重庆市长寿区八校2023-2024学年高二下学期7月检测（B）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·长寿期末）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由可得，则，即曲线在点处的切线的斜率为.
故曲线在点处的切线的倾斜角为.
故答案为：D
【分析】本题考查曲线的切线方程。先求出曲线的导函数，再根据导数的几何意义可求出切线的斜率，再利用直线倾斜角与斜率的关系：，可求出倾斜角.
2．（2024高二下·长寿期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：根据式子结构，构造函数，
则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，
因为，所以.
故选：D
【分析】本题考查利用函数的单调性比较大小.根据式子结构，构造函数，求出导函数，根据导函数的正负，可判断函数的单调性，根据单调性可比较出a，b，c的大小.
3．（2024高二下·长寿期末）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（ ）
A．48 B．96 C．60 D．120
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，
则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为，
所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为．
故答案为：A.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.根据特殊位置优先f法，再结合题意可得：万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，应用排列组合的知识可列出式子，再进行计算可求出答案.
4．（2024高二下·长寿期末）已知数列的前项和满足：，且，则被8整除的余数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
【答案】C
【知识点】二项式定理；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列的前n项和满足，
当时，，
两式相减可得，整理得，即，
则数列是首项为1的常数列，即，则，
所以，能被56整除一定能被8整除，
，
被8整除的余数即末项被8整除的余数，，
则被8整除的余数为7.
故答案为：C.
【分析】先根据数列中与的关系求，再结合二项式定理求解即可.
5．（2024高二下·长寿期末）设随机变量的概率分布列为
1 2 3 4
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解答：
，
故答案为：B
【分析】本题考查概率分布列.根概率分布列的性质：每个随机变量的概率相加等于1，据此可求出，解方程可求出，再结合概率分布列可求出答案.
6．（2024高二下·长寿期末）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，
，丙正确，
而，丁错误．
故答案为：D．
【分析】利用随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，再利用概率的应用和命题真假性判断方法，进而找出假命题的选项。
7．（2024高二下·长寿期末）在对一组成对样本数据进行分析时，从已知数据了解到预报变量随着解释变量的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】当时，函数为增函数，、、均为减函数，
且当，，，，
故答案为：D.
【分析】本题考查函数的单调性.根据一次函数的单调性：一次函数，k>0时为增函数，k<0时为减函数，再结合指数函数的单调性和幂函数的单调性，对数函数的单调性，结合题意可选出答案.
8．（2024高二下·长寿期末）设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.若该中学女生的平均身高为，则该中学女生的平均体重的估计值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】将代入回归直线方程得，
因此，该中学女生的平均体重的估计值是.
故答案为：A.
【分析】本题考查线性回归方程.根据线性回归方程一定要过样本中心点，据此可将代入回归直线方程，通过计算可求出该中学女生的平均体重的估计值.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．（2024高二下·长寿期末）设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ）
A．与正相关的充要条件是
B．直线过点
C．与之间的相关系数为
D．当增大一个单位时，增大个单位
【答案】A,B,D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】A.依题意与正相关的充要条件是，A正确；
B.根据回归直线的性质可知直线必过点，B正确；
C.因为与之间的相关系数，
而，C错误；
D.因为，所以当增大一个单位时，增大个单位，D正确.
故答案为：ABD
【分析】本题考查线性回归方程.根据线性回归方程中，时，正相关；时，负相关；，进而可判断A选项；根据线性回归方程一定要过样本中心点，据此可判断B选项；根据线性相关系数的概念可判断C选项；根据线性回归方程中，时，增大一个单位时，增大个单位；时，增大一个单位时，减少个单位；，据此可判断D选项.
10．（2024高二下·长寿期末）已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则中的元素的个数为1
B．若，则中的元素的个数为15
C．若，则中的元素的个数为45
D．若，则中的元素的个数为78
【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合的关系；简单计数与排列组合
【解析】【解答】A，由题意得，所以中的元素的个数为，A错误；
B，由题意得中的元素均为正奇数，在中，
当时，有共5个元素，
当时，有共4个元素，
当时，有共3个元素，
当时，有共2个元素，
当时，有共1个元素，
所以中的元素的个数为，B正确；
C，，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲 乙 丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确；
D，，
可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.根据集合A，根据集合的定义通过列举法可求出集合，据此可判断A选项；根据题意可得中的元素均为正奇数，在中，分5种情况：当时；当时；当时；当时；当时；通过列举依次找出集合B的元素，进而可求出以中的元素的个数，判断B选项；根据题意分析可得：原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲 乙 丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可求出分配的方案数，判断C选项；根据题意分析可得：原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可求出分配的方案数，判断D选项；
11．（2024高二下·长寿期末）已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数，使得
B．
C．
D．为定值
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由方程， 可得，令，则有，即t2+(1-k)t-k+1=0，令函数，则，令g”(x) >0，解得0< 0，解得x > e，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，所以，作出图象如图所示：
要使天于x的万程有三个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，结合图象可得关于t的方程t2+(1-k)t-k+1=0一定有两个实根t1，t2，且t1≤0，02<1或t1 =1，0< t2<1，令g(t)=t2+(1-k)t-k+1，若t1≤0，02<1，
则，故.
