课件15张PPT。 勾股定理 受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的
顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
（1）观察图1-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
个单位面积。 正方形B的面积是
个单位面积。正方形C的面积是
个单位面积。1616925你是怎样得到正方形c 的面积。（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1-2中呢？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理（gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.千古第一定理数与形的第一定理导致第一次数学危机数学由计算转变为证明是第一个不定方程毕
达
哥
拉
斯
定
理勾股（商高）定理美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 有趣的总统证法1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离40应用知识回归生活想一想 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。1这节课你学到了什么知识？小 结：3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？2 运用“勾股定理”应注意什么问题？课件28张PPT。18.1 勾股定理 ——数形结合之美2014年4月1日如图，受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离树的底部12米处，这棵树折断前有多高？ 5米12米？ 如图是一个行距、列距都是1的方格网，观察图中用彩色画出的三个正方形，谁能告诉我这三个正方形的面积S1、S2、S3之间有怎样的关系？用它们的边长表示，能得到怎样的式子？
结论：
在等腰直角三角形ABC中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方。观察与思考：abc（图中每个小方格代表一个单位面积）S1+S2=S3即：a2+b2=c2（图中每个小方格代表一个单位面积）图18-2S1+S2=S3，即：a2+b2=c2图18-3ABCabcACBS2S1S3观察左边图18-2、图18-3完成下表：991891625 观察上表，你还能得到刚才的结论吗？S1+S2=S3S1+S2=S3S1=a2S2=b2S3=c2S1+S2=S3其中，关系：总结规律： 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 文字表述：做一做： 请同学们按要求来做。同桌之间用事先准备好的四个全等的直角三角形与三个正方形拼成两个不同的大正方形： 观察图1中拼成的两个大正方形，你有什么发现？可以得到什么结论？ 即：通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？ = 对于上述结论，要使人信服，必须加以证明。如何证明上述结论呢？问题情境已知： 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a，AC=b.求证：证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成边长为（a+b）的正方形。 aaaabbbbcccc用面积法证明用面积法证明从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.因为∠B1A1E+∠A1B1E=90°,而∠A1B1E=∠D1A1H，因此∠B1A1E+∠D1A1H=90°, ∠D1A1B1=90°.同理：∠A1B1C1=∠B1C1D1
=∠C1D1A1=90°，所以四边形A1B1C1D1是边长为c的正方形。用面积法证明∴a2+b2+2ab ＝c2+2ab∴a2 +b2 =c2a2+b2+2abc2+2abS正方形EFGH=4S直角三角形+ S正方形A1B1C1D1∵S正方形EFGH=(a+b)2=a2+b2+2ab
除了上述拼图方法可以证明勾股定理外，还有其它拼图方法吗？ 继续探究伽菲尔德总统证法：毕达哥拉斯定理： 毕达哥拉斯 在国外，尤其在西方这个重要定理被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．
相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现这个定理后异常高兴，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此又叫做“百牛定理”． 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572～前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比周朝数学家商高晚出生五百多年． 勾 股 知 识 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，所以在我国人们就把这个定理叫作 “商高定理”。 商高定理就是勾股定理哦！勾股 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此，我们称上述结论为勾股定理。 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么： 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。师生归纳： 勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cba公式变形c2=a2 + b2a2=c2－b2b2 =c2-a2勾股定理的作用： （1）、知道两条直角边可以求出斜边，应用公式； （2）、知道斜边和一条直角边，可以求另一条直角边，应用公式。归纳总结： 勾股定理的作用就是知道直角三角形中任意两边就可以求出第三边。 例1 现在一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图18-3（1）。已知最多只能伸长10m，消防车高3m.救人是云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？（精确到0.1m）例题讲解DBE图１８－３（２）CA分析：如图18-3（2），设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O。则OB=9-3=6（m），OD=12-3=9（m）.O
请根据上述分析写出解题过程。
根据勾股定理，得
解方程，得
