课件24张PPT。19.1 多边形内角和 在2008年的北京奥运会上有很多设计美丽的多边形花坛,猜想:是否存在一个内角和为2008°的多边形花坛?
1、知识与技能 掌握多边形内角和定理，
进一步了 解转化的数学思想。
2、过程与方法 经历质疑、猜想、归纳等活动发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．
3、情感态度与价值观 让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的 存在，体验数学充满着探索和创新．一、学习目标 多边形内角和定理的
探索和应用.
多边形定义的理解；
多边形内角和公式的推导；转化的数
学思维方法的渗透．二、学习重点 三、学习难点 生活中的平面图形边内角顶点定义: 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。对角线DBAEC注: 这里所说的多边形都是指凸多边形.连接不相邻两个顶点的线段叫对角线.
如图:
五边形ABCDE中对角线共有多少条？多边形的有关概念.上图广场中心的边缘是一个五边形，
我们将共同来探求它的五个内角的和.
12345探索五边形的内角和你有几种方法?请和同伴一起交流.老师希望你有更多的方法和同学们一起分享合作与探究 A BCDE我们知道，三角形的内角和是 度,四边形的内角和是 度，那这个五边形的内角和呢？小明利用右图求出了五边形的内角和，你知道他是怎么做的吗？180360你能动手做一做吗180°×3= 540°想一想E
ABCD.O小亮是利用下图求出五边形的内角和的，你知道他又是怎么做的吗？你想到了吗180°×5 - 360° = 540°想一想ABCDEF180°×4 -180° =540°想一想这个也不错哦 通过以上的学习，让我知道了解决问题方法的多样化，了解到数学中一种重要的解题思想叫做转化的思想．如求五边形的内角和可以通过分割转化为三角形问题来解决,对于其它的多边形也可以采用同样的方法。我知道 n边形从一个顶点出发的 对角线把 n边形分成 个三角形, 条对角线.n - 2n - 3 为了求得n边形的内角和，请根据下图所示，完成表格。??????1 2 3 4n－2180°540° (n－2)×180°你找到规律了吗？ 360°720°我终于得到了本节课的结论啦 三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形。 如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形。如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 。正三角形正四边形正五边形正六边形正八边形(或正三边形)(或正四边形)（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相吗？（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相吗？（3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？（不一定,如菱形的边都相等,但内角不一定相等）（不一定,如矩形的内角都相等,但边未必都相等）60?90?120?108?135?议一议正n边形的一个内角= 我发现1.知道多边形的边数,可以说出多边形的度数.2.知道多边形的度数,可以
说出多边形的边数.我能说例１、已知一个多边形，它的内角和 等于720°， 求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n，因为它的内角和等于 (n-2)?180°，
所以， (n-2)?180°= 720o。
解得: n=6
?这个多边形的边数为6。考考你，能行吗？
1、___ 边形内角和是四边形内角和的2倍。
2、一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数 是 .
3、已知多边形内角和等于1080o，求它的边数。
4、已知多边形每个内角都等于150°，求它的
边数及内角和.
５、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个
多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它
的内角和是多少？１.多边形的定义和正多边形的定义。
２.多边形的内角和定理．
３.知道了多边形内角和的多种求解方法．
４.能利用多边形的内角和定理进行相关的 计算．
5、在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方法，并且运用了类比、转化等数学思想。
今天你有什么收获？课后思考1、在2008年的北京奥运会上有很多设计美丽的多边形花坛,猜想:是否存在一个内角和为2008°的多边形花坛?
2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（ ）
A、不变 B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定 四边形ABCD的内角 ∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 1∶2∶3∶4，
求各个角的大小。
ACDB课后作业课件22张PPT。第一课时19.1 多边形内角和19.1 多边形内角和课前复习与思考： 前面我们学习了三角形的一些知识，谁能说一说什么叫三角形？它的内角和是多少度？多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。边： 组成多边形的线段叫做多边形的边顶点：相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角外角：在顶点处，一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭的图形叫做多边形。边： 组成多边形的线段叫做多边形的边顶点：内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角外角：在顶点处，一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。多边形的命名与表示：
多边形一般按边数来命名 ，有几条边就叫做几边形,并用它的各个顶点的大写字母顺次排列来表示。如图①就叫做四边形ABCD.图②就叫做五边形ABCDE.n边形有n条边、 n个顶点、 n个内角. 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图①)
图②就不是凸多边形复习与思考：1. 三角形的内角和是_____2. 正方形的内角和是_____180°360°多边形内角和与边数的关系四边形的内角和五边形的内角和n边形的内角和（4－2）× 180° （5－2）×180° (n－2) ? 180° 2× 180°3×180°多边形内角和练一练：1、十二边形的内角和等于________.2、一个多边形的内角和等于1440°，
那么它是______边形。1800°十 3、填空(求边数)
①已知一个多边形的内角和为1080°，
则它的边数为＿＿.