若t1=1，0<1，则，无解，综上： k∈（1，），故C正确；
由图结合单调性可知x3>e，故B正确；
若f(1)-k=1-k=0，则k=1，又k∈（1，），故A不正确；
故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】化简方程，令，得t2+(1-k)t-k+1=0，构造，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，结合图象可得关于t的方程t2+(1-k)t-k+1=0一定有两个实根t1，t2 (t1 < 02<1)，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·长寿期末）已知函数，则 ，的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由已知得，所以，解得，
，
，，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以的极小值也是最小值为，
故答案为：；．
【分析】本题考查基本初等函数导函数公式，利用导函数研究最值.先求出导函数，再采用赋值法令，代入导函数计算公式，通过计算可求出，根据极限定义进行计算可求出极限；令和，解不等式可求出函数的单调区间，结合单调性可求出极值，进而可求出函数的最小值．
13．（2024高二下·长寿期末）某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为 ．
【答案】1200
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为总体密度函数为：，则，
由得，
所以超过100分 人数大约为：人，
故答案为：1200.
【分析】本题考查正态分布的对称性.根据总体密度函数可推出，利用正态分布的对称性可求出，进而可求出数学成绩超过100分的人数.
14．（2024高二下·长寿期末）某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为 千万元．
年号 1 2 3 4 5
年生产利润（单位：千万元） 0.7 0.8 1 1.1 1.4
【答案】
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】易知，，
易知；
代入计算可得；
可得，
即可得回归方程为，
将代入可得，
即第8年该国企的生产利润约为千万元.
故答案为：
【分析】本题考查线性回归方程.先根据数据表格可求出，，，，利用计算公式可求出，进而可求出，据此可得回归方程为，将代入线性回归方程可求出答案.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·长寿期末） 如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为．
（1）求满足第二横排、第二竖排的个数字之和均为的不同的数字填写方案种数；
（2）求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．
【答案】（1）解：要使第二横排和第二竖排的个数字之和均为，
则第二横排或第二竖排的其它个数字之和必然为，
则要从和，和，和，和这四个组合中选出两个组合填写，
首先选一个组合填到第二横排的两个空中，再选一个组合填到第二竖排的两个空中，最后将其余四个数全排列，
故有种填法.
（2）解：先从、、、这四个数字中选个数字分别排到左边和上边，有种；
再从、、、这四个数字中选个数字分别排到的右边和下边，有种；
最后将其余四个数字排到剩下的四个位置，有种；
按照分步乘法原理可得，一共有种填法.
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】本题主要考查排列组合的实际运用，考查考生运用所学数学知识分析问题解决实际问题的能力.
（1）根据题意第二横排或第二竖排的其他2个数字之和必然为10，将剩下的数字分成4个组合，然后按照分布计数原理进行求解即可；
（2）先排5的左边与上边，再排5的右边与下边，最后将剩下的数字全排列即可求解.
16．（2024高二下·长寿期末）已知二项式．
（1）若，，求二项式的值被7除的余数；
（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）因为，，
，
显然能被7整除，，
所以二项式的值被7除的余数为.
（2）因为的二项式系数之和为128，
，
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即.
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】本题考查二项式定理的展开式的通项，二项式系数.（1）将，代入二项式，通过化简可得：，再利用二项式定理展开式的通项进行展开，通过化简计算可求出二项式的值被7除的余数；
（2）根据二项式系数和为可列出方程，解方程可求出，再利用二项展开通项公式可求出的展开通项公式为，假设展开式中系数最大的项为第项，根据系数最大的项可列出不等式组，解不等式组可求出展开式中系数最大的项为第几项，进而求出展开式中系数最大的项.
（1）因为，，
，
显然能被7整除，，
所以二项式的值被7除的余数为.
（2）因为的二项式系数之和为128，
，
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即.
17．（2024高二下·长寿期末） 已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
【答案】（1）解： 当时，，其定义域为，
，
由，得．由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解： 因为， ，
当时，，
若在上没有极值点，则在上单调，
即在上恒成立，或在上恒成立．
若在上恒成立，则，解得，
若在恒成立，则，解得．
综上所述，a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值.
