第二讲 匀变速直线运动
基础知识归纳
1、概念：物体做 直线 运动，且加速度大小、方向都 不变 ，这种运动叫做匀变速直线运动.可分为 匀加速 直线运动和 匀减速 直线运动两类.
2、特点： 加速度的大小和方向都不随时间变化 .
3、匀变速直线运动的规律
注意：（1）说明：上述各式中、、、、五个量中中除t外其余均为矢量，在运用时一般选择取 的方向为正方向，若该量与 的方向相同则取正值，反之为负。对已知量代入公式时要带上正负号，对未知量一般假设为正，若结果为正值，则表示与 方向相同，反之则表示与 方向相反。
另外，在规定 方向为正的前提下，若a为正值，表示物体作加速运动，若a为负值，则表示物体作减速运动；若v为正值，表示物体沿正方向运动，若v为负值，表示物体沿反方向运动；若x为正值，表示物体位于出发点的前方，若x为负值，表示物体位于出发点之后。
（2）以上各式仅适用于匀变速直线运动，包括有往返的情况，对匀变速曲线运动和变加速运动均不成立。
典例精析
【例1】一个做匀加速直线运动的物体，在头4 s内经过的位移为24 m，在第二个4 s内经过的位移是60 m.求这个物体的加速度和初速度各是多少？
解析：解法一：基本公式法
头4 s内的位移：x1＝v0t＋at2
第2个4 s内的位移：x2＝v0(2t)＋a(2t)2－(v0t＋at2)
将x1＝24 m、x2＝60 m、t＝4 s代入上式，
解得a＝2.25 m/s2，v0＝1.5 m/s
解法二：物体在8 s内的平均速度等于中间时刻(即第4 s 末)的瞬时速度，则v1＝ m/s＝v0＋4a，物体在前4 s内的平均速度等于第2 s末的瞬时速度v2＝ m/s＝v0＋2a
两式联立解得a＝2.25 m/s2，v0＝1.5 m/s
解法三：由公式Δx＝aT2，得a＝m/s2＝2.25 m/s2
根据v1＝m/s＝v0＋4a，所以v0＝1.5 m/s
【练习1】汽车初速度v0＝20 m/s，刹车后做匀减速直线运动，加速度大小为a＝5 m/s2，求：
（1）开始刹车后6 s末汽车的速度；
（2）10 s末汽车的位置.
解析：(1)设汽车经过时间t速度减为零，
则由vt＝v0＋at，得t＝s＝4 s
故6 s后汽车速度为零.
(2)由(1)知汽车4 s后就停止，则
x＝×4) m＝40 m
即汽车10 s末位置在开始刹车点前方40 m处.
【要点】而刹车之类的问题，物体速度减为零后停止运动，不再反向做加速运动，因此对于此类问题首先要弄清停下需经历多少时间或多少位移.
【例2】一物体作匀加速直线运动，通过一段位移所用的时间为，紧接着通过下一段位移所用时间为。则物体运动的加速度为( )
A． B． C． D．
解析：物体作匀加速直线运动在前一段x所用的时间为t1，平均速度为，即为时刻的瞬时速度；物体在后一段x所用的时间为t2，平均速度为，即为时刻的瞬时速度。速度由变化到的时间为，所以加速度
答案：A
【练习2】物体以一定的初速度从A点冲上固定的光滑的斜面，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示.已知物体运动到斜面长度3/4处的B点时，所用时间为t，求物体从B运动到C所用的时间.
解析：解法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面.故xBC＝，xAC＝a(t＋tBC)2/2，又xBC＝xAC/4
解得tBC＝t
解法二：比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
现在xBC∶xAB＝1∶3
通过xAB的时间为t，故通过xBC的时间tBC＝t
解法三：利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法，作出v-t图象，如图所示.
