课件19张PPT。17.1 一元二次方程第一课时复习引入问题1 某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100t,计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番(即为200t).要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？解：设这个队2010-2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,那么；2010年无公害蔬菜产量为100+100x=
100(1+x)(t);2011年无公害蔬菜产量为100(1+x)+
100(1+x)?x=100(1+x)2(t).
根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200t,得
100(1+x)2=200,
即 (1+x)2=2.
整理，得 x2+2x-1=0.问题2 在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直),把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m2,问小路的宽应是多少？解：设小路的宽是xm,则横向小路的面积是32xm2,纵向小路的面积是2×20xm2,两者重叠部分的面积是2x2m2.由于花坛的总面积是570m2,则
32×20-（32x+2×20x）+2x2=570.
整理，得 x2-36x+35=0.一元二次方程的概念 ③ 都是整式方程;① 只含一个未知数;②未知数的最高次数是2.即：一元二次方程的共同特点: 像x2+2x-1=0，x2-36x+35=0这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0(a ≠ 0)b是一次项系数一元二次方程的一般形式 a是二次项系数常数项二次项一次项“=”的右边必须整理成0.ax2+bx=0 (a≠0,b≠0) 一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0
(a≠0)完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0, b≠0, c≠0) 不完全的一 元二次方程ax2+c=0 (a≠0,c≠0)ax2=0 (a≠0)归纳： 一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b (a≠0)ax2+bx+c=0 (a≠0)都是整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2例1： 判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x =36(2) x3+ x2=36(3)x+3y=36(5) x+1=0√????√?? 判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的
三个条件进行判别。(① 只含一个未知数;②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;)下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：____________尝试练习：可能为0是分式是二次根式例题讲解[例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1)
例题讲解(2)解： 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的 二次项3x2，二次项系数为3,
一次项-8x，一次项系数为-8,常数项为-10.二次项：x2，二次项系数
为1,一次项：0，一次项系
数为0,常数项为0. ax2 + bx + c = 0注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必须先将方程化为一般形式二次项系数一次项系数常数项(a≠0) 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。例1 把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
解 去括号，得 3x2-3x=2x-4-4.
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2-5x+8=0.
它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8.例题解析例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2－5x＋1＝0x2 ＋ x－8＝03－5＋11＋1－83－5 111－87x2 － 4＝070 － 44
2x2+x+4=02
1-4y2+2y=0-4
2
0
3x2-x-1=0
3-1
-1
例3 抢答：4x2-5=040
-5
m-31-m
-m
3x(x-1)=5(x+2)(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)
3
-8
-10
方程(2a－4)x2 －2bx+a=0,
①在什么条件下此方程为一元二次方程？
②在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2∴当a≠2时是一元二次方程；∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程.例4：1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k 时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 时，是一元二次方程．
当k 时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－1练习巩固 m=13.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0D1.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是 3、如何理解一元二次方程的一般形式 (a≠0)？（1）（2）（1）（2）一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式 转化、建模思想。(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件找一元二次方程的二次项、一次项
系数及常数项要先化为一般式课后作业教材第21页练习1-3题课件13张PPT。17.1 一元二次方程第二课时知识回顾一、一元二次方程的概念一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)对应练习1：
1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式 .其中二次项系数 ，常数项 . 2. 当m 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二次方程. 当m 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.x2+3x-3=01-3≠2=21.下列方程中，关于x的一元二次方程是 （ ）A. B. C. ax2+bx+c=0D. A （1）三个特征：只含有一个未知数；
方程的两边都是整式；
未知数的最高次数为2次.（2）形如ax2 + bx + c=0（a≠0）叫做一元二次方程.2.关于x的方程(a-1)x2 - 2x + 3=0是一元二次方程，
则 （ ）
A. a>1 B. a<1 C.a=1 D.a≠1D一元二次方程的概念看谁眼力好！下列方程中，哪些是一元二次方程？先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-5m＋4=0有一根为2,求m.分析:一根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.一元二次方程解的概念方程解的定义是怎样的呢? 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。解：由题意得
把x=3代入方程x2+ax+a=0得，32+3a+a=09+4a=04a=-9练一练例：关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0的一个根为0，求m的值. 解：把x=0代入原方程，得：
m2-1=0, m2=1, m=±1.
又 ∵ m-1≠0, ∴ m≠1.
∴m=-1.