②已知一个多边形的每一个内角都是
156°，则它的边数为＿＿____.八十五练一练： 5、小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008°的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？多边形外角和与边数的关系多边形外角和等于360° 例2：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 例1：一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？ 在多边形中，如果各条边都相等、各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形.
如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.
一 个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都 相等. 1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ 1. 正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
正n边形的内角分别是多少度？
正n边形的内角分别是多少度？
2. 一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？
1.若一个多边形 有14条对角线，则这个多边形的边数是（ ）
A. 10 B. 7 C. 14 D. 6
2.下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和（ ）
A. 240° B. 600° C. 540° D. 2180°
3.六边形的外角和是（ ）
A.1080° B.720° C.540° D.360°
4.内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形BCDB5.一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的内角和为（ ）
A.360° B.1440° C.1080° D.720°
6.一个多边形的内角和比他的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.过一个多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和是（ ）
A. 1620° B. 1800° C. 1980° D. 2160°CCB8.多边形的边数由3增加到n（ n >3）,其外角度数之和是（ ）
A. 增加 B. 保持不变
C. 减小 D. 变成（n－3）?180°
9.当多边形每增加一条边时，它的（ ）
A. 外角和与内角和都增加180°
B. 外角和与内角和都增大180°
C. 外角和增大180°，内角和不变
D. 外角和不变，内角和增大180°BD 10.若一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的内角和等于_______度。
11.一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，则个多边形是_____边形。
12. 如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，半径为R作四个互不相交的圆，则图中阴影部分的面积之和是_______。1800°十八πR2 13.内角和与外角和相等的多边形是___边形。
14.若一个内角和与外角和的比试4：1,它的边数是____，顶点个数是______，对角线的条数是____.
15.若一个四边形的四个内角度数之比为1：3：4：2，则这 四个内角的度数分别是_________。四十103536°、108°、144°、72° 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求的内角和为2750°，当发现错了之后，重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角的度数是多少？求这个多边形的边数？1、什么是多边形？ 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。2、n边形的内角和是多少？ n边形的内角和等于(n－2)?180° .它揭示了多边形的内角和与边数之间的关系. 理一理小 结3、多边形外角和等于360°课件42张PPT。 由平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做三 角 形三角形的定义:边数若多于三条,那么将是什么图形?怎样定义？……多边形: 类比推理，得出概念:四四边五五边若干多边顶点内角边对角线
(连接不相邻两个顶点的线段)外角 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同旁，这样的多边形 叫做凸多边形。图 2比
一
比我们所研究的多边形都指凸多边形
看一看四边形五边形六边形八边形……ABDCBADCFEDCBAEAHGFEDCB记作：四边形ABCD记作：五边形ABCDE记作：六边形ABCDEF记作：八边形ABCDEFGHwww.yousee123.com想一想：观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？ 在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形⑴我们知道三角形内角和是多少？ 正三角形90°+45° +45° =180° 与形状有关吗？ 动手操作，探索新知:（2）长方形、正方形的内角和是多少？ 4×90°=360° 能猜想任意凸四边形内角和吗？ ABCD你有没有什么方法证明你的猜想？任意凸四边形内角和①过一个顶点画对角线1条，得到2个三角形，内角和为2×180°=3600任意凸四边形内角和②画2条对角线，在四边形内部交于一点，得到4个三角形，内角和为4×180°-360° 任意凸四边形内角和③若在四边形内部任取一点，如图，也可以得到相应的结论 任意凸四边形内角和④这个点还可以取在边上（若此点与顶点重合，转化为第一种情况——连接对角线）
内角和为3×180°-180°对比以上方法，你认为哪一种更容易操作？ A BCDE想一想这个五边形的内角和呢？1800 × 3 = 5400你能动手做一做吗?www.yousee123.com 你能仿照五边形分割成三角形的方法，选出你认为最简单的一种分割六边形并求其内角和吗? ．1800 × 4 = 7200按照第一种分割的做法来看：归纳总结22×180033×180044×1800n-2(n-2)×1800123n-3www.yousee123.com定理：n边形的内角和等于
（n一2）?180°
(n为不小于3的整数)例1：一个多边形的内角和是1800度，求这个多
边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n－ 2) × 180°= 1800°(n－ 2) = 10n = 12答:这个多边形的边数为12.练一练1、十二边形的内角和等于_________________________。2、一个多边形的内角和等于1080°，那么它是______边形。(12 - 2) ? 180°=1800° 3、小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008?的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？
八练习：如图，求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG + ∠G 的度数. 解：∵ ∠ABC+∠C+∠D+∠2 = 360°且∠E+∠EFG +∠1+∠3 = 360°∠1 = ∠A + ∠G∠2 + ∠3 = 180°∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G = 360° + 360° －180°= 540°想一想：一个同学在进行多边形内角和计算
时，求得的内角和为1125度，当发
现错了之后，重新检查，发现少加
了一个内角.请你通过计算回答这
个多边形是几边形？ 我们知道，三角形具有稳定性。但是四边形就不具有稳定性（即边长确定后，但图形形状不能确定）如图。在日常生活中四边形的不稳定性也有广泛的应用，例如活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以它可以拉开。也可以收拢。你能举出应用四边形的不稳定性的其他应用吗？问题 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并思考如下几个问题:(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
ABCDE12345(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？你是怎样得到的？探索 （1）什么是三角形的外角？外角有什么性质？ （2）类似地，在多边形中找出外角多边形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做多边形的外角。 www.yousee123.com 多边形外角与相邻内角之间有什么关系？各内角与相邻外角互为邻补角
www.yousee123.com 例 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
www.yousee123.com n边形外角和是多少度?