S△AOC/S△BDC＝CO2/CD2
且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC
所以4/1＝(t＋tBC)2/，解得tBC＝t
【例3】某物体由A点由静止开始以加速度大小为a1作匀加速直线运动，经时间t后到达B点，此时物体的加速度大小变为a2，方向与a1方向相反，又经时间t物体回到了A点．求：
(1) 加速度大小a1：a2的值．
(2) 物体在B点和回到A点时的速率之比．
解析：（1）匀加速过程中① ② 匀减速过程中（包含反向加速过程）③ ④，由①②③④可得a1：a2=1:3⑤
（2）由⑥，由①⑤⑥，可得，负号表示两个速度方向相反。所以物体在B点时的速度和回到A点时的速度大小之比为1:2.
【练习3】跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面224m时，跳伞运动员离开飞机自由下落。运动一段时间后，打开降落伞，以大小为12.5 m/s2的加速度减速运动.为了保证运动员的人身安全，要求运动员落地的速度不得超过5m/s，g取10m/s2.求
（1）运动员打开降落伞时离地的高度；
（2）运动员在空中的最短时间为多少？
解析：设运动员未开伞自由下落的时间为t1，开伞后做匀减速运动的时间为t2
以向下为正方向，则匀减速时的加速度为：a=-12.5m/s2
在临界情况下，运动员将以5m/s的速度着落．由速度的关系式vt=gt1+at2=10t1-12.5t2=5①，自由下落的高度：②；展开伞时离地的高度（即为减速下落的高度）：③；位移关系h1+h2=224④，由①②③④可以解得：t1=5s，t2=3.6s，h1=125m，h2=99m.所以运动员展开伞时离地高度至少应为99m；运动员在空中的最短时间是t=t1+t2=8.6s
【例4】从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍下照片，如图所示，测得SAB=15cm，SBC=20cm，试求：
（1）小球的加速度
（2）拍摄时B球的速vB
（3）拍摄时SCD
（4）A球上面滚动的小球还有几颗？
解析：释放后小球做匀加速直线运动，每相邻两球的时间间隔均为0.1s，可以认为A、B、C、D各点是一个球在不同时刻的位置。
（1）由知，小球的加速度
（2）B点的速度等于AC段上的平均速度，即
（3）由于相等的时间相邻位移差是一个常数，即，所以
（4）设A点小球速度为，由，则，所以A球运动的时间，故在A球上方还有2颗小球
课外作业：
1．物体由静止开始做匀加速直线运动，在第7秒内的平均速度为2.6 m/s，则物体加速度为（ ）
A．4 m/s2 B．0.37 m/s2
C．2.6 m/s2 D．0.4m/s2
答案：D
2．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离随时间变化的关系为x＝5＋2 t3(m)，它的速度随时间t变化关系为v＝6t2(m/s)．该质点在t＝0到t＝2 s间的平均速度和t＝2 s到t＝3 s间的平均速度大小分别为( )
A．12 m/s，39 m/s B．8 m/s，38 m/s C．12 m/s，19.5 m/s D．8 m/s，12 m/s
解析：平均速度＝，t＝0时，x0＝5 m；t＝2 s时，x2＝21 m；t＝3 s时，x3＝59 m.故1＝＝8 m/s，2＝＝38 m/s.
答案：B
3．静止置于水平地面的一物体质量为m＝57 kg，与水平地面间的动摩擦因数为0.43，在F＝287 N的水平拉力作用下做匀变速直线运动，则由此可知物体在运动过程中第5个7秒内的位移与第11个3秒内的位移比为( )
A．2∶1 B．1∶2 C．7∶3 D．3∶7
解析：第5个7秒内的位移为x1＝a×352－a×282，第11个3秒内的位移为x2＝a×332－a×302，所以＝＝.