∴当m=-1时，该方程的一个根为0. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1 拓展:若 a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 讨论：当一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) , 有一个根
为0或1、-1时，一元二次方程的项有什么特征？ 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当有一个根为0时，常数项 c 为0；
当有一个根为1时，二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，即 a+b+c =0 ；
当有一个根为-1时，一次项系数等于二次项系数与常数项的和，即 a+b+c =0 。
-1120（1）若c=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0,必有一解为
（2）若a+b+c=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0,必有一解为
（3）若a-b+c=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0,必有一解为
（4）若4a+2b+c=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0,必有一解为反过来也成立2.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程,则m的值为（ ）
A . 任何实数 B. m≠0
C. m≠1 D. m≠0 且m≠1C3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0D1.已知关于x一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一根是0，则a的值为 （ ）
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0B ?课后作业习题17.1第1-3题再见课件15张PPT。17.2 一元二次方程的解法第一课时直接开平方法1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= 如：9的平方根是______±3 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；
(2)零的平方根是零；
(3)负数没有平方根。知识回顾如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?解:（1）∵x是4的平方根即此一元二次方程的解（或根）为: x1=2，x2 =-2 （2）移项，得x2=2 ∵ x是2的平方根
∴x= ∴x＝±2尝试 像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次
方程的方法叫做直接开平方法。 说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程
的过程，就是把方程化为形如x2=a（a ≥0）或
（x + h)2 =k（k ≥0)的形式，然后再根据平方根的意义求解什么叫直接开平方法？概括总结例1 解下列方程
（1）x2-1.21=0 (2)4x2-1=0 解（1）移项，得x2=1.21∵x是1.21的平方根∴x=±1.1即此一元二次方程的根为： x1=1.1，x2=-1.1（2）移项，得4x2=1两边都除以4，得典型例题典型例题 例2 解下列方程：
⑴ (x＋1)2= 2
⑵ (x－1)2－4 = 0
⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0 分析：第1小题中只要将（ x ＋1）看成是一个
整体，就可以运用直接开平方法求解；解：（1）∵ x +1是2的平方根典型例题分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同
第1小题一样地解；例2 解下列方程：
⑵ (x－1)2－4 = 0
⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0∴ x1=3， x2=-1解：（2）移项，得（ x -1）2=4∵ x -1是4的平方根∴ x -1=±2即x -1=+2 或 x -1=-2典型例题例2 解下列方程：
⑶ 12(3－2 x )2－3 = 0 分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解。 解：(3)移项，得12(3－2x )2 = 3两边都除以12，得 (3-2x )2 =0.25∵3-2x是0.25的平方根∴3-2x=±0.5即3-2x=0.5 或 3-2x=-0.5练一练1、解下列方程：
（1）x2=16
（2）x2－0.81=0
（3）9x2=4
（4）y2 －144=0 典型例题例3：解方程(2x－1)2=(x－2)2 即x1=-1，x2=1 分析：如果把2x-1看成是(x－2)2的平方根，同样可以用直接开平方法求解即 2x-1=±（x-2）∴2x-1=x-2 或 2x-1=-x+2练一练;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，
得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 2、下列解方程的过程中，正确的是（ ）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1= D 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 讨 论1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有( x＋h)2 = k（k ≥ 0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.任意一个一元二次方程都能用直接开平
方法求解吗？请举例说明3、解下列方程：
（1） ( x－1)2 =4
（2） ( x+2)2 =3
（3） ( x－4)2 －25=0
（4） ( 2x+3)2 －5=0
（5） ( 2x－1)2 =( 3－x )2 练一练小结与思考1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解? 方程可化为一边是 ___________________,另一边是____________,那么就可以用直接开平方法来求解. 2、直接开平方法的理论依据是什么?平方根的定义及性质含未知数的完全平方式一个常数再见课件13张PPT。17.2 一元二次方程的解法第二课时配方法（1）知识回顾什么是完全平方式？式子a2±2ab+b2叫做完全平方式
且a2±2ab+b2=(a±b)2. 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=a(a≥0)或( x＋h)2 = k（k ≥ 0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？3.那么如何解方程x2+2x-1=0呢？知识回顾填一填(1) x2+2x+ =(x+ )2
(2) x2-8x+ =(x- )2
(3) y2+5y+ =(y+ )2
(4) y2- y+ =(y- )2
它们之间有什么关系？124214典型例题解方程 x2+2x-1=0
1.移项：x2+2x=1 （ 把常数项移到方程的右边）
2.配方：x2+2x+1=1+1（方程两边都加上一次项系数一半的平分）
3.变形：(x+1)2=2(方程左边分解因式，右边合并同类项)
4.开方：x+1=±√2(根据平方根的意义，方程两边开平方)
5.求解：x1=-1+√2 ; x2=-1-√2 .(解一元一次方程)
6.定解：所以原方程的根是x1=-1+√2 ; x2=-1-√2 .
（写出原方程的解） 像这种先把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用直接开平方法求解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.心动不如行动成功者是你吗？例1.用配方法解下列方程：
（1）x2-4x-1=0; （2）2x2-3x-1=0.解：（1）移项，得 x2-4x=1 .
配方，得 x2-2×2x+22=1+22，
变形，得 (x-2)2=5,
开平分，得 x-2=±
求解，得x1=2+ ， x2=2-
定解，所以原方程的根是x1=2+ ，x2=2-
心动不如行动成功者是你吗？例1.用配方法解下列方程：
（1）x2-4x-1=0; （2）2x2-3x-1=0.解：（2）化1，x2- x - =0
移项，得 x2- x= .
配方，得 x2- x+( )2= +( )2，
变形，得 (x- )2= ,
开平分, 得 x- =±
求解，得x1= ， x2=
定解，所以原方程的根是x1 = ，x2=随堂练习 你能行吗？1.填空：
（1）x2-8x+( )2=(x- )2;（2）y2+5y+( )2=(y+ )2;
(3) x2- x+( )2=(x- )2;（4）x2+px+( )2=(x+ )2.2.用配方法解下列方程：
（1）x2+ x - 1=0； （2）x2- 3x - 2=0；
（3）2x2+ 5x - 1=0； （4）3x2- 6x + 1=0.开拓智慧 你能行吗？1.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于 （ ）
A. 1 B. -1 C. 1或9 D. -1或9
2.代数式 的值为0，则x的值为
3.已知（x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值为
4.已知三角形的两边长分别为2和4，第三边的长是方程x2- 4x+3=0的解，求这个三角形的周长.
5.如果x2- 4x+y2+6y+ +13=0,求 xyz 的值. 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的一般步骤：
1.化1： 二次项系数化为1，（方程两边都除以二次项系数）
2.移项： 把常数项移到方程的右边，
3.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平分，
4.变形：方程左边分解因式，右边合并同类项，
5.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方，
6.求解：解一元一次方程，
7.定解：写出原方程的解是.