（1）先求出函数的定义域，再求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间；
（2）先求出导函数，根据在上没有极值点可分两种情况：即在上恒成立，或在上恒成立，进而可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
18．（2024高二下·长寿期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
【答案】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，利用导函数研究函数的极值.（1）先求出导函数，根据导函数的几何意义可求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出曲线的切线方程；
（2）（ⅰ）先求出的定义域，再求出导函数，根据极值点的含义原问题等价于有两个不同的正实数根，利用基本不等式进行计算可得，进而可求出实数的取值范围 ；
（ⅱ）设有两个不同的正实数根，利用韦达定理可得：吗，根据单调性可知的极值点，再根据函数零点的定义可得，构建，求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，根据单调性可得，则，进而可求出的极大值的取值范围 .
（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
19．（2024高二下·长寿期末）混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位：）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期分别为时的抗压强度的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
9.4 29.7 2 366 5.5 439.2 55
表中．
（1）根据散点图判断与哪一个适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立关于的回归方程；
（2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度与第28天的抗压强度具有线性相关关系，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
附：
参考数据：．
【答案】（1）由散点图可以判断，适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型．
令，先建立关于的线性回归方程，
由于
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的线性回归方程为．
（2）（i）由（1）知，当龄期为28天，即时，
抗压强度的预报值，
因为，所以预测该批次混凝土达标．
（ii）令，得．
所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】本题考查线性回归方程（1）观察三点图可知散点图不是直线，据此可判断适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型，采用换元法令，先建立关于的线性回归方程，结合参考数据应用公式可求出，进而可求出回归直线；
（2）（i）当龄期为28天，即当时，可求出抗压强度的预报值，根据题意可作出判断；
（ii）令，可求出，进而可求出在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
（1）由散点图可以判断，适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型．
令，先建立关于的线性回归方程，
由于
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的线性回归方程为．
（2）（i）由（1）知，当龄期为28天，即时，
抗压强度的预报值，
因为，所以预测该批次混凝土达标．
（ii）令，得．
所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为．
1 / 1重庆市长寿区八校2023-2024学年高二下学期7月检测（B）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·长寿期末）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·长寿期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·长寿期末）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（ ）
A．48 B．96 C．60 D．120
4．（2024高二下·长寿期末）已知数列的前项和满足：，且，则被8整除的余数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
5．（2024高二下·长寿期末）设随机变量的概率分布列为
1 2 3 4
则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·长寿期末）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2024高二下·长寿期末）在对一组成对样本数据进行分析时，从已知数据了解到预报变量随着解释变量的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·长寿期末）设某中学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.若该中学女生的平均身高为，则该中学女生的平均体重的估计值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．（2024高二下·长寿期末）设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ）
A．与正相关的充要条件是
B．直线过点
C．与之间的相关系数为
D．当增大一个单位时，增大个单位
10．（2024高二下·长寿期末）已知集合满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则中的元素的个数为1
B．若，则中的元素的个数为15
C．若，则中的元素的个数为45
D．若，则中的元素的个数为78
11．（2024高二下·长寿期末）已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数，使得
B．
C．
D．为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·长寿期末）已知函数，则 ，的最小值为 ．
13．（2024高二下·长寿期末）某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为 ．
14．（2024高二下·长寿期末）某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润，预测第8年该国企的生产利润约为 千万元．
年号 1 2 3 4 5
年生产利润（单位：千万元） 0.7 0.8 1 1.1 1.4
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·长寿期末） 如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为．
（1）求满足第二横排、第二竖排的个数字之和均为的不同的数字填写方案种数；
（2）求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．
16．（2024高二下·长寿期末）已知二项式．
（1）若，，求二项式的值被7除的余数；
（2）若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项．
17．（2024高二下·长寿期末） 已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
18．（2024高二下·长寿期末）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
19．（2024高二下·长寿期末）混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位：）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期分别为时的抗压强度的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
9.4 29.7 2 366 5.5 439.2 55
表中．
（1）根据散点图判断与哪一个适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立关于的回归方程；
（2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为．
（i）试预测该批次混凝土是否达标？
（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度与第28天的抗压强度具有线性相关关系，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
附：
参考数据：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由可得，则，即曲线在点处的切线的斜率为.
故曲线在点处的切线的倾斜角为.
故答案为：D
【分析】本题考查曲线的切线方程。先求出曲线的导函数，再根据导数的几何意义可求出切线的斜率，再利用直线倾斜角与斜率的关系：，可求出倾斜角.
