明晰教材意图 有效教学设计 凸显数学思想
——《11．1 反比例函数》评课
反比例函数是一种基本初等函数，《反比例函数》这节课是学生在八年级上学期学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再一次研究一种具体的初等函数的起始课．而函数是中学数学中的最重要的概念之一，因而这节课的学习对今后研究二次函数以及高中阶段的其他函数有着极其重要的意义．盐城市初级中学周咏梅老师上的这节课有如下几个特点：
1．教材剖析，深刻到位．
教材是许多专家学者根据《课标》结合多年的实践经验编著而成的，是《课标》的物化成果，是专家智慧的结晶，是沟通教师、学生和知识的桥梁，也是师生展开课堂活动的主要依据．新课程倡导教师以教材为平台和“范例”，充分挖掘和利用各种课程资源，对教材进行补充、延伸和重组，从理解、尊重教材到用好教材．
对教材意图的准确把握是上好一节课的先决条件，从整个教学流程可以看出教者对教材进行了深度的解读，比照苏科版八下（义务教育课程标准试验教科书），2012版苏科版八下（义务教育教科书）在《反比例函数》这一节内容上做了较大的调整：
（1）在反比例函数的概念中不再出现“比例系数k”的概念；
（2）例题由原来的判断是否为反比例函数，找比例系数的问题，（例 下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？）更改为由实际问题列出函数关系式判断是否为反比例函数的问题．（例 写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．）
（3）习题部分也做了相应的调整．
这样的变化意在淡化定义的形式，更多的让学生感受反比例函数是刻画现实世界的一种基本模型，体会数学来源于生活并为生活服务．教者能根据教材的变化进行教学设计，在教学目标的制定上、教学重难点的把握上，力求体现教材的意图，做到在尊重、理解教材的基础上灵活的运用教材．
2．教学流程，清晰合理．
本节课分五部分展开：一、创设情境，提出问题——二、合作交流，探究概念——三、联系生活、应用概念——四、小结回顾，快乐提升——五、类比迁移，整体把握，由生活中实际问题引出要研究问题，通过学生小组合作探究生成概念，应用概念解决问题，例题过后设计学生自己编题活动，欣赏灯光控制问题、贴地板砖块数问题让学生进一步感受反比例函数在现实生活中大量存在，最后小结回顾，类比一次函数的研究展望反比例函数的研究内容，迁移猜想研究一般的函数问题会从哪些角度，结合结构图预测下节课学习内容，为下节课学习打下伏笔．整个教学流程清晰，层层递进，设计合理．学生自主探究学习时间与教师讲解时间分配合理．
3．生活情境，真实有效．
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的经验和已有知识出发，创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生，形成和发展的过程．
如何让学生感受到反比例函数在现实生活中是真实存在的；如何将生活和数学有机融合；如何让情境更加真实有效．教者处理的比较好，体现在这样几个方面：
（1）情境引入时，展示了南京到上海的列车时刻表，引导学生观察其中的常量、变量之间的关系，让学生真切的感受到时刻表中存在着许多函数关系．用excel表格换算时间、速度，速度之快让学生真实感受到数学公式的魅力．
（2）例题中选用图形中面积、体积计算，让学生感受图形中蕴含的反比例关系，江苏省人均占地面积的计算让学生感受到江苏之大，增添自豪感．
（3）练习时，让学生自己编实际问题，意在引导学生自己去找寻生活中的反比例函数，用数学眼光去看问题．
（4）结尾的欣赏，让学生再次感受反比例函数在生活中的广泛存在，体现数学与生活的联系．总的说来本节课设计的几个情境是真实有效的，达到了较好的效果．
4．蕴含思想、体现方法、注重提升．
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁．虽然本章讲述的反比例函数仅仅是一种最基本的初等函数，但其中蕴含着很多的数学思想．本节课教者在注重基础知识，基本方法的同时，着力体现函数研究中蕴含的数学思想，比如：（1）在引入情境中寻找变量之间的关系，体现了函数对应的思想；（2）在函数的判断过程中体现的转化的思想；（3）例题中用函数表示面积、体积和长、高等的关系体现了数形结合的思想；（4）结尾对本章结构的展望，体现了反比例函数与一次函数的类比、迁移等等都体现了数学思想方法的渗透．这些数学思想方法的渗透为学生的后续学习打下基础，甚至对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展都是非常有益的．
当然这节课还有一些值得商榷、改进的地方，如让学生从火车时刻表中选出变量和常量时应提醒学生在关注某一个变化过程中，才能确定变量和常量；对学生自编的问题的表述要加以修正、完善，不能只关注教师想要的东西．学生的不足、错误是教师最要关注的，通过分析原因，弥补不足，修正错误才能真正帮助学生掌握知识、提升能力、积累经验、丰富情感．
11.1 反比例函数
盐城市初级中学 周咏梅
教材分析：