答案：C
4．一个物体做匀加速直线运动，它在第5s内的位移为9m，则下列说法正确的是（ ）
A．物体在第4.5秒末的速度一定是9m/s B．物体的加速度一定是2m/s2
C．物体在前9s内的位移一定是81m D．物体在9s内的位移一定是17m
答案：AC
5．在水平面上有a、b两点，相距20 cm，一质点在一恒定的合外力作用下沿a向b做直线运动，经过0.2 s的时间先后通过a、b两点，则该质点通过a、b中点时的速度大小为( )
A．若力的方向由a向b，则大于1 m/s，若力的方向由b向a，则小于1 m/s
B．若力的方向由a向b，则小于1 m/s；若力的方向由b向a，则大于1 m/s
C．无论力的方向如何，均大于1 m/s
D．无论力的方向如何，均小于1 m/s
解析：无论力的方向如何，0.2 s中间时刻的瞬时速度均为v＝ m/s＝1 m/s，经分析可知，质点无论是匀加速还是匀减速，a、b中间时刻的瞬时速度均小于a、b中点时的速度，所以选项C正确．
答案：C
6．一个质点正在做匀加速直线运动，用固定的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1 s．分析照片得到的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了2 m；在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了8 m，由此不可求得( )
A．第1次闪光时质点的速度
B．质点运动的加速度
C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移
D．质点运动的初速度
解析：如上图所示，x3－x1＝2aT2，可求得a，而v1＝－a·可求．
x2＝x1＋aT2＝x1＋＝也可求，
因不知第一次闪光时已运动的时间和位移，故初速度v0不可求．
答案：D
7． 将一小物体以初速度v0竖直上抛，若物体所受的空气阻力的大小不变，则小物体到达最高点的最后一秒和离开最高点的第一秒时间内通过的路程为x1和x2，速度的变化量为Δv1和Δv2的大小关系为( )
A．x1>x2 B．x1Δv2 D．Δv1<Δv2
解析：上升的加速度a1大于下落的加速度a2，根据逆向转换的方法，上升的最后一秒可以看成以加速度a1从零下降的第一秒，故有：Δv1＝a1t，x1＝a1t2；而以加速度a2下降的第一秒内有：Δv2＝a2t，x2＝a2t2，因a1>a2，所以x1>x2，Δv1>Δv2，即A、C正确．
答案：AC
8．如图所示，在光滑的斜面上放置3个相同的小球(可视为质点)，小球1、2、3距斜面底端A点的距离分别为x1、x2、x3，现将它们分别从静止释放，到达A点的时间分别为t1、t2、t3，斜面的倾角为θ.则下列说法正确的是( )
A．＝＝ B．＞＞
C．＝＝ D．若θ增大，则的值减小
解析：三个小球在光滑斜面上下滑时的加速度均为a＝gsin θ，由x＝at2知＝a，因此＝＝.当θ增大，a增大，的值增大，C对，D错.＝，且＝，由物体到达底端的速度v2＝2ax知v1＞v2＞v3，因此1＞2＞3，即＞＞，A错，B对．
答案：BC
9．在四川汶川抗震救灾中，一名质量为60 kg、训练有素的武警战士从直升机上通过一根竖直的质量为20 kg的长绳由静止开始滑下，速度很小可认为等于零．在离地面18 m高处，武警战士感到时间紧迫，想以最短的时间滑到地面，开始加速．已知该武警战士落地的速度不能大于6 m/s，以最大压力作用于长绳可产生的最大加速度为5 m/s2；长绳的下端恰好着地，当地的重力加速度为g＝10 m/s2.求武警战士下滑的最短时间和加速下滑的距离．
解析：设武警战士加速下滑的距离为h1，减速下滑的距离为(H－h1)，加速阶段的末速度等于减速阶段的初速度为vmax，由题意和匀变速运动的规律有：v＝2gh1 v＝2a(H－h1)＋v2
由上式解得h1＝＝ m＝7.2 m
武警战士的最大速度为vmax＝＝ m/s＝12 m/s
加速时间：t1＝＝ s＝1.2 s
减速时间：t2＝＝ s＝1.2 s
下滑的最短时间t＝t1＋t2＝1.2 s＋1.2 s＝2.4 s
答案：2.4 s 7.2 m
10．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动.开始刹车后的第1 s内和第3s内位移大小依次为12 m和8 m. 求刹车后7s内的位移是多少 （第3s末汽车还未停止运动）
解析：由得车的加速度为
由得车的初速度为，车减速运动的时间为 ，第6.5末车停止运动，所求车的位移为
11．甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
解析：设汽车甲在第一段时间间隔末（时刻t0）的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，加速度为a，在第二段时间间隔内行驶的路程为s2，由运动学公式有，
①
②
③
设汽车乙在时刻t0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1′、s2′，同理有，
④
⑤
⑥
设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s′，则有
⑦
⑧
联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶路程之比为
12．甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前s0＝13.5m处作了标记，并以v＝9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L＝20m，求：
（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a.
