广东省揭阳市普宁市华侨中学2025届高三上学期暑期摸底考试数学试题（含解析）

普宁市华侨中学2024-2025学年度第一学期高三数学摸底考试
本试卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案. 答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1．已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2． 复数的虚部是（ ）.
A． B． C． 8 D．
3． 下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
4． 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． 2 D．
5． 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2,2] C．(－2,2] D．(－∞，－2)
6． A，B，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（ ）
A． 24 B． 120 C． 48 D．60
7． 设a，b为正数，若圆关于直线对称，则最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
8． 已知函数，若是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）
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9． 已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A． 中位数不变 B． 平均数不变
C．. 方差不变 D． 第40百分位数不变
10． 已知函数，则（ ）
A．是函数的一个周期 B．是函数的一条对称轴
C．函数的一个增区间是
D．把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像
11． 如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的值最小
B．当时，
C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆
D．直线与平面所成角的正弦值是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12． 已知直线与，若，则实数a的值为______．
13． 若事件A，B发生的概率分别为，，且A与B相互独立，则
______．
14． 若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）已知函数．
(1)若在处的切线与直线平行，求实数m的值；
(2)若，求函数的极值．
16．（15分）在中，内角所对的边分别为，其中，且．
（1）求；
（2）求的取值范围．
17．（15分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值.
19．（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
性别 就餐区域 合计
南区 北区
男
女
合计
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为.
0.100 0.050 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
（i）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ii）求第天他去甲餐厅用餐的概率.
附：；
普宁市华侨中学2024-2025学年度第一学期高三数学摸底考试参考答案
一、二选择题．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B B A C C A D AD ACD ABC
三、填空题.
12． —2 13． 14．　
四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15【详解】（1）由函数，定义域为，……………………1分
可得，………………………………………………………………2分
可得，即在处的切线的斜率为，
因为在处的切线与直线平行，
可得，则；……………………………………………………6分
若，可得，……………………………………7分
所以，其中，…………………………………………………8分
可得，……………………………………………………9分
令，可得，…………………………………………………………………10分
当时，，在单调递减；…………………………………11分
当时，，在单调递增，……………………………12分
所以当时，函数取得极小值为，无极大值．………………13分
16【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理得，，
则，
因为，所以，则，
又，所以．………………………………………………………7分
（2）由余弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
又，且，
所以，
综上，的取值范围为．…………………………………………………15分
17【详解】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，.
设平面PCD的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，
设平面PAC的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，
因为，
所以，所以平面平面．…………………………………………………7分
（2）由（1）知，，所以，，
因为，所以，即，解得，
故，所以，由（1）知，
设直线BM与平面PCD所成的角为，
则，
故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为.………………………………………15分
18【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，
所以四边形为平行四边形，其面积设为，则
，所以，
所以，
又，
解得，
所以椭圆的方程为.………………………………………6分
（2），当直线与轴重合时，的方程为，
此时不妨令，则；…………8分
当直线与轴不重合时，的方程可设为，
由，得，
设，则，…………………………12分
综上，为定值4.……………………………………………………………17分

19【详解】（1）零假设：在不同区域就餐与学生性别没有关联，
根据表中的数据可得，，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联.……………5分
（2）设“第天去甲餐厅用餐”， “第天去乙餐厅用餐”，“第天去丙餐厅用餐”，
则两两独立，，
依题意，，，，
，，，，，
（i）由，结合全概率公式可得，
，
所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为. ………………………………………11分
（ii）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，则，
由全概率公式可得
故①，同理可得②，
③，④，由①②得，由④可得，
代入②中可得，即，且，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，则，，
于是，当时，，
综上所述，.……………………………………………………17分