小结拓展 回味无穷谈谈你的收获 1.一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平分.
3.用配方法解形如x2+bx+c=0的一元二次方程的一般步骤是什么？
移项 配方 变形 开方 求解 定解课后作业 教材第30页
习题17.2第2题再见课件20张PPT。17.2 一元二次方程的解法第三课时知识回顾1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方，
求解，定根用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法？ 知识回顾 3.如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得移项，得 配方，得想一想：能用直接开平方解吗？什么条件下就能用直接开平方解？不能你能得出什么结论？ 探究 1.为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？ 用公式法解一元二次方程的前提是:公式法1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
概括总结一般地，对于一般形式的一元二次方程 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公
式解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定，用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解。总结归纳：（1）公式叫做一元二次方程的求根公式；（2）利用求根公式解一元二次方程的方
法叫求根公式法；一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程的求根公式为：（3）当 那么方程有两个相等
的实数根，即
b2-4ac=0(a≠0, b2-4ac≥0)例1 用公式法解下列方程 ：
（1）2x2+7x-4=0 （2）x2+3=2 x2.计算: b2-4ac
的值;3.代入:把有关数值代入公式计算;4.定根:写出原方程的根.1.确定系数:用a,
b,c写出各项系数；解 （1）a=2,b=7,c=-4，代入求根公式，得b2-4ac=72-4×2×(-4)=81>0x=例1 用公式法解下列方程 ：
（1）2x2+7x-4=0 （2）x2+3=2 x 1.变形:化已知方程为一般形式; 3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 5.定根:写出原方程的根. 2.确定系数:用a,
b,c写出各项系数；解 （2）将原方程化为标准形式，得
x2-2 x + 3 = 0代入求根公式，得例2 解方程：x2 + x - 1 = 0.（精确到0.001）解 a = 1,b = 1,c = - 1,代入求根公式，得用计算器求得用公式法解一元二次方程的一般步骤：11.把下列方程化成 ax2+bx+c=0 的形式，并写出其中a,b,
c的值：
（1）x2- 5x = 2 ； （2）3x2- 1 = 2x ；
（3）2x(x-1) = x + 4 ; (4) (x+1)2 = 3x - 2 .2.用公式法解下列方程：
(1)3x2+5x-2=0； (2)2x2+5x-12=0；
(3)t2+ t+2=0; (4) 4x2- x+3=0;
(5) p(2-p) = 5; (6) 0.3x(x-2)+0.4=0.3.用公式法解方程：x2-3x-1=0.（精确到0.1）解 a = 1,b = -3 , c = -1,4. 解关于x的方程：2x2- mx - n2= 0.解 a = 2 , b = - m , c = - n2,
b2-4ac=(-m)2-4×2×(-n2)=m2+8n2≥0一、由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得小结:1二、用公式法解一元二次方程的一般步骤:四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代入公式时，符号不要弄错.三、当 b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.当 b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.当 b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根.习题17.2第4题课外作业再见课件27张PPT。17.2 一元二次方程的解法第四课时温故而知新1.我们已经学过了几种解一元二次方程
的方法?2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积
的形式叫做分解因式.直接开平方法配方法x2=p(p≥0)(x+h)2=k (k≥0)公式法情景引入 一个数的平方与这个数的3倍
相等,这个数是几?解：设这个数为x,根据题意得配方法公式法新的方法？这样行吗？直接开平方法 配方法 公式法这种做法对吗?这种做法对吗?有的同学是这样解的这种做法对吗?这种方法的依据是？？如果两个因式的积等于0，
那么这两个因式中至少有
一个等于0；反之成立。即：若AB=0〈=〉A=0或B=0
（ A、B表示两个因式）例1、解方程 ：x2－9=0解：原方程可变形为(x+3)(x－3)=0x+3=0 或 x－3=0∴ x1=-3 ,x2=3例2、解方程：9x2－25=0解：原方程可变形为(3x+5)(3x－5)=03X+5=0 或 3x－5=0因式分解法 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法称为因式分解法.温馨提示:
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
4.基本思想是“降次”快速回答：下列各方程的根分别是多少？ 例3、解下列方程 x+2=0或3x－5=0 (3x+1)2－5=0 解：例4、解下列方程
x2－3x－10=0解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0
x－5=0或x+2=0
∴ x1=5 ,x2=-2 例题讲解解方程：x2- 5x + 6 = 0解 把方程左边分解因式，得
( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0 .
因此，有
x - 2 = 0或 x - 3 = 0.
解方程，得
x1 = 2, x2 = 3.例题讲解例 解方程：( x + 4 )( x - 1 ) = 6.
解 将原方程化为标准形式，得
x2 + 3x - 10 = 0.
把方程左边分解因式，得
( x + 5 )( x - 2 ) = 0.
∴x + 5 = 0 或 x - 2 = 0.