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
解析:（1）设经过时间t，甲追上乙，则根据题意有vt－vt/2＝13.5m
将v＝9m/s代入得到：t＝3s,
又 v＝at
解得：a＝3m/s2
（2）在追上乙的时候，乙走的距离为s,
则：s＝at2/2
代入数据得到s＝13.5m
所以乙离接力区末端的距离为 s＝20m－13.5m＝6.5m
13．“10米折返跑”的成绩反应了人体的灵敏素质，如图所示．测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时，受试者到达折返线处时，用手触摸折返线处的物体(如木箱)，再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终点线的垂直面时，测试员停表，所用时间即为“10米折返跑”的成绩．设受试者起跑的加速度为4 m/s2，运动过程中的最大速度为4 m/s，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度为8 m/s2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线．求该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？
解析：对受试者，由起点终点线向折返线运动的过程中
加速阶段：t1＝＝1 s，x1＝vmt1＝2 m
减速阶段：t3＝＝0.5 s；x3＝vmt3＝1 m
匀速阶段：t2＝＝1.75 s
由折返线向起点终点线运动的过程中
加速阶段：t4＝＝1 s，x4＝vmt4＝2 m
匀速阶段：t5＝＝2 s
受试者“10米折返跑”的成绩为：t＝t1＋t2＋…＋t5＝6.25 s.
答案：6.25 s
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基础知识归纳
1、概念：物体做 直线 运动，且加速度大小、方向都 不变 ，这种运动叫做匀变速直线运动.可分为 匀加速 直线运动和 匀减速 直线运动两类.
2、特点： 加速度的大小和方向都不随时间变化 .
3、匀变速直线运动的规律
注意：（1）说明：上述各式中、、、、五个量中中除t外其余均为矢量，在运用时一般选择取 的方向为正方向，若该量与 的方向相同则取正值，反之为负。对已知量代入公式时要带上正负号，对未知量一般假设为正，若结果为正值，则表示与 方向相同，反之则表示与 方向相反。
另外，在规定 方向为正的前提下，若a为正值，表示物体作加速运动，若a为负值，则表示物体作减速运动；若v为正值，表示物体沿正方向运动，若v为负值，表示物体沿反方向运动；若x为正值，表示物体位于出发点的前方，若x为负值，表示物体位于出发点之后。
（2）以上各式仅适用于匀变速直线运动，包括有往返的情况，对匀变速曲线运动和变加速运动均不成立。
典例精析
【例1】一个做匀加速直线运动的物体，在头4 s内经过的位移为24 m，在第二个4 s内经过的位移是60 m.求这个物体的加速度和初速度各是多少？
【练习1】汽车初速度v0＝20 m/s，刹车后做匀减速直线运动，加速度大小为a＝5 m/s2，求：
（1）开始刹车后6 s末汽车的速度；
（2）10 s末汽车的位置.
【例2】一物体作匀加速直线运动，通过一段位移所用的时间为，紧接着通过下一段位移所用时间为。则物体运动的加速度为( )
A． B． C． D．
【练习2】物体以一定的初速度从A点冲上固定的光滑的斜面，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示.已知物体运动到斜面长度3/4处的B点时，所用时间为t，求物体从B运动到C所用的时间.