本节的内容主要是反比例函数的概念，教材设计的基本思路是从现实生活中大量的反比例关系中抽象出反比例函数的概念，让学生感受反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种有效的数学模型，逐步从对具体的反比例函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识．同时，本节内容的学习，直接关系到本章后续内容的学习，也是继续学习其他各类函数的基础．另外，其中蕴涵的类比、归纳、对应和函数的数学思想方法，对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展都是非常有益的．
教学目标：
1．理解反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．
2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式．
3．通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；在抽象反比例函数概念的过程中，进一步渗透类比、归纳、对应、函数、转化等数学思想方法；通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能力．
教学重点：
经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念．
教学难点：
领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．
教学方法：
本节课采用探索式教学法，引导学生通过独立思考、自主探索、合作交流等活动方式亲历知识的发生、发展过程，学会获取新知识的方法，有利于实现教学目标．练习时，设计学生编题比赛，从学生所编的题中选题作为学生练习，激发学生的自信心，调动学生学习的兴趣．
教学手段：
利用多媒体辅助教学，增强直观性，提高学习效率和质量，激发学习兴趣，调动积极性．
教学过程：
一、创设情境，提出问题
展示图片：
飞驰的列车
（展示图片）生活中，存在着许多变化的量，比如：在乘坐火车时，你就能观察到许多变化的量．这是南京到上海的部分列车时刻表，观察表中的数据，思考：表中有哪些是常量？哪些是变量？变量之间有怎样的关系？
问题一 一辆列车从南京出发开往上海，以速度v（km/h）行驶，行驶时间为t（h），行驶路程为s（km）．
（1）若速度v＝160（km/h），行驶路程s（km）与行驶时间为t（h）之间的关系式为 s＝160t ．
（2）若列车已经行驶了80km，继续以v＝150（km/h）的速度行驶t（h），行驶总路程s（km）与时间t（h）之间的关系式为 s＝150t＋80 ．
（3）若南京到上海总路程约301km，行驶速度v与行驶t（h）的关系式为vt＝301 ．
我们利用数学表达式描述了这三个生活中的例子，同学们观察这三个表达式，这里有你熟悉的函数吗？
（3）中v，t的积为定值，在小学里我们学过，如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例，能把它写成函数形式吗？v＝，那么v是t的函数吗？
（4）给定变量t的值，变量v都有唯一确定的值与它对应吗？
（5）速度v是时间t的函数吗？你是如何判断的？
这是个什么函数呢？其实，在我们的生活中还存在着许多类似的函数，我们一起来看一看？
问题二 用函数表达式表示下列问题中变量之间的关系：
（1）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额 y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；
（2）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间a（h）随注水速度b（m3/h）的变化而变化；
（3）实数m与n的积为－200，m 随n的变化而变化．
二、合作交流，探究概念
1．观察交流，生成概念．
请同学们观察黑板上这些表达式，它们有哪些共同的特点呢？
你能类比一次函数的定义，给反比例函数下个定义吗？
反比例函数：一般地，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y 是x的函数．
2．合作交流，剖析概念．
思考以下几个问题．
（1）反比例函数满足哪种形式？反过来满足y＝（k为常数，k≠0）的形式一定是反比例函数．
（2）定义中k为常数，是指k可以取哪些类型的数（可举例说明）？
（3）自变量、函数值有取值范围吗？如果有，说出取值范围．
教师引导学生归纳总结．
车次
始发
时间
终点
时间
行驶
时间
时间换算
（小时）
路程千米
速度（千米/小时）
小时
分钟
G7005
9:00
10:19
1:19
1．3166667
301
228．6075949
1
19
G7007
10:00
11:39
1:39
1．65
301
182．4242424
1
39
G7053
9:44
11:44
2:00
2
301
150．5
2
0
K154/K151
2:42
6:30
3:48
3．8
301
79．21052632
3
48
K8420/K8417
4:10
8:45
4:35
4．5833333
301
65．67272727
4
35
K233/K236
4:02
9:11
5:09
5．15
301
58．44660194
5
9
请举出1、2个反比例函数的例子．
教师注意补充如：，，2xy＝1．
三、联系生活、应用概念