设AC=X，则OC=8-x，于是根据勾股定理，得例2 已知：如图18-4，在Rt△ABC中，两直角边AC=5，BC=12。求斜边上的高CD的长。解：在Rt△ABC中，又∵在Rt△ABC中，DACBB应用定理：比一比看看谁算得快！1.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125x做一做=15=12=132、如图，受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离树的底部12米处，这棵树折断前有多高？(X－5)米解： 设这棵树折断前有x米，如图，根据勾股定理得：即：解这个方程，得： 答：这棵树折断前有18米。 3、如下图，楼梯的高度为2m，楼梯坡面的长度为4m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到0.1米）。分析： 地毯的长度=楼梯水平长度+楼梯垂直长度=（x+2）米。解：设楼梯水平长度为x米，根据勾股定理，得：解得：从而，地毯的长度为：4、小明的妈妈买了一部29英寸（约74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？思考题荧屏对角线大约为74厘米∴售货员没搞错∵1这节课你学到了什么知识？小 结：3、你还有什么疑惑或者没有弄懂的地方？课后与同伴相互交流。2 运用“勾股定理”应注意什么问题？作业： 课堂作业：P57 习题18.1 第2、3、4三题。 思考题：若一个直角三角形的三边长分别为3，4， x，则x＝ . 课件12张PPT。勾股定理的逆定理（第一课时）1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三角形? 古埃及人把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）。探索新知用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形。
试一试: 这个 三角形的三边有什么数量关系呢？你能猜想出其中的数学道理吗？345用圆规、直尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，如图，量一量∠C，它是90°吗？∠C是直角吗？再画一个△ABC，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形有什么特征？
为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？做一做:猜想:三角形的三边长a、b、c满足：a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。已知：△ABC中，AB=c BC=a CA=b
且a2+b2=c2求证：△ ABC是直角三角形证明： 作△A'B'C'，使∠C'=90°，
A'C'=b，B'C'=a，如图（2），
那么A'B'2=a2+b2.（勾股定理）
又∵ a2+b2=c2，（已知）
∴ A'B'2=c2，A'B'=c (A'B'＞0)
在ABC和A'B'C'中，
∵ BC=a=B'C'，
CA=b=C'A'，
AB=c=A'B'，
∴ △ABC≌△A'B'C'(SSS) ∴ ∠C=∠C'=90°，
∴ △ABC是直角三角形.已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且 a2+b2=c2，如图（1）. 求证：∠C=90°.勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.下面来看定理的应用.
例1 根据下列三角形的三边a、b、c的值，判断三角形是不是直角三角形。如果是，指出哪条边所对的角是直角？
（1）a=7，b=24，c=25；
（2）a=7，b=8，c=11.
解：（1）∵ 最大边是c=25，c2=625，a2+b2=72+242=625，∴ a2+b2=c2，∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.第（2）题由同学们仿照上面自己解答.分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;(2) a=13 b=14 c=15 ____ ___ ;(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;是是不是 是∠ A=900∠ B=900∠ C=900(3) a=1 b=2 c= ____ ___; 像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.……请谈谈你的收获自主评价：1、勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理有什么用？勾股定理的逆命题勾股定理互逆命题课件15张PPT。勾股定理的逆定理（第二课时）1、判断下列三个边长组成的三角形是不是直角 三角形？
（1） a=2，b=3，c=4.
（2） a=9，b=7，c=12.
（3） a=25，b=20，c=15.
复习：(不是）（是）（是）勾股定理的逆命题勾股定理互逆命题 2、分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代n为满足条件的特殊值来试，n=4.则a=15,b=8,c=17,c最大。∴ △ABC是直角三角形△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则这个三角形是直角三角形吗？
ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3ABCabcS1S2S3c
已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
S四边形ABCD=36BA、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等边三角形1.……请谈谈你的收获练习
1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？
（1）a=2，b=3，c=4.
（2）a=9，b=7，c=12.
（3）a=25，b=20，c=15.
2.在△ABC中，三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b2，则△ABC是什么三角形？
3.给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断课桌面的角是直角？用这种办法能判断柱子是否与地面垂直吗？４、古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m
表示大于１的整数，a=2m，b=m2-1,c=m2+1,
那么a、b、c为勾股数，你认为对吗？5、选择题： 练 习 在已知下列三组长度的线段中，不能构
成直角三角形的是 ( )
(A)5、12、13 (B)2、3、
(C)4、7、5 (D)1、 、 C 练 习 5、选择题：（ ） (A)三个角的度数之比为1 : 3 : 4的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为1 : : 2的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为1 : : 2的三角形是直角三角形(D)三边长度之比为 : : 2的三角形是直角三角形 B 如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足
a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
判定△ABC的形状. 6、解答题： 练 习 这个三角形是直角三角形． 7、解答题： 已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2
(m、n为正整数，m＞n).
试判定由a、b、c组成的三角形是不是直
角三角形． 不是练 习