探 究 发 现 外角和=n个平角-内角和
结论：n边形的外角和等于360°=n×180°-(n-2) × 180°=360 °例2：一个多边形的内角和等
于它的外角和的3倍，它
是几边形？解：设它是n边形，则
(n-2).180=3×360
解得：n=8
答：它是8边形
（1）一个多边形的每一个外角都是600，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度?
(2)有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的3倍？ （3）一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大900，求这个多边形的边数和每个内角的度数。 强化训练 三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且x>y>0,则该三角形有一个内角为 （ ）
A、30O B、45O C、60O D、90O
2.一个正多边形每一个内角都是120o，这个多边形是（ ） A、正四边形 B、正五边形
C、正六边形 D、正七边形
CC ３．一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原多边形的边数为（ ）
A、13条 B、14条 C、15条 D、16条
下列说法中，错误的是（ ）
A、一个三角形中至少有一个角不大于60O； B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角； D、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；
AD5.小明绕五边形各边走一圈，他共转了_ __度。
6.下列正多边形（1）正三角形（2）正方形（3）正五边形（4）正六边形，其中用一种正多边形能镶嵌成平面图案的是 ；360（1）、（2）、（4） 7.如下图，AD是BC边上的高，BE是 △ ABD的角平分线，∠1=40°，∠2=30°，则∠C=_ __∠BED= 。65°60°8、两个多边形的边数比是1:2,两个多边形的内角和为1440度,求这两个多边形的边数,9、（1）如果一个多边形的内角和是14400，那么这是 ——边形。解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）· 1800 = 14400 (n - 2) = 8 n = 10∴这是十边形。十（2）若n边形的内角和是144n0，那么n= .10解：由多边形的内角和公式可得：(n - 2) · 1800 = 144n0n = 10（3）已知一个多边形的每一个内角都是156°，则它的边数为＿＿。
15解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）· 1800 = 156n0 n = 1510、在四边形ABCD中，∠A=1200，∠B：∠C：∠D = 3：4：5，求∠B，∠C，∠D的度数。解：设∠B，∠C，∠D的度数分别是3x, 4x , 5x 度，由四边形的内角和等于3600可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20∴ 3x = 60
4x = 80
5x = 100答：∠B，∠C，∠D分别为600，800, 1000。课堂小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？（2）你认为这节课中最大的收获是什么？ （3）你还有哪些疑惑或不足？知识：多边形的有关概念；多边形内角和公式；方法：类比，转化，归纳作业：试一试 练练你的“本领”有一把锋利的“小刀”，把你
的课桌（四边形）一个角削去，剩下的课桌是一个几边形？它的内角和是多少？创新思维①②③ABCDEFMN思考：如图，某小区居民小区搞绿化，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为1米的花坛，小区绿化组长想先求出花坛的面积，再根据面积买花苗。你能帮组长求花坛的面积吗？（结果保留 ）多边形的内角和日日行，不怕千万里；常常做，不怕千万事。课件19张PPT。平行四边形的性质（1）两组对边都不平行一组对边平行，
一组对边不平行有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？你能从以下图形中找出平行四边形吗？ 两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要特征。231451.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图：四边形ABCD是平行四边形，记作：□ABCD 读作：“平行四边形ABCD”.平行四边形相对的边称为 对边
相对的角称为 对角如图:线段AC、BD就是□ ABCD的对角线 如图，DC∥ EF ∥ AB，DA∥ GH∥ CB，图中的平行四边形有＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿讨 论9□AHOE □BHOF □DEOG □CFOG □ABEF □CDEF □AHGD □BHGC □ABCDABDC画一个平行四边形，观察它的边之间还有什么关系？平行四边形的对边平行.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB ∥ CD，BC ∥ AD.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，BC=AD.平行四边形的对边相等.探究 旋转平行四边形，探究对称性和角的关系平行四边形是中心对称图形.平行四边形的对角相等.∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D.平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角.除此以外，平行四边形中，边，角还有什么性质呢？已知：如图，四边形ABCD中，AB//DC,AD//BC.