2．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：根据式子结构，构造函数，
则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，
因为，所以.
故选：D
【分析】本题考查利用函数的单调性比较大小.根据式子结构，构造函数，求出导函数，根据导函数的正负，可判断函数的单调性，根据单调性可比较出a，b，c的大小.
3．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，
则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为，
所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为．
故答案为：A.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.根据特殊位置优先f法，再结合题意可得：万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，应用排列组合的知识可列出式子，再进行计算可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列的前n项和满足，
当时，，
两式相减可得，整理得，即，
则数列是首项为1的常数列，即，则，
所以，能被56整除一定能被8整除，
，
被8整除的余数即末项被8整除的余数，，
则被8整除的余数为7.
故答案为：C.
【分析】先根据数列中与的关系求，再结合二项式定理求解即可.
5．【答案】B
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解答：
，
故答案为：B
【分析】本题考查概率分布列.根概率分布列的性质：每个随机变量的概率相加等于1，据此可求出，解方程可求出，再结合概率分布列可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，
，丙正确，
而，丁错误．
故答案为：D．
【分析】利用随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的对称性，再利用概率的应用和命题真假性判断方法，进而找出假命题的选项。
7．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】当时，函数为增函数，、、均为减函数，
且当，，，，
故答案为：D.
【分析】本题考查函数的单调性.根据一次函数的单调性：一次函数，k>0时为增函数，k<0时为减函数，再结合指数函数的单调性和幂函数的单调性，对数函数的单调性，结合题意可选出答案.
8．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】将代入回归直线方程得，
因此，该中学女生的平均体重的估计值是.
故答案为：A.
【分析】本题考查线性回归方程.根据线性回归方程一定要过样本中心点，据此可将代入回归直线方程，通过计算可求出该中学女生的平均体重的估计值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】A.依题意与正相关的充要条件是，A正确；
B.根据回归直线的性质可知直线必过点，B正确；
C.因为与之间的相关系数，
而，C错误；
D.因为，所以当增大一个单位时，增大个单位，D正确.
故答案为：ABD
【分析】本题考查线性回归方程.根据线性回归方程中，时，正相关；时，负相关；，进而可判断A选项；根据线性回归方程一定要过样本中心点，据此可判断B选项；根据线性相关系数的概念可判断C选项；根据线性回归方程中，时，增大一个单位时，增大个单位；时，增大一个单位时，减少个单位；，据此可判断D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合的关系；简单计数与排列组合
【解析】【解答】A，由题意得，所以中的元素的个数为，A错误；
B，由题意得中的元素均为正奇数，在中，
当时，有共5个元素，
当时，有共4个元素，
当时，有共3个元素，
当时，有共2个元素，
当时，有共1个元素，
所以中的元素的个数为，B正确；
C，，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲 乙 丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为45，C正确；
D，，
可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，
利用隔板法可得分配的方案数为，所以中的元素的个数为，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.根据集合A，根据集合的定义通过列举法可求出集合，据此可判断A选项；根据题意可得中的元素均为正奇数，在中，分5种情况：当时；当时；当时；当时；当时；通过列举依次找出集合B的元素，进而可求出以中的元素的个数，判断B选项；根据题意分析可得：原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲 乙 丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可求出分配的方案数，判断C选项；根据题意分析可得：原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可求出分配的方案数，判断D选项；
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由方程， 可得，令，则有，即t2+(1-k)t-k+1=0，令函数，则，令g”(x) >0，解得0< 0，解得x > e，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，所以，作出图象如图所示：
要使天于x的万程有三个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，结合图象可得关于t的方程t2+(1-k)t-k+1=0一定有两个实根t1，t2，且t1≤0，02<1或t1 =1，0< t2<1，令g(t)=t2+(1-k)t-k+1，若t1≤0，02<1，
则，故.
若t1=1，0<1，则，无解，综上： k∈（1，），故C正确；
由图结合单调性可知x3>e，故B正确；
若f(1)-k=1-k=0，则k=1，又k∈（1，），故A不正确；
故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】化简方程，令，得t2+(1-k)t-k+1=0，构造，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，结合图象可得关于t的方程t2+(1-k)t-k+1=0一定有两个实根t1，t2 (t1 < 02<1)，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案.
12．【答案】；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由已知得，所以，解得，
，
，，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以的极小值也是最小值为，
故答案为：；．
【分析】本题考查基本初等函数导函数公式，利用导函数研究最值.先求出导函数，再采用赋值法令，代入导函数计算公式，通过计算可求出，根据极限定义进行计算可求出极限；令和，解不等式可求出函数的单调区间，结合单调性可求出极值，进而可求出函数的最小值．
13．【答案】1200
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为总体密度函数为：，则，
由得，
所以超过100分 人数大约为：人，
故答案为：1200.