【例3】某物体由A点由静止开始以加速度大小为a1作匀加速直线运动，经时间t后到达B点，此时物体的加速度大小变为a2，方向与a1方向相反，又经时间t物体回到了A点．求：
(1) 加速度大小a1：a2的值．
(2) 物体在B点和回到A点时的速率之比．
【练习3】跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面224m时，跳伞运动员离开飞机自由下落。运动一段时间后，打开降落伞，以大小为12.5 m/s2的加速度减速运动.为了保证运动员的人身安全，要求运动员落地的速度不得超过5m/s，g取10m/s2.求
（1）运动员打开降落伞时离地的高度；
（2）运动员在空中的最短时间为多少？
【例4】从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍下照片，如图所示，测得SAB=15cm，SBC=20cm，试求：
（1）小球的加速度
（2）拍摄时B球的速vB
（3）拍摄时SCD
（4）A球上面滚动的小球还有几颗？
课外作业：
1．物体由静止开始做匀加速直线运动，在第7秒内的平均速度为2.6 m/s，则物体加速度为（ ）
A．4 m/s2 B．0.37 m/s2
C．2.6 m/s2 D．0.4m/s2
2．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离随时间变化的关系为x＝5＋2 t3(m)，它的速度随时间t变化关系为v＝6t2(m/s)．该质点在t＝0到t＝2 s间的平均速度和t＝2 s到t＝3 s间的平均速度大小分别为( )
A．12 m/s，39 m/s B．8 m/s，38 m/s C．12 m/s，19.5 m/s D．8 m/s，12 m/s
3．静止置于水平地面的一物体质量为m＝57 kg，与水平地面间的动摩擦因数为0.43，在F＝287 N的水平拉力作用下做匀变速直线运动，则由此可知物体在运动过程中第5个7秒内的位移与第11个3秒内的位移比为( )
A．2∶1 B．1∶2 C．7∶3 D．3∶7
4．一个物体做匀加速直线运动，它在第5s内的位移为9m，则下列说法正确的是（ ）
A．物体在第4.5秒末的速度一定是9m/s B．物体的加速度一定是2m/s2
C．物体在前9s内的位移一定是81m D．物体在9s内的位移一定是17m
5．在水平面上有a、b两点，相距20 cm，一质点在一恒定的合外力作用下沿a向b做直线运动，经过0.2 s的时间先后通过a、b两点，则该质点通过a、b中点时的速度大小为( )
A．若力的方向由a向b，则大于1 m/s，若力的方向由b向a，则小于1 m/s
B．若力的方向由a向b，则小于1 m/s；若力的方向由b向a，则大于1 m/s
C．无论力的方向如何，均大于1 m/s
D．无论力的方向如何，均小于1 m/s
6．一个质点正在做匀加速直线运动，用固定的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1 s．分析照片得到的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了2 m；在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了8 m，由此不可求得( )
A．第1次闪光时质点的速度
B．质点运动的加速度
C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移
D．质点运动的初速度
7． 将一小物体以初速度v0竖直上抛，若物体所受的空气阻力的大小不变，则小物体到达最高点的最后一秒和离开最高点的第一秒时间内通过的路程为x1和x2，速度的变化量为Δv1和Δv2的大小关系为( )
A．x1>x2 B．x1Δv2 D．Δv1<Δv2
8．如图所示，在光滑的斜面上放置3个相同的小球(可视为质点)，小球1、2、3距斜面底端A点的距离分别为x1、x2、x3，现将它们分别从静止释放，到达A点的时间分别为t1、t2、t3，斜面的倾角为θ.则下列说法正确的是( )
A．＝＝ B．＞＞
C．＝＝ D．若θ增大，则的值减小
9．在四川汶川抗震救灾中，一名质量为60 kg、训练有素的武警战士从直升机上通过一根竖直的质量为20 kg的长绳由静止开始滑下，速度很小可认为等于零．在离地面18 m高处，武警战士感到时间紧迫，想以最短的时间滑到地面，开始加速．已知该武警战士落地的速度不能大于6 m/s，以最大压力作用于长绳可产生的最大加速度为5 m/s2；长绳的下端恰好着地，当地的重力加速度为g＝10 m/s2.求武警战士下滑的最短时间和加速下滑的距离．
10．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动.开始刹车后的第1 s内和第3s内位移大小依次为12 m和8 m. 求刹车后7s内的位移是多少 （第3s末汽车还未停止运动）
11．甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
12．甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程：乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前s0＝13.5m处作了标记，并以v＝9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L＝20m，求：
（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a.
（2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。
13．“10米折返跑”的成绩反应了人体的灵敏素质，如图所示．测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时，受试者到达折返线处时，用手触摸折返线处的物体(如木箱)，再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终点线的垂直面时，测试员停表，所用时间即为“10米折返跑”的成绩．设受试者起跑的加速度为4 m/s2，运动过程中的最大速度为4 m/s，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度为8 m/s2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线．求该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？
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