求证：（1）AB=DC,AD=BC;
（2）∠DAB=∠DCB, ∠B=∠D.DCBA证明 连接AC.
（1）∵ AB//DC, AD//BC,
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC.
?ABC和?CDA中，
∠BCA=∠DAC,
AC=CA,
∠BAC=∠DCA.
∴?ABC≌?CDA.（ASA）
∴ AB=DC,AD=BC,
∠B=∠D.(2)∵∠BAC=∠DCA,
∠BCA=∠DAC.
∴∠DAC+∠BAC
=∠BCA+∠DCA
即∠DAB=∠DCB.性质2：平行四边形的对角相等.平行四边形的对边平行,相邻的内角互为补角.平行四边形是中心对称图形. 思考：平行四边形中相邻的两角有什么关系呢性质1：平行四边形的对边相等.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？A1A3A2例题解析例1 已知：如图，□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E. （1）如果AE=2，求CD的长;
（2）如果∠AEB=40°，求∠的度数.EDCBA解 （1）∵BE平分∠ABC,且AD//BC，
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB.
∴AB=AE=2.
又 ∵ CD=AB, ∴CD=2.
（2）由（1）知
∠AEB=∠ABE=40°，
∴∠A=180°-(40°+40°)=100°.
又 ∵ ∠C=∠A,
∴∠C=100°.┐┐l2l1FEDCBA如图，直线l1//直线l2,AB,CD是夹在直线l1,l2之间的两条平行线段.由平行四边形的性质1，可得如下结论：
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
由上述结论可知：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.因此，可以用点到直线的距离来定义两条平行线之间的距离.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.如下图，线段AE就是直线l1和直线l2之间的距离.
两条平行线之间的距离处处相等.如下图中，AE=CF.平行线之间的距离 1.□ ABCD中， ∠A=50°，则∠B=____ ∠C= ，
若AD+BC=30cm，□ ABCD的周长是96cm,
则AB= ,BC= _____ .
2. □ ABCD,若∠A:∠B=5:4，则∠C= ___,∠D= .
3. □ ABCD中， AB－ CB=4cm，周长为32cm 则AB= .
4. □ ABCD的周长为40cm，?ABC的周长为25cm，
则对角 线AC长为 （ ）
A、5cm B、15cm C、6cm D、 16cm50°130°15cm33cm80°100°10cmA平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；邻角互补.平行四边形是中心对称图形.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.祝同学们学习进步！课件11张PPT。平行四边形的性质（2）平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；邻角互补.平行四边形是中心对称图形.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 例1 已知：如图，□ ABCD中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.┌┐DFECBA解 过点A作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为点E、点F,
∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离,线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离.∵ 在Rt?ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4，∴∠B=∠BAE.
∴BE=AE.
又∵AE2+BE2=AB2,
∴2AE2=16.
∴AE=同理：AF=
所以直线AD和直线BC之间的距离为 ，直线AB和直线CD之间的距离为 .例题解析例2 已知：如图，过?ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得?A'B'C'.
求证：?ABC的顶点分别是?A'B'C'三边的中点.A'B'C'CBA证明：∵ AB//B'C', BC//AB',
∴四边形ABCB'是平行四边形，
∴ AB'=BC.
同理： AC'=BC.
∴ AB'=AC'.
同理： BC'=BA', CA'=CB'.所以?ABC的顶点分别是?A'B'C'三边的中点.如图，□ ABCD 的两条对角线 AC , BD 相交于点O ,图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？你能发现平行四边形的对角线有什么性质吗？DCBAO?AOD≌?COB ?DOC≌?BOA
?ABD≌?CDB ?ADC≌?CBA
AD=BC AB=CD OA=OC OB=OD证明：在□ ABCD中，
∵ AB//DC,
∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC.
又 AB=DC,
∴?OAB≌?OCD.（ASA）
∴ OB=OD, OA=OC.性质3 平行四边形对角线互相平分.探究例3 已知：如图，□ ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,
AB⊥AC,AB=3，AD=5，求BD的长.ODCBA解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=5.
∵ AB⊥AC,
∴ ?ABC是直角三角形.心动不如行动，成功者是我吗？1.在□ ABCD中，对角线AC、BD的交点EF经过点O,
AC=10cm,BD=8cm,若CD=x,则x的取值范围是
2.在□ ABCD中，AC=24cm,BD=38cm,AD=28cm,若对角线AC与BD的交点为点O，求?OBC的周长.