解方程，得
x1 = -5, x2 = 2.心动不如行动 成功是你吗？用因式分解法解下列方程：用因式分解法解一元二次方程的步骤1、方程右边化为 。
2、将方程左边分解成两个 的乘积。
3、至少 因式为零，得到两个一元一次方程。
4、两个 就是原方程的解。 零一次因式有一个一元一次方程的解右化零 左分解
两因式 各求解简记歌诀： 下面的解法正确吗？
如果不正确，错误在哪？2、 (x+3)(x－1)=5解：原方程可变形为(x－2)(x+4)=0x－2=0或x+4=0∴ x1=2 ,x2=-4解题步骤演示方程右边化为零x2+2x－8 =0左边分解成两个一次因式 的乘积至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 两个一元一次方程的解就是原方程的解 解题框架图解：原方程可变形为：
=0
( )( )=0
=0或 =0
∴ x1= , x2= 一次因式A 一次因式A一次因式B 一次因式B A解 A解 右化零 左分解
两因式 各求解说说你的收获吧
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
4.基本思想是“降次”课外作业习题17.2第5题再见课件21张PPT。17.2 一元二次方程的解法第五课时1、判断下面哪些方程是一元二次方程
√ √ × × × × 定义及一般形式: 只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次的整式方程,叫做一元二次方程。
一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0)
(1)直接开平方法ax2=b(a≠0)(4)因式分解法1、提公因式法，平方差公式，完全平方公式
2、十字相乘法(2) 配方法当二次项系数为1时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方(3)公式法一 直接开平方法依据：平方根的意义，即这种方法称为直接开平方法。解题步骤：4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?1.（3x -2）2-49=0 2.（3x -4）2=（4x -3）2解：移项，得：(3x-2)2=49
两边开平方，得：3x -2=±7
所以： x=
所以 x1 = 3，x2 = -解：两边开平方，得：
3x-4=±（4x-3）
? 3x -4 = 4x -3
或 3x-4= -4x+3
?-x=1或 7x=7
?x=-1，x=1
例题讲解二 配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法平方根的意义:完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,
且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.用配方法解一元二次方程的方法的助手:用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=01.化1:把二次项系数化为1;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;5.开方:两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;例题讲解例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0例题讲解例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0三 公式法一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法提示:
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一元二次方程.
2.b2-4ac≥0.例1 用公式法解方程
2x2-9x+8=0 1.变形:化已知方程为一般形式；3.计算: b2-4ac的值；4.代入:把有关数值代入公式计算；5.定解:写出原方程的根.2.确定系数:用a,b,c写出各项 系数；例题讲解例2. 用公式法解方程
2x2 + 5x - 3 = 0
解: ∵ a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49例题讲解例 3 ：解：化简为一般式：例题讲解1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值，将其与0比较。
3、代入求根公式 :用公式法解一元二次方程的一般步骤：4、写出方程的解： x1=?, x2=?(a≠0, b2-4ac≥0) 四 因式分解法1 提公因式法=0（2）解：提公因式得：2 平方差公式与完全平方公式形如运用平方差公式得：形如的式子运用完全平方公式得：或例题讲解例1 解下列方程（1）解：原方程变形为：（2）解：原方程变形为：[4(2-x)-3][4(2-x)+3]=0
4( 2 - x ) - 3 = 0
或 4( 2 - x ) + 3 = 0例题讲解用十字相乘法解下列方程x2－３x－28=0(x－7)(x+4)=0x－7=0或x+4=0x1=7,x2= -43 十字相乘法1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘积的形式，且p + q = 一次项系数。步骤：2 二次项系数不为1的情况：
将二次项系数分成两个数（式）a ,b的乘积的形式，常数项分解成p ,q的乘积的形式，且aq +bp = 一次项系数。p
qa
bp
q分解结果为 (x +p)(x +q) = 0分解结果为 (ax +p)(bx +q) = 01
1请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程
1、3x2 - 1 = 0 2、x（2x +3）= 5（2x +3）
3、x2 - 4x - 2 = 0 4、2 x 2 - 5x + 1= 01、形如（x-k）2 = h的方程可以用直接开平方法求解；
2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了。要利用因式分解法求解；
3、当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；
4、当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。练一练点评课外作业习题17.2第6题课件13张PPT。17.3 一元二次方程的
根的判别式利用公式法解下列方程对于一元二次方程
你能谈论一下它的根的情况吗?
在什么情况下，一元二次方程有解?有什
么样的解?
什么情况下一元二次方程无解?想一想 例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。解：＞0原方程有两个不相等的实数根。解：原方程可变形为原方程有两个相等的实数根。解：＜0原方程没有实数根。1.不解方程，判别下列方程的根的情况。练一练2.在一元二次方程 （ ）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
A例2：已知关于 的方程 ，
问 取何值时，这个方程： ⑴有两个不相等的实数根？
⑵有两个相等的实数根？
⑶没有实数根？
解：⑴＞0方程有两个不相等的实数根＜＜时，原方程有两个不相等的实数根⑵方程有两个相等的实数根时，原方程有两个相等的实数根⑶＜ 0＞＞时，原方程没有实数根解得当解得当解得当方程 有等根时,实数
的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于22. 关于 的一元二次方程
m≥0且m≠1有两个实数根，则m的取值范围为c试一试设 的三边为 ， ， ，方程 有两个相等的实数根，且 ， ， 满足 。试判断 的形状。 议一议解课堂小结①本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？
②本节课你有什么收获？还有什么疑问?课件14张PPT。17.3 一元二次方程的根的判别式用公式法求下列方程的根: 用公式法解一元二次方程的一般步骤:1)把方程化为一般形式确定a , b , c 的值温故而知新温故而知新配方法思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况我们把 叫做一元二次方程
的根的判别式，用符号“ ”来表示.反之，同样成立！当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根。练习：按要求完成下列表格：练一练有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根方程判别式 与根 让我们一起学习例题一
般
步
骤：3、判别根的情况，得出结论.例: 不解方程，判别下列方程根的情况.你会了吗？来练一下吧！
我相信你肯定行！ 练习 ：课本P35，练习1
练习：不解方程，判别关于 的方程
