若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数.
23.为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐.近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A, B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元.
(1)问葡萄种植基地销售的A, B两种葡萄每千克的售价各是多少元
(2)某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过3600元，超市对购进的葡萄进行包
装销售(如下表)，全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大 最大总利润为多少元
葡萄品种 A品种 B品种
每包中葡萄重量（千克） 1 2
售价（元/包） 18 20
每个包装盒的成本（元） 3 2
如图，已知⊙O的内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a，b，c.
（1）如图①，若在直径BD的延长线上取一点E，使∠ECD=∠DBC，求证: CE是⊙O的切线；
(2)如图①，在(1)的条件下，若CE=, ED:BD=1:4， 求DC的长度;
(3)如图②，若设⊙O的半径为R，求证:
25.定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”。
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
(2)如图1,在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点(E不与C、D重合)，AE交BD于点F，过F作FH上AE交BC于点H.
①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形"并说明理由；
②如图2，连接EH,求△CEH的周长;
③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长，
26.我们定义:对于一个函数，如果自变量x与函数值y，满足:若m≤
x≤n，则m≤y≤n (m,n为实数)，我们称这个函数在m→n上是同步函数.比如: 函数y=-x+1在 -1→2上是同步函数.理由:
∵1≤x≤2，x=1-y， ∴-1≤1-y≤2,得-1≤y≤2,，∴是同步函数.
(1)若函数y=-x+b在2→4上是同步函数，求b的值;
(2)已知反比例函数在m→n上是同步函数，求的值;
(3)若抛物线（a>0,a+b>0)在1→3上是同步函数，且在1≤x≤3 上的最小值为4a，设抛物线与直线y=交于A，B点，与y轴相交于C点.若△ABC的内心为G，外心为M，试求MG的长.2024年8月永州八中初升高入学考试试卷
数学参考答案
【1】D
【2】D
【3】B
【4】A
【5】D
【6】B
【7】A
【8】B
【9】D
解：∵DE=3BE，
∴BD=4BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO=BD=2BE，
∴BE=EO，
又∵AE⊥BO，
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠ADB=30°，
又∵AE⊥BD，
∴AE=AD=2
【10】B
解：∵（p,q,r）是三角数组，
∴可设0＜p≤q≤r,且p+q＞r,
∴
∵r
∴
∴（）一定是三角数组，故①正确，②错误；
令p=2，q=3，r=4，则（p,q,r）即（2，3，4）是三角数组，
∵22+32=13＜42，
∴（22，32，42）不是三角数组，
∴（p,q,r）是三角数组时，（p2，q2，r2）不一定是三角数组，故③错误，④正确．
故选：B．
二填空题
【11】
【12】
【13】
【14】 2
【15】 2023
【16】
解：如图，连接BO并延长交⊙O于D，则BD为直径，
，
由圆周角定理得：∠ADB=∠ACB，∠ADB=90°，
由勾股定理可得：
∵AD=2
∴
【17】-8
解：如图，过点P做PE⊥y轴于点E．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB=DO，
∴S矩形ABDO=S ABCD=16，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为8，
即DO EO=8，
∴设P点坐标为（x,y），
k=xy=-8．
【18】 26
三解答题
【19】
=
=2
【20】
原式=
∵且
a是满足条件的合适的非负整数.