【分析】本题考查正态分布的对称性.根据总体密度函数可推出，利用正态分布的对称性可求出，进而可求出数学成绩超过100分的人数.
14．【答案】
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】易知，，
易知；
代入计算可得；
可得，
即可得回归方程为，
将代入可得，
即第8年该国企的生产利润约为千万元.
故答案为：
【分析】本题考查线性回归方程.先根据数据表格可求出，，，，利用计算公式可求出，进而可求出，据此可得回归方程为，将代入线性回归方程可求出答案.
15．【答案】（1）解：要使第二横排和第二竖排的个数字之和均为，
则第二横排或第二竖排的其它个数字之和必然为，
则要从和，和，和，和这四个组合中选出两个组合填写，
首先选一个组合填到第二横排的两个空中，再选一个组合填到第二竖排的两个空中，最后将其余四个数全排列，
故有种填法.
（2）解：先从、、、这四个数字中选个数字分别排到左边和上边，有种；
再从、、、这四个数字中选个数字分别排到的右边和下边，有种；
最后将其余四个数字排到剩下的四个位置，有种；
按照分步乘法原理可得，一共有种填法.
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】本题主要考查排列组合的实际运用，考查考生运用所学数学知识分析问题解决实际问题的能力.
（1）根据题意第二横排或第二竖排的其他2个数字之和必然为10，将剩下的数字分成4个组合，然后按照分布计数原理进行求解即可；
（2）先排5的左边与上边，再排5的右边与下边，最后将剩下的数字全排列即可求解.
16．【答案】（1）因为，，
，
显然能被7整除，，
所以二项式的值被7除的余数为.
（2）因为的二项式系数之和为128，
，
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即.
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】本题考查二项式定理的展开式的通项，二项式系数.（1）将，代入二项式，通过化简可得：，再利用二项式定理展开式的通项进行展开，通过化简计算可求出二项式的值被7除的余数；
（2）根据二项式系数和为可列出方程，解方程可求出，再利用二项展开通项公式可求出的展开通项公式为，假设展开式中系数最大的项为第项，根据系数最大的项可列出不等式组，解不等式组可求出展开式中系数最大的项为第几项，进而求出展开式中系数最大的项.
（1）因为，，
，
显然能被7整除，，
所以二项式的值被7除的余数为.
（2）因为的二项式系数之和为128，
，
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
即.
17．【答案】（1）解： 当时，，其定义域为，
，
由，得．由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解： 因为， ，
当时，，
若在上没有极值点，则在上单调，
即在上恒成立，或在上恒成立．
若在上恒成立，则，解得，
若在恒成立，则，解得．
综上所述，a的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值.
（1）先求出函数的定义域，再求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间；
（2）先求出导函数，根据在上没有极值点可分两种情况：即在上恒成立，或在上恒成立，进而可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
18．【答案】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，利用导函数研究函数的极值.（1）先求出导函数，根据导函数的几何意义可求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出曲线的切线方程；
（2）（ⅰ）先求出的定义域，再求出导函数，根据极值点的含义原问题等价于有两个不同的正实数根，利用基本不等式进行计算可得，进而可求出实数的取值范围 ；
（ⅱ）设有两个不同的正实数根，利用韦达定理可得：吗，根据单调性可知的极值点，再根据函数零点的定义可得，构建，求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，根据单调性可得，则，进而可求出的极大值的取值范围 .
（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
19．【答案】（1）由散点图可以判断，适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型．
令，先建立关于的线性回归方程，
由于
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的线性回归方程为．
（2）（i）由（1）知，当龄期为28天，即时，
抗压强度的预报值，
因为，所以预测该批次混凝土达标．
（ii）令，得．
所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】本题考查线性回归方程（1）观察三点图可知散点图不是直线，据此可判断适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型，采用换元法令，先建立关于的线性回归方程，结合参考数据应用公式可求出，进而可求出回归直线；
（2）（i）当龄期为28天，即当时，可求出抗压强度的预报值，根据题意可作出判断；
（ii）令，可求出，进而可求出在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．
（1）由散点图可以判断，适宜作为抗压强度关于龄期的回归方程类型．
令，先建立关于的线性回归方程，
由于
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的线性回归方程为．
（2）（i）由（1）知，当龄期为28天，即时，
抗压强度的预报值，
因为，所以预测该批次混凝土达标．
（ii）令，得．
所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为．
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