的根的情况.分析：系数含有字母的方程试一试 不解方程，判别关于 的方程
的根的情况.今天的收获：
我学会了……我掌握了……我体会到了……课件13张PPT。17.3 一元二次方程的根的判别式感悟一元二次方程根的判别式的产生过程；
能运用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理论证；
会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围。学习目标利用公式法解下列方程一元二次方程 的根的情况由b2-4ac来确定。 我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。通常用△来表示，即△= b2-4ac。一般地，方程 当△＞0时，有两个不相等的实数根；△=0时，有两个相等的实数根；△＜0时，没有实数根；当方程有两个不相等的实数根时，
△＞0；
当方程有两个相等的实数根时，
△=0；
当方程没有实数根时，
△＜0。
反过来，有: 例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。解：＞0原方程有两个不相等的实数根。解：原方程可变形为原方程有两个相等的实数根。解：＜0原方程没有实数根。1.不解方程，判别下列方程的根的情况。练一练2.在一元二次方程 （ ）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
A例2：已知关于 的方程 ，
问 取何值时，这个方程： ⑴有两个不相等的实数根？
⑵有两个相等的实数根？
⑶没有实数根？
解：⑴＞0方程有两个不相等的实数根＜＜时，原方程有两个不相等的实数根⑵方程有两个相等的实数根时，原方程有两个相等的实数根⑶＜ 0＞＞时，原方程没有实数根解得当解得当解得当方程 有等根时,实数
的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于22. 关于 的一元二次方程
m≥0且m≠1有两个实数根，则m的取值范围为c试一试课堂小结①本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？
②本节课你有什么收获？还有什么疑问?课件30张PPT。17.4根与系数关系1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？填写下表：猜想：如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？已知：如果一元二次方程
的两个根分别是 、 。求证：推导: 如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。1.3.2.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。1.已知一元二次方程的 两
根分别为 ，则：2.已知一元二次方程的 两根
分别为 ，则：3.已知一元二次方程的
的一个根为1 ，则方程的另一根为___，
m=___：4.已知一元二次方程的 两
根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__返回的值。解：根据根与系数的关系:返回例1.
不解方程，求方程 的
两根的平方和、倒数和。运用根与系数的关系解题二、典型例题例题1：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1,x2，
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
（3）解：设方程的两根分别为 和 ，
则：
而方程的两根互为倒数
即：
所以：
得： 2.方程 的两根互
为倒数，求k的值。设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ X1X2 = ____，
1. X12+X22 = ；
2. ( X1-X2)2 = ；
基础练习1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m =____。
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___
( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____ 。
X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？） 1. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 的两个根
分别是 、 ，其中 。
所以：
即：
由于
得：k=-7
答：方程的另一个根是 ，k=-7
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。1.已知一元二次方程的
的一个根为1 ，则方程的另一根为___，
m=___： 2、已知方程 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。例题4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0
的两根的平方和比两根之积的3倍少
10，求k的值.补充规律：两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。 两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。 两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 例6 方程x2?(m?1)x?2m?1?0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解:??(m?1)2?4(2m?1)?m2?6m?5
①∵两根互为相反数
∴两根之和m?1?0,m??1,且??0
∴m??1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 ??m2?6m?5,
∴两根之积2m?1?1 m?1且??0,
∴m?1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0,
∴两根之积2m?1?0 且??0,
∴ 时,方程有一根为零.
引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0)
（1）若两根互为相反数,则b?0;
（2）若两根互为倒数,则a?c;
（3）若一根为0,则c?0 ;
（4）若一根为1,则a?b?c?0 ;
（5）若一根为?1,则a?b?c?0;
（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根. 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 时，才
能应用根与系数的关系.1.一元二次方程根与系数的关系是什么?总结归纳数学日记 请同学们在课后通过以下几道题检测
自己对本节知识的掌握情况：
P36 第6题
P38 第11、12题
本堂课结束了，望同学
们勤于思考，学有所获。Goodbye!
See you next time!课件11张PPT。17.5 一元二次方程的应用第一课时引例：为减轻老百姓看病难问题，我国近两年的医疗税费改革采取了一系列措施,2008年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元,预计到2010年将到达304.2亿元,你知道从2008年到2010年中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率吗?
分析:设这两年的平均增长率为x,解:这两年的平均增长率为x，由题意得：1802008年 2009 年 2010年180(1+x)180(1+x)2180(1+x)2 = 304.2 1、增长率问题的有关公式 ：
增长数=基数×增长率
实际数=基数＋增长数
原始量 ×（1 ＋增加的百分数） =后来的量
原始量 ×（1 －减少的百分数） =后来的量2、解这类问题的方程，用直接开平方法做简便 增长次数降低次数 某商店一月份的利润是2500元，三月份的利润达到3000元，这两个月的平均月增长的百分率是多少？ 思考：若设这两个月的平均月增长的百分率是x，则二月份的利润是：___________元；三月份的利润为：____________元.可列出方程：2500(1＋ x) 2500(1＋ x)2 2500(1＋ x)2 =3000探究例题讲解例 原来每盒27元的一种药品，经两次降价后每盒售价为9元 .求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1％）解 设该种药品两次平均降价率是x.根据题意，得
27( 1 - x )2=9
整理，得
( 1 - x )2=
解这个方程，得
x1 ≈ 1.58， x2 ≈ 0.42.
x1 ≈ 1.58不合题意，所以x ≈ 0.42 .