3.在□ ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，那么，这个四边形的邻边有什么关系，为什么？
4.如图，有一个形状是四边形的池
塘，在它的四个角上各有一棵树，
现准备把池塘的面积扩大一倍，
形状改成平行四边形，但不能移
动四棵树的位置，你有办法吗？ A'D C B A B' C' D'5.如图所示，□ ABCD的对角线AC、BD相交于O,EF经过点O与AD延长线交于E,与CB延长线交于F.问：OE与OF能相等吗？为什么？ O F E D C B A答：OE=OF.
∵□ ABCD的对角线AC、BD相交于O,
∴ OD=OB, AD//BC,
∴∠E=∠F,
在?ODE和?OBF中
∠E=∠F,
∠DOE=∠BOF,
OD=OB,
∴ ?ODE≌?OBF,
∴ OE=OF.6.如图，□ ABCD中，EF过对角线的交点O,AB=4，AD=3，OF=1.3，求四边形BCEF的周长. O F E D C B A解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，OD=OB,
CD=AB=4，AB//CD,
∴∠ODE=∠OBF,
在?ODE和?OBF中
∠ODE≌?OBF,
OD=OB,
∠DOE=∠BOF,
∴ ?ODE≌?OBF,
∴OE=OF=1.3，DE=BF,
四边形BCEF的周长为
BF+BC+CE+EF=DE+BC+CE+OE+OF=9.61、(2010·台州中考)如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )┌┌NaMCDBA2.（2009·桂林中考）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6, BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为 （ ）A、3 B、6 C、12 D、24 中考在线DCBA课件16张PPT。19.3.1 矩形（1）观察平行四边形的框架,回答下列问题:
(1) 为什么这个框架会任意”摇摆”?
(2) 随着内角的变化情况,平行四边形的边,角,周长, 面积等发生了什么变化?
(3) 当内角为直角时所成的四边形你认识吗?
想一想有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 （１）矩形的定义：（２）矩形的表示：矩形ABCD一个角是直角小学里学过的长方形、正方形都是矩形想一想：
你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形的？(1) 矩形是不是平行四边形?
(2) 平行四边形是不是矩形?
(3) 平行四边形的性质矩形具备吗?
(4) 矩形是否有与平行四边形不同 的性质?实质上：矩形是特殊的平行四边形。议一议矩形的性质的研究 我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形有哪些性质吗?E 。五、矩形 两条对角线互相平分三、矩形的两组对角分别相等二、矩形的两组对边分别相等一、矩形的两组对边分别平行四、矩形的邻角互补四个角都是直角。且对角线相等。ABCD 已知：四边形ABCD是矩形 求证：∠A= ∠B = ∠C=∠D=900 证明：∵ 四边形ABCD是矩形∴ AD∥BC∴ ∠A+ ∠B=1800又∵ ∠A＝900∴ ∠B ＝900又∵ ∠A = ∠C， ∠B = ∠D（矩形的对角相等）∴ ∠A= ∠B = ∠C=∠D=900矩形的四个角都是直角猜想1矩形的性质定理1已知：AC，BD是矩形ABCD的对角线
求证：AC=BD猜想2 矩形的对角线相等矩形的性质定理2矩形特殊的性质 矩形的四个角都是直角．矩形的两条对角线相等．从角上看：从对角线上看： (1)图中有几个等腰三角形？几对全等三角形?
(2)若已知AB=6, BC=8，求矩形的面积，周长， 对角线的长度。 （3）若已知BC=8， O到AD的距离为3，求矩形
的面积，周长，对角线的长度。根据矩形的上述性质，你能发现OA、
OB、OC、OD有什么关系？ OA=OB=OC=OD ;（4）已知矩形的周长是14,相邻两边的差是1,
那么这个矩形的面积是多少？试一试ABCO得到：直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.数学语言: ∵在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线
∴ BO= AC在Rt△ABC中, BO= AC探究新知例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形. ∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵ ∠AOB=60°∴ △AOB是等边三角形∴ OA=AB=4(㎝)∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)解：∵ 四边形ABCD是矩形1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）. A 对角线相等 B 对边相等 A C 对角相等 D 对角线互相平分选一选 2.矩形ABCD中，已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则OB=____ ㎝，若已知∠CAB=40°，
则 ∠OBA=____ ∠AOD=____540°80°40°填一填3.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线(1)若BD=3㎝ 则AC＝ ㎝
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，
BD＝ ㎝.6510
四个角都是直
角对边平行且相
等对角线互相平
分且相等感悟与收获1.矩形的定义。2.矩形的性质。3.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半课件21张PPT。有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的定义： 特殊的平行四边形 矩形一般性质：
具备平行四边形所有的性质对边平行
对边相等，
对角相等，
对角线互相平分探索新知:矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．矩形是轴对称图形.ABCD已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD证明：在矩形ABCD中∵∠ABC = ∠DCB = 90°又∵AB = DC ， BC = CB∴△ABC≌△DCB∴AC = BD矩形特殊的性质矩形特殊的性质矩形的四个角都是直角．矩形的两条对角线相等．从角上看：从对角线上看：矩形的特殊性质矩形的四个角都是直角数学语言∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=900矩形的特殊性质矩形的对角线相等数学语言∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BDOABCD公平,因为OA=OC=OB=OD生活链接---投圈游戏已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.