∴a=2
当a=2时，原式等于
【21】
解：（1）∵DE⊥AB，
∴△DBE是直角三角形，
在Rt△DBE中，
∵BE=4，
∴BD=10，
即该支架的边BD的长为10米；
（2）根据已知可得，在Rt△DBG中∠DBG=45°，且BD=10，
∴
即
解得：DG=5，
在矩形GFCB中，GF=BC=3，
∴DF=DG+GF=（5+3）米．
【22】
本次调查共抽测了12÷24%=50名学生，即n=50
90～100的学生有：50-4-8-10-12=16（人），
补全的频数分布直方图如图所示：
（2）70-80所对应的扇形圆心角的度数是360°×=72°，
（3）估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数为1200×=672（名）．
【23】
（1）设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据题意，得，解得
答：A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元；
（2）设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄包，设总利润为w元
则
解得80≤m≤100，
总利润
∵2＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∵80≤m≤100，
∴当m=100时，得到最大值w=2m+400=600，
∴当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为600元．
【24】
证明：如图①，连接OC，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠ECD=∠EBC，∠CED=∠BEC，
∴△CED∽△BEC，
∴∠CDE=∠BCE，即∠BCD+∠OBC=∠OCB+∠OCE，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCE=∠BCD=90°，即OC⊥CE，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：设DE=a,则BD=4a,BE=5a,
∵△CED∽△BEC，
∴，
即，解得a=1，a=-1（舍去），
∴BD=4，
∴BC=CD，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，即
解得CD=，CD=（舍去），
∴DC的长度为
（3）证明：如图②，连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，
∵弧BC=弧BC
∴∠A=∠D，
∴，即
如图②，连接CO并延长交⊙O于E，连接AE，则∠CAE=90°，同理可得
sin∠ABC=sin∠E=，即
如图②，连接AO并延长交⊙O于F，连接BF，则∠ABF=90°，同理可得sin∠ACB=sin∠F=，即
∴
【25】
解：（1）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故答案为：C；
（2）①四边形AFHB是否为“等补四边形”，理由：
如图，连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
又∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
∵HF⊥AE，
∴∠AFH=∠ABH=90°，
∴∠BAF+∠BHF=180°，
∵∠BHF+∠FHC=180°，
∴∠FHC=∠BAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴AF=FH；
②连接AH，由①知，△AFH为等腰直角三角形，则∠HAF=45°，
将△ABH围绕点A逆时针旋转到△ADL的位置，点H对应点L，则AL=AH，LD=BH，
则∠LAE=∠LAD+∠DAE=∠DAE+∠BAH=90°-∠HAF=45°=∠HAF，
∵AH=AL，AE=AE，
∴△ALE≌△AHE（SAS），
∴HE=LE=LD+DE=BH+DE，
则△CHE的周长=HE+CH+CE=BH+DE+CH+CE=BC+CD=2a；
③∵四边形ECHF是“等补四边形”，∠EFH+∠C=180°，
则存在FH=EF、FE=CE、FH=CH、CH=FH四种情况，
当FH=CH时，
由（1）知，FH=AF，
则FH=AF=CF=CH，则△FCH为等边三角形，如图：
则∠FCB=60°=∠FAB，则∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，DE=ADtan30°=
则CE=CD-AD=a-=
当CE=EF时，
∵HE=HE，
∴Rt△EHF≌△Rt△EHC（HL），
∴FH=HC，
而FH=FC，
∴△FCH为等边三角形，
故该情况同FH=CH的情况；
当FH=CE时，
由②知，△CEH的周长为2a,
设CH=EC=x,则HE=,
则x+x+=2a,
解得：CE=x=（2-）a；
当EF=HF时，则AF=EF，
而当点F是BD的中点时，才存在AF=EF，
故该种情况不存在，
综上，CE的长度为：（2-）a或
【26】
【分析】（1）根据同步函数的定义和一次函数的增减性可得答案；
（2）根据反比例函数的增减性可知，时，，从而得出答案；
（3）由，，得，则抛物线在上
是递增的，可知时，，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点、、的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标，从而解决问题．
【小问1详解】
解：函数在上同步函数，且函数是递减函数，
∴，，当时，；当时，；
，
．
【小问2详解】
解：∵反比例函数在上是同步函数，
∴，，
反比例函数在或上是递减的，
当时，取最大值，当，取最小值，
，
．
【小问3详解】
解：抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，
假设点在点的左侧，即，
，解得，，，
在中，，，，
，，，
外心在线段的垂直平分线上，设，则，
，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得，
，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
内心在轴上，
，
，
．