答：该药品两次降价的平均降价率约是42％.概括总结:
1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2
若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b
则 第1次增长后的量是a(1+ x) =b
第2次增长后的量是a(1+x)2=b
……
第n次增长后的量是a (1+ x)n=b
这就是重要的增长率公式.2、反之，若为两次降低，则
平均降低率公式为：a(1－x)2=b1、某农场粮食产量是：2003年1200万千克，2004年为1452万千克。如果平均每年的增长率为x，则可得 ( )
A. 1200(1+x) =1452 B. 1200(1+2x)=1452
C. 1200(1+x%)2=1452 D. 1200(1+x%)=1452
2、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为 ( )
200(1+ x)2 =1000 B. 200+200×2×x=1000
200+200×3×x =1000
200+200(1+ x) + 200(1+ x)2 =1000AD巩固练习 3、某商场二月份的销售额为100万元，三月份的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到135.2万元，求四、五两个月的平均增长率。 解：设四、五两个月的平均增长率为x,由题意得：整理得：100(1－20％) (1+x)2 = 135.2(1+x)2 = 1.69即 1+ x =±1.3∴ x1＝0.3＝30％
x2＝－2.3 （不合题意，舍去）答：四、五两个月的平均增长率为30％ 1.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 2.某药品经两次降价, 零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样, 求每次降价的百分率. (精确到0.1%) 4.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分之几? 3.某工厂一月份的产值是5万元, 三月份的产值是11.25万元, 求月平均增长率是多少? 5.六安市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少? 类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为其中增长取“+”,降低取“－”课件22张PPT。17.5 一元二次方程的应用第二课时2、如果a 、b 、c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？1、在三位数345中，3、4、5各具体表示的什么？100a+10b+c 解：设较小的一个奇数为x，则另一个为
x +2.
根据题意得： x(x+2)=323
整理后得： x2 +2x－323=0
解这个方程得： x1=17, x2=－19
由x1=17 得： x +2=19
由x2=－19 得： x +2=－17
答：这两个数奇数是17、19，或－19、－17例1：两个连续奇数的积是323，求这两个数例2:有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。解：设原来的两位数的个位数字为x,则十位上的数字为8-x ，根据题意得
〔10(8-x+x)〕〔10x +(8-x)〕 =1855
整理后得： x2-8x +15=0
解这个方程得： x1=3，x2=5
答：原来的两位数为35或53.3、一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ,高位上的三个数是b，现将a，b互换，得到的六位数是_____________。课堂练习：
1、两个连续整数的积是210，则这两个数是 . 2、已知两个数的和等于12，积等于32，
则这两个数是 。14、15或 －14、 －154、81000a + b 例1：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.例题与练习 解:(1)如图，设道路的宽为x米，则整理得：其中的 x =25超出了原矩形的宽，应舍去.∴图(1)中道路的宽为1米.(32－2x) (20－2x) = 540 x2-26x +25 = 0解这个方程，得：x1=1 ，x2=25则横向的路面面积为 ， 分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一： 如图，设道路的宽为x米，32x 米2纵向的路面面积为 。20x 米2注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2所列的方程是不是32 ×20 －(32 x + 20x) = 540？图中的道路面积不是(32 x + 20x)米2。解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）练习：1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，(32-2x)(20-x)=570横向路面 ，如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为 。20 x米2草坪矩形的长（横向) ，草坪矩形的宽（纵向） 。(20－ x)米（32－ x)米 2.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】
A．400cm2 B．500 cm2
C．600 cm2 D．4000 cm2A练习： 3. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】
A．x2 ＋130x－1400=0 B．x2＋65x－350=0
C．x2－130x－1400=0 D．x2－65x－350=0B练习：4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．练习： 例2：将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3,求原铁皮的边长. x－84 3. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.练习:1、某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?
2、课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．设未知数，列方程课堂检测:练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2：在一块长80米，宽60米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是1500平方米，求这条跑道的宽度。
例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总造价是8640元,求池底的边长.分析:池底的造价+池壁的造价=总造价解:设池底的边长是xm.根据题意得:解方程得:∵池底的边长不能为负数,∴取x=4答:池底的边长是4m. 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得 x2– 25x+100=0得 x1=20, x2=5当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cmx列一元二次方程解应题补充练习： （98年北京市崇文区中考题）如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？课件11张PPT。17.5 一元二次方程的应用利润问题第三课时列方程解应用题的一般步骤是:
①.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
②.设:设未知数,语句要完整,有单位(统一)的要注明单位;
③.列:列代数式,列方程;
④.解:解所列的方程;
⑤.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
⑥.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.我是商场精英引例1：某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如果每天盈利1600元,每件服装应降价多少元?解：设每件服装应降价x元，由题意得：
（44－ x）（20＋5x）＝1600
整理，得： x2－40x＋144＝0
解这个方程，得：
x1＝36， x2＝4
答：每件服装应降价36元或4元.分析：设每件服装应降价x元，则每件服装可盈利（44-x）元，每天可销售（20+5x）件，每天盈利（44－ x）（20＋5x）元.我是商场精英引例2：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进台灯多少个?
分析：设销售价上涨x元，则每个台灯盈利(10+x)元，平均每月能售出(600-10x)个，平均每月的销售利润为(600-10x)(10+x)元.
解：设销售价上涨x元，根据题意，得
(600-10x)(10+x)=10000 整理得 x2- 50x + 400 = 0
解这个方程 ，得 x1=10, x2=40.
40 + x =50 或 40+x=80 ， 600-10x=500或600-10x=200
答：每个台灯的定价应为50元，这时应进台灯500个.