1．联系生活，应用概念．
反比例函数是刻画现实世界的一种有效模型，在数学问题的研究中有着广泛的应用，比如：
例 （1）面积是50cm2 的矩形，一边长y（cm）随另一边长x（cm）的变化而变化．
（2）体积是100 cm3的圆锥，高h（cm）随底面面积s（cm2）的变化而变化．
（3）江苏省的总面积为1.026×105平方千米，人均占有土地面积s（平方千米/人）随全省总人口n（人）的变化而变化．
（4）妈妈买菜已经用了25（元），还想买5元/斤的鱼a斤，则总的花费y（元）随着所购买的斤数a（斤）的变化而变化．
2．练习互动，深化知识．
你还能举出反比例函数的其他实际例子吗？请每个同学写出一道符合下列条件的实际应用题．
条件：
（1）所出题中含有两个变量，体现反比例函数关系；
（2）符合实际意义，无文字表达错误；
（3）每位同学出一道题，经小组讨论后，推选一道一题，到讲台前展示 ．
3．欣赏图片，感受应用．
让我们再次来感受生活中蕴含的反比例函数．（图片展示）
美妙的灯光把舞台妆点的美轮美奂，灯光的明暗受到电流I、电压U和电阻R的影响，它们之间满足U＝IR，通常交流电源电压为220伏，，电阻R增大，电流I变小，灯变暗；电阻R减小，电流I变大，灯变亮．
温馨的房间需要铺设地板砖来装饰，房间的面积不变，选用地面砖的块数y是一块地面砖的面积s的反比例函数．
四、小结回顾，快乐提升
谈谈你本节课的收获！
通过本节课的学习，你最大的收获是什么？你最大的疑惑是什么？
五、类比迁移，整体把握
本节课我们一起了解了反比例函数的概念，当然我们对反比例函数的研究才刚刚开始，本章将对《反比例函数》进行系统的研究，那么本章将研究反比例函数的哪些内容呢？不妨作一次思考和展望：八年级上学期我们研究过一次函数是从哪几个方面进行研究的？我们一起来梳理一下：
一次函数的概念 ——一次函数的图像与性质——一次函数的应用——一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系．
类比：类比一次函数的研究我们也将从以下几个方面对反比例函数进行研究．
反比例函数的概念 ——反比例函数的图像与性质 ——反比例函数的应用
——反比例函数与一次函数、分式方程的联系．
我们还可以做一个大胆的猜想：以后研究函数基本从哪几方面去研究？
函数概念 ——函数图像与性质 ——函数的应用 ——函数与函数、方程的联系．
同学们，结合刚才的知识结构图，你认为下节课将研究反比例函数的什么知识呢？
生：反比例函数的图像．
我们一起期待下节课反比例函数图像的探索．
六、作业布置
课本126页习题1、2题．
七、板书设计
课件17张PPT。八年级(下册)初中数学11.1 反比例函数飞驰的列车 （1）若速度 v＝160 （km/h） ，路程 s（km）与时间 t（h）之间的表达式为 .问题一 一辆列车从南京出发开往上海，以速度v（km/h）行驶，行驶时间为t（h），行驶路程为s（km）. （2）若列车已经行驶了80km，继续以150（km/h）的速度行驶 t（h），行驶总路程 s（km）与时间 t（h）之间的表达式为 .
（3）若南京到上海总路程约301km，行驶速度 v （km/h）与行驶时间 t（h）的表达式为 . (4)给定变量t的值，变量 v 都有唯一确定的值
与它对应吗？ (5)速度 v 是时间 t 的函数吗？为什么？ 因为在这个变化中，两个变量 v 和 t ，给定变量 t 的值，变量 v 都有唯一确定的值与它对应 ，所以 v 是 t 的函数. 用函数表达式表示下列问题中变量之间的关系.问题二 （1）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额 y (万元) 随还款年限 x (年)的变化而变化； （3）实数 m 与 n 的积为－200，m 随 n 的变化而变化． （2）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间 a (h) 随注水速度 b (m3/h)的变化而变化；思考：如何判断函数是否为反比例函数？请举出一两个反比例函数． 例1 写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）面积是50cm2 的矩形，一边长 y（cm）随另一边长 x（cm）的变化而变化．
（2）体积是100 cm3 的圆锥，高 h（cm）随底面面积 s（cm2）的变化而变化． 例1 写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．
（3）江苏省的总面积为 平方千米，人均占有土地面积 s（平方千米/人）随全省总人口 n（人）的变化而变化． （4）妈妈买菜已经用了25（元），还想买5元/斤的鱼a 斤，则总的花费 y(元)随着所购买的斤数 a（斤）的变化而变化． 条件：
（1）所出题中含有两个变量，体现反比例函数关系；
（2）符合实际意义，无文字表达错误；
（3）每位同学出一道题，经小组讨论后，推选一道 题，到讲台前展示 .写出一道符合下列条件的实际应用题．电流I、电阻R、电压U之间满足关系式：
U＝220
U＝IR． 电阻R增大，电流I变小，灯变暗；
电阻R减小，电流I变大，灯变亮．舞台中的灯光效果60×60（cm2）80×80（cm2）100×100（cm2）你最大的收获是什么？你最大的疑惑是什么？畅所欲言一次函数反比例函数函数作业：课本126页第1、2题．