求证: BO = AC.
OD证明: 延长BO至D,使OD=BO,
连结AD、DC.∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=900∴AC=BD再探新知推论：
直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半． O例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？ 解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)O方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形. 如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角。想一想：上图中有几个直角三角形，它们全等吗？图中有个等腰三解形，有几对全等的等腰三角形？小试牛刀成长快乐训练营点击进入 矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( ） A.对角相等B.对边相等C.对角线相等 D.对角线互相平分C营中热身四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝_______ ㎝ OB=_______ ㎝
2.若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____ cm
矩形的面积＝_______ ㎝2
若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm
AB= _____cm51044828营中寻宝4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线(1)若BD=3㎝则AC＝ ㎝
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，
BD＝ ㎝.6510营中寻宝本课小结矩形的四个角都是直角.※ 矩形的性质定理1矩形的对角线相等.※ 矩形的性质定理2※ 推 论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.反思拓展：1、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使
AB=CD,EF=GH;
（2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是
＿＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。2、 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD
和△AOD四个三角形的周长和为86cm,
又∵AC=BD=13cm,∴ AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)=86－4×13=34(cm)即矩形ABCD的周长等于34cm。Ｏ课件18张PPT。 19.2.3 菱 形 两组对边
分别平行矩形情景创设我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行四边形——矩形 ；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形——菱形有一个角是直角菱形有一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；菱形的定义：AB=BCABCD四边形ABCD是菱形 他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形；也是中心对称图形；已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，证明：∵四边形ABCD是菱形在△ABD中，
又∵BO=DO∴AB=AD（菱形的四条边都相等）∴AC⊥BD，AC平分∠BAD同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC 命题：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；相等的线段：相等的角：等腰三角形有：直角三角形有：全等三角形有：已知四边形ABCD是菱形AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8△ABC △ DBC △ACD △ABDRt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOARt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACDABCDO12345678菱形的 两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等边对角线角菱形的性质菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。【菱形的面积公式】OES菱形=BC. AE思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半学以致用1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.3cm60度3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。4.菱形ABCD中两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积. 大显身手O 3、已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：⑴∠ABC的度数
⑵对角线AC的长
⑶菱形ABCD的面积4、如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA；5、已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，
求菱形的高。 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD； 大显身手6、在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）A.75°B.60°C.45°D.30°B1．定义：2．性质：矩形和菱形常利用图中的RT△进行计算和证明3．面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
小结成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。
——爱迪生 再见！ 如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。ABCDEF课件20张PPT。19.3.3 正方形平行四边形再认识定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形一个角是直角定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形邻边相等平行四边形再认识平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形） ⑵并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）两层含义正方形换句话：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形定义:正方形再认识有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角各平行四边形关系再认识平行四边形矩形菱形正方形对角线相等对角线垂直对角线相等对角线垂直对角线垂直且相等各平行四边形关系再认识正方形的性质边对角线对边平行四边相等对角线相等 互相垂直平分每条对角线平分一组对角四个角相等且都是直角角: 正方形性质所以：正方形不仅是平行四边形、矩形，还是菱形。正方形的性质正方形的判定定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.证明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.证明:∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.正方形的判定定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.证明:∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.正方形的判定(2)若AC=4，则正方形边长 ; 正方形的面积是四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