或每个台灯的定价应为80元，这时应进台灯200个. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900 — x）元，每台冰箱的销售利润为（2900 — x —2500）元平均每天销售的数量为（8 ＋ 4× ）台，这样就可以列出一个方程，进而问题就解决了.我是商场经理例1：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?分析：主要等量关系是：每台冰箱的销售利润 ×平均每天销售冰箱的数量 = 5000元 解：设每台冰箱降价x元，由题意得：
（2900－ x－2500）（8 ＋ 4× ）=5000
整理，得： x2－300x＋22500＝0
解这个方程，得：x1＝ x2＝150
∴ 2900－ x＝2900－ 150＝2750
答：每台冰箱的定价应为2750元.例2：某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：设每件衬衫应降价x元，每件盈利(40-x)元，平均每天可销售(20+2x)件，平均每天可盈利(40-x)(20+2x).
解：设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得 (40-x)(20+2x)=1200.
整理，得 x2- 30x + 200 = 0
解方程，得 x1 = 10, x2 = 20.
答：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元或20元. 1. 某专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
分析：设每千克核桃应降价x元，则每千克获利(20-x)元，平均每天可售出(100+10x)千克，平均每天获利
(20-x)(100+10x)元.
解：设每千克核桃应降价x元，根据题意，得
(20-x)(100+10x)=2240，整理，得 x2- 10x + 24 = 0，
解方程，得 x1 = 4, x2 = 6. （60-6）÷ 60 = 0.9
答：每千克核桃应降价4元或6元.应按原售价的九折出售.心动不如行动 成功者是你吗 2. 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20％，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？分析：每件商品售价a元，可卖出(350-10a)件，每件盈利(a-21)元，共盈利(350-10a)(a-21)元.
解：每件商品定价a元，根据题意，得
(350-10a)(a-21)=400
整理，得 a2- 56a + 775 = 0,
解方程，得 a1= 25, a2 = 31(不合题意，舍去）.
350-10a=100（件）
答：需要进货100件，每件商品应定价25元. 3.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低 x 元.
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价(元) 80 40
销售量(件) 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？80-x200+10x800-200-(200+10x)解： 200×80 + (80-x)(200+10x) +
[800-200-(200+10x)]×40 - 50×800 = 9000学习让我变得更聪明课件10张PPT。17.5 一元二次方程的应用第四课时数字和传播问题2、如果a 、b 、c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？1、在三位数345中，3、4、5各具体表示的什么？100a+10b+c 解：设较小的一个奇数为x，则另一个为
x +2.
根据题意得： x(x+2)=323
整理后得： x2 +2x－323=0
解这个方程得： x1=17, x2=－19
由x1=17 得： x +2=19
由x2=－19 得： x +2=－17
答：这两个数奇数是17、19，或－19、－17例1：两个连续奇数的积是323，求这两个数例2:有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。解：设原来的两位数的个位数字为x,则十位上的数字为8-x ，根据题意得
[10(8-x)+x][10x +(8-x)] =1855
整理后得： x2-8x +15=0
解这个方程得： x1=3，x2=5
答：原来的两位数为35或53.3、一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ,高位上的三个数是b，现将a，b互换，得到的六位数是_____________。课堂练习：
1、两个连续整数的积是210，则这两个数是 . 2、已知两个数的和等于12，积等于32，
则这两个数是 。14、15或 －15、 －144、81000a + b 1. 某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言.
请问，全班有多少名学生？传播问题分析：设全班有x名学生，则每个人都要写(x-1)份留言作为纪念，共写x(x-1)份.解：设全班有x名学生.根据题意，得
x(x-1)=1560
整理，得 x2-x-1560=0
x1= 40，x2=-39 （不合题意，舍去）
答：全班有40名学生. 2. 一个寝室的同学新学期见面时，每两人都握手一次，所有人共握手10次.试求这个寝室有多少名学生？分析：设这个寝室有x名学生，每个人都要与其他（x-1）名学生握手，共握手?x(x-1)次.解：设这个寝室有x名学生，根据题意，得
?x(x-1)=10，
整理，得 x2- x - 20=0，
解方程，得 x1= 5，x2= - 4 （不合题意，舍去）
答：这个寝室有5名学生.
3. 春节时有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了45次电话.请问有多少名同学相约互相通电话？分析：设有x名同学相约互相通电话，每个人都
与其他（x-1）名同学相约互相通电话，一共打
电话?x(x-1)次.解：设有x名同学相约互相通电话，根据题意，得
?x(x-1)=45，
整理，得 x2- x - 90=0，
解方程，得 x1= 10，x2= - 9 （不合题意，舍去）
答：有10名同学相约互相通电话. 4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被感染？分析：设每轮传播中平均一个人传染了x人，经过第一轮传播后有（1+x）人患了流感，经过第二轮传播后又新增加x(1+x)人患了流感，第二轮传播后有[1+x
+x(1+x)]=(1+x)2人患了流感.解：(1)设每轮传播中平均一个人传染了x人，
根据题意，得 (1+x)2 = 64，
解方程，得 x1= 7，x2= - 9 （不合题意，舍去）.
(2) 64×7=448.
答：每轮传染中平均一个人传染了7人，如果不及时控制，第三轮将又有448人被感染.谢谢合作课件15张PPT。17.5 一元二次方程的应用第五课时可化为一元二次方程来解的分式方程 例1： 一组学生组织春游，预计共需费 用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 3元，问原来这组学生的人数是多少？120120xx+2解：设原来这组学生的人数为x人 例1： 一组学生组织春游，预计共需费 用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 3元，问原来这组学生的人数是多少？解：设原来这组学生的人数为x人 经检验，x1=-10 ，x2= 8都是原方程的根，但x1=-10不合题意，应舍去，所以x =8答：原来这组学生为8人 例1： 一组学生组织春游，预计共需费 用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 3元，问原来这组学生的人数是多少？120120yy－3解：设原来每人分摊的费用为y元 例1： 一组学生组织春游，预计共需费 用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 3元，问原来这组学生的人数是多少？解：设原来每人分摊的费用为y元 例2： 某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送一”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？2626yy＋3解：设该品牌饮料一箱有y瓶 1.某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，每天多加工10个，一共用5天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件个数.心动不如行动，成功者是你吗？分析：设改进操作方法后每天加工的零件个数为 x，改进操作方法前每天加工的零件个数为（x-10）.加工前90个所用的天数为 ，加工后170-90=80个所用的天数为 解：设改进操作方法后每天加工的零件个数为 x，
根据题意，得
解方程，得 x1 = 40 , x2 = 4.
经检验，得 x1 = 40 , x2 = 4都是原方程的解，但x=4不合题意.
答：改进操作方法后每天加工的零件个数为40.2.某商店以2400元购进一种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20％作为售价，售出50盒.第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶.全部售完后共盈利350元，求每盒茶叶的进价.分析：设每盒茶叶的进价为x元，第一个月的售价为(1+20％)x元，第二个月的售价为(x-5)元,第二个月共销
售（ ）盒.解：设每盒茶叶的进价为x元，
根据题意，得
解方程，得 x1 = 40 , x2 = -30.
经检验，得 x1 = 40 , x2 = -30都是原方程的解，但x=-30不合题意.
答：每盒茶叶的进价为40元. 3.一商店用1800元买进玩具若干个，其中有2个损坏无法出售，剩余的每个以比进价多5元的价格出售.若剩余的全部卖完，则这批玩具共赚400元.问这批玩具每个进价是多少元？共买进了多少个玩具？解：设这批玩具每个进价是x元，则共进了(1800÷x)个玩具，
根据题意，得
解方程，得 x1 = 20 , x2 = -225.
经检验，得 x1 = 20 , x2 = -225都是原方程的解，但x=-225不合题意.
共进了1800÷20=90个玩具
答：这批玩具每个进价是20元，共买进了90个玩具.
4.一小艇顺流航行24km到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共6h.已知水流的速度是3km/h.求小艇在静水中的速度.分析：设小艇在静水中的速度为 x km/h.则小艇顺流速度为(x+3)km/h,小艇逆流速度为(x-3)km/h.解：设小艇在静水中的速度为 x km/h，
根据题意，得
整理，得 x2-8x-9=0
解方程，得 x1 = 9 , x2 = -1.
经检验，得 x1 = 9 , x2 = -1都是原方程的解，但x=-1不合题意.
答：小艇在静水中的速度为 9 km/h.5.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管注满水池少用10小时，两管同时开放，12小时可把水池注满.求单独开放一个水管，甲、乙各需要多少小时能把水池注满？解：设单独开放一个水管，甲需要x小时能把水池注满,则乙需要(x+10)小时能把水池注满.
根据题意，得
整理，得 x2-14x-120=0
解方程，得 x1 = 20 , x2 = -6.
经检验，得 x1 = 20 , x2 = -6都是原方程的解，但x=-6不合题意. x+10=30
答：单独开放一个水管，甲需要20小时，乙需要30小时能把水池注满.6.某市从1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月的水费是18元，而今年2月份的水费是36元.已知小明家今年2月份的用水量比去年12月份多6m3,求该市今年居民用水的价格.分析：设去年居民用水的价格是每立方米 x 元，则今年居民用水的价格是每立方米(1+25％) x 元,去年12月份用水 m3,今年2月份用水 m3.解：设去年居民用水的价格是每立方米 x 元，
根据题意，得
整理，得 5x2- 9x=0,
解方程，得 x1 = 1.8 , x2 = 0.
经检验，得 x = 1.8 是原方程的解，x=0不是原方程的解. (1+25%)x=2.25
答：该市今年居民用水的价格是每立方米2.25元.7.A、B两地间铁路长2400km,经过技术改造后，列车实现了提速，提速后比提速前速度增加20km/h,列车从A地到B地的行驶时间减少4h,已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140km/h,请你用学过的数学知识，说明这铁路在现有的条件下是否还可以再次提速？分析：设提速前的速度为 x km/h,则提速后的速度为(x+20)km/h,提速前从A地到B地的行驶时间是 h
提速后从A地到B地的行驶时间是 h解：设提速前的速度为 x km/h， 根据题意，得
整理，得 x2+20x-12000=0,
解方程，得 x1 = 100 , x2 = -120.
经检验，得 x1 = 100 , x2 = -120都是原方程的解，但x=-120不合题意. x+20=120?140
答：这铁路在现有的条件下还可以再次提速.8.甲、乙两家便利店从批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元.当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲、乙两店各进多少箱饮料？分析：若设甲店进x箱饮料，则乙店进(25 - x)箱饮料,甲店的销售价格每箱 元，乙店的销售价格每箱 元.解：设甲店进x箱饮料，根据题意，得
整理，得 x2-260x+2500=0
解方程，得 x1 = 10 , x2 = 250.
经检验，得 x1 = 10 , x2 = 250都是原方程的解，但x=250不合题意. 25-x=15
答：甲店进10箱饮料，乙店进15箱饮料.谢谢合作