8解：
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD ∠AOB=900
∠BAC=∠DAC
∴∠OAB=450 4㎝(3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一边的距离四边形再认识猜一猜 AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FBABCDEF┌证明： ∵ 四边形ABCD是正方形
∴∠B=900 ∠ACB=450
∵∠AEF=900 AB=AE
∴△ABF≌△AFE（HL）
∴BF=EF
又∵∠FEC=900
∴∠EFC=450
∴EC=EF（等角对等边）
∴BF=EF=EC构建与证明OBA如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD
求证：四边形ABCD是正方形。轴对称 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
思维拓展如何设计花坛？数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多 （ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个第n个图中正方形有 个3n-1长见识学习了本节课你有哪些收获？课件40张PPT。 19.4 综合与实践
多边形的镶嵌好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.请你欣赏请你欣赏请你欣赏 课题学习 镶嵌用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这叫做平面镶嵌。镶嵌也叫密铺。注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠定义：仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面区域？探究 （一）正三角形的平面镶嵌60°60°60°60°60°60°6个正三角形可以镶嵌用边长相同的正方形能否镶嵌？用边长相等的正方形可以镶嵌正方形的平面镶嵌90°4个正方形可以镶嵌正六边形的平面镶嵌120 °120 °120 °3个正六边形可以镶嵌123∠1+∠2+∠3=?用边长相同的正五边形能否镶嵌？思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？结论要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360°．能能能正三角形正方形正五边形正六边形643不能能否平
面镶嵌90°一个内
角度数108°60°120° 还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？ 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌． 想一想正多边形可以镶嵌的条件：每个内角都能被360o 整除。 用两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域?探究（二）3个正三角形+2个正方形2个正三角形+2个正六边形4个正三角形+1个正六边形1个正方形+2个正八边形2个正五边形+1个正十边形1个正三角形+2个正十二边形收获当拼接点处的所有角之和是360o时，就能拼成一个平面图形。2、用正三角形和正六边形作平面镶嵌，
在一个顶点周围，正三角形与正六边形
各需要多少个？分析：作平面镶嵌则需满足在一个顶点处各内角和等于360°解：设在一个顶点处有m个正三角形的角，
有n个正六边形的角，则:
60m+120n=360即：m+2n=6所以：当m=2时，n=2；当m=4时，n=1。答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边形1个。探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的
多边形能进行平面镶嵌吗？结论：
形状、大小完全相同的任意
三角形能镶嵌成平面图形。 通过探究我发现：1.任意形状、大小相同的三角形都____镶嵌,
2.在每个拼接点处有___个角，而这___个角的和恰好是这个三角形的内角和的___倍，也就是它们的和为____.
可以六六两360o结论：
形状、大小相同的任意四边形
能镶嵌成平面图形。通过探究我发现：1.任意形状大小相同的四边形___镶嵌.
2.在每个拼接点处有___个角，而这___个角的和恰好是这个四边形的四个内角之___,也就是它们的和为____.
可以四四和360o想一想上面我们讨论的一般三角形和四边形都可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是180°，四边形内角和是360°它们的内角和是整数倍都是360°，那么其它的一般多边形能进行镶嵌吗？例如：在五边形中，内角和540°，已经超过360°，即每一个内角拼接在一起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的含义。当边数越大时，内角和也越大，更不符合要求，因此边数大于4的一般多边形不可以平面镶嵌。小结： 要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有角之和等于360°。结论1：
可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有
正三角形，正四边形，正六边形.结论2:
用一种形状、大小完全相同的三角形、四边形也能进行平面镶嵌课件44张PPT。
19.4综合与实践：多边形的镶嵌 这些图形拼成一个平面图案的共同特征是什么？ 平面镶嵌:用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌。拼一拼 选一选 小明家装修地板,在正三角形,正方形,正五边形,正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以供他选择?64334能镶嵌能镶嵌不能镶嵌
有空隙能镶嵌108°×3<360°不能镶嵌
有重叠实 验 结 果正n边形拼图每个内角度数多边形个数结果 n = 3 n = 4 n =5 n = 6规律:当正多边形的一个内角度数的整数倍是360 ° 时，
这种正多边形就能镶嵌. 思考:仅限于同一种正多边形镶嵌,还能找到能镶嵌的其他正多边形吗? 假设正多边形的边数为n,由K个正多边形恰好
可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的K个正多边形的K个内角和应等于
而正n边形的每个内角的度数为 ,
所以,可得方程
整理,得 K(n-2)=2n,
所以
因为K,n为正整数,故n只能等于3、4、6.360°, 这说明只用一种正多边形镶嵌,正多边形只有三种选择:正三角形,正方形和正六边形. 问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么任意四边形能不能呢？ 任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌,但若想实现连续铺设，还应将相等的边重合在一起。结论想一想 如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌,
你又会选择哪两种呢?解：设每个顶点周围有x个正三角形
和y个正四边形,
则: 60 °x+90 °y=360 °
即: 2x+3y=12
又x、y是正整数,
解得:x=3,y=2.
即每个顶点处用正三角形的三个
内角,正方形的两个内角进行拼接.正三角形和正方形的平面镶嵌正多边形拼 图正三角形和
正六边形m×60°+ n×120°=360°2×60°+ 2×120°=360°4×60°+ 1×120°=360°解：设每个顶点周围有m个正三角形和n个正六边形, 60 °m+120 °n=360 °, 即:m+2n=6，又m、n是正整数,解得: 即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用两个正三角形和两个正六边形.
更多的两种正多边形的镶嵌正十二边形与正三角形的平面镶嵌正八边形与正方形的平面镶嵌正十边形与正五边形的平面镶嵌
两种正多边形拼接在同一点
的各个角的和恰好等于360°,这
两种正多边形就能镶嵌.结论 你能用三种边长相等的正多边形设计
一个图案吗？试试吧!三种正多边形的平面镶嵌正三角形与正方形、正六边形的平面镶嵌正十二边形与正方形、正六边形的平面镶嵌 如果用三种不同的等边长正多边形镶嵌，要求：在每个顶点处，每种正多边形只能有一个。那么边数满足什么条件？解：设正多边形的边数分别为m 、 n 、 t如果用三种不同的正多边形镶嵌，并且每一顶点处一种多边形
只有一个，那么三种正多边形的边数应满足什么条件？1、平面镶嵌的定义.
2、正多边形平面镶嵌的条件.
3、关注身边的数学,关注数学中的美.小结镶嵌图片欣赏：镶嵌图片欣赏：镶嵌图片欣赏：镶嵌图片欣赏：镶嵌之父 M.C.埃舍尔是荷兰的现代版画艺术家、“图形艺术家”，他是一个将艺术与数学融合的画家，着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称他为“镶嵌之父”。 。埃舍尔的作品欣 赏生活中，墙面上贴的瓷砖一般都是长方形的，用长方形
（矩形）进行镶嵌设计，怎样设计图案最漂亮？错位镶嵌 资料：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。资料1：石子路镶嵌图案最多的园林
在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的园林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。资料2：镶嵌画历史悠久，最早见于公元前4000余年的美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌画以其色彩的真实性和永久性，制作的多样性以及题材的广泛性而得以在世界上绵延流传。公元1～4世纪，镶嵌画得到很大的发展，色彩技巧日臻完善，当时罗马人对它十分推崇。在美术史上，罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌画无论在数量上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城出土的《伊苏之战》、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲亚教堂中的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时期的艺术珍品，在历史上产生过深远的影响。随着罗马人的足迹，镶嵌画传入其他地方，各国艺术家都以各自的民族风格，发展了这一艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日益占有重要地位。墨西哥、苏联和民主德国等国家的镶嵌画以其规模的宏大和新颖的技艺而著称。资料3：镶嵌画材料来源十分丰富，有天然彩石、卵石、贝壳、螺钿、宝石、玉石和人造的玻璃料器、陶瓷、有机玻璃、金属和木料等。镶嵌方法有直接镶嵌法、预制法、反贴反上法、正贴正上法。除平面镶嵌外，也可以在浮雕上进行镶嵌，后者更能增强壁画的力度。
中国的镶嵌艺术具有悠久的历史和独特的风格。这些镶嵌艺术大多出现在工艺品上，如殷商时代的铜器曾有错金和错金嵌玉的装饰纹样出现。镶嵌画虽较少，仍可以从帝王御花园的甬道和民间的建筑中发现用卵石镶嵌地面和墙面的镶嵌装饰画面。当代中国艺术家也开始重视运用这种艺术形式，在一些重要建筑物的室内外创作了一些镶嵌画。课件35张PPT。沪科版综合与实践-多边形的镶嵌 好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有. 我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案。铺地板的学问
平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌.看一看砖与砖严丝合缝,不留空隙,把地面全部覆盖不重叠 探究1：仅用一种正多边形镶嵌，哪些正多边形能单独镶嵌成一个平面图案？正方形正三角形正六边形做一做：啊!拼不了啦,为什么呢?你能说说道理吗?123∠1+∠2+∠3=?用边长相同的正五边形能否镶嵌？探究2：用边长相等的两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形能镶嵌成一个平面图案？60°×3+90°×2=360°60°×4 + 120°=360°60°×2+120°×2=360°正方形和正六边形不能镶嵌讨 论正三角形和正方形能镶嵌正方形和正六边形能镶嵌想一想正方形和正八边形能否镶嵌?正三角形和正十二边形能否镶嵌?你能说出其中的道理吗？135°135°90°150°150°60°正八边形和正方形正十二边形和正三角形探究3：
用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗？四边形呢？
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
任意三角形能镶嵌成平面图案。因为∠1+∠2+∠3+∠4=360°所以任意四边形能镶嵌成平面图案。
多边形镶嵌的条件:
拼接在同一个顶点处的各个多边形的内角之和等于360°谈一谈：
通过本课的学习有哪些收获
和体会？计算机绘制的镶嵌图片欣赏：计算机绘制的镶嵌图片欣赏：计算机绘制的镶嵌图片欣赏：计算机绘制的镶嵌图片欣赏：镶嵌图片欣赏：镶嵌图片欣赏：计算机绘制的镶嵌图片欣赏：问题情景我们学校正在兴建的食堂地上
想用两种或两种以上的正多边
形的地砖来镶嵌，现正向大家
征集方案,小组合作设计几个吧？设计一下希望同学们:
关注身边的数学
关注数学中的美
