第11章 数的开方
11．1 平方根与立方根
1．平方根
【学习目标】
知识与技能
了解一个数的平方根、算术平方根及开平方的意义，会用根号表示一个数的平方根、算术平方根．能用计算器求一个数的平方根．
过程与方法
了解开方与乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根．
情感、态度与价值观
通过学习，体验数学知识来源于实践，是由于生活或生产的需要而产生、发展的．
【重点难点】
重点
平方根、算术平方根的概念．
难点
有关平方根、算术平方根的运算的区别与联系．
【学习过程】
一、创设情境，导入新课
宇宙飞船的飞行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2，v1，v2满足v＝gR，v＝2gR，要求v1与v2就要用到平方根的概念．
二、探究新知
1．用平方运算求平方根
思考
什么是平方根？我们是根据什么求25的平方根的？
归纳：
弄清楚“谁”是“谁”的平方根，且正数有 个平方根，它们互为 ，负数 平方根．
2．算术平方根
归纳：
正数a的正的平方根叫做a的 ，记作 ，正数a的平方根记作±，0的平方根是 ，0的算术平方根是 .用数学符号±表示平方根，用表示算术平方根．
3．利用计算器求算术平方根
三、随堂练习，巩固新知
1．求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±；(4).
【答案】
2．求下列各数的算术平方根：
(1)；(2)(－100)2；(3)(±)2.
【答案】
四、典例精析，拓展新知
【例】
三角形的三边长为a，b，c且＋|b－3|＝0，c为偶数，求△ABC的周长．
【分析】
表示a－2的算术平方根，故a－2≥0，即≥0，而|b－3|≥0，利用非负数和为0，则分别为0，求出a、b，再由三边关系求解．
【答案】
【归纳总结】
表示a的算术平方根，具有双重非负性，非负数和为0，则各非负数为0.
五、运用新知识，深化理解
1．3a－2的平方根是它的本身，b＋1的算术平方根是它本身，则a＝________，b＝________．
2. 的平方根是________．
3．m＝＋＋1，则m＋n＝________．
【答案】
4．求下列各式的值：
(1)()2；(2)；(3)()2；(4)；(5).
【答案】
【学习说明】
从跟踪练习中，查漏补缺、并注意审题准确．如先转化为4，再求4的平方根．
六、学习总结
1．平方根、算术平方根的概念、表示方法和读法．
2．(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数；
(2)0的平方根只有一个，为0；
(3)负数没有平方根．
3．0既是0的平方根，也是0的算术平方根．
4．开平方的概念．
2．立方根
【学习目标】
知识与技能
1．了解立方根和开立方的概念，会用根号表示一个数的立方根．
2．能用立方运算求某些数的立方根．
过程与方法
通过积极参与，培养独立思考的能力，提高数学表达和运算能力．
情感、态度与价值观
在活动中，不断培养合作交流的良好习惯．
【重点难点】
重点
立方根的概念与性质．
难点
区分立方根与平方根
【学习过程】
一、创设情境，导入新课
电热水器是常用电器，像一般家庭常用的是容积50 L的．如果要生产这种容积为50 L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？
解：设容积的底面直径为x dm，则
π·()2·2x＝50
可得，x3＝≈31.84
什么数的立方会等于31.84呢？再设问：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
二、探究新知
1．立方根的概念
解决问题：
设这种包装箱的边长为x m，则x3＝27，
这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为33＝27，
所以x＝3.
即这种包装箱的边长应为3 m.
归纳：如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根．
【例】
根据立方根的意义，求下列各数的立方根：，－64，－，1，－1
归纳：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是 .
2．用数学符号表示立方根
归纳：注意立方根定义及用表示一个数的立方根，可设问中a取什么数？
3．用计算器求一个数的立方根．
归纳：注意操作的程序与精确度的要求．
三、随堂练习，巩固新知
求下列各数的立方根：
(1)；(2)－1；(3)0；(4)1；(5)；(6)－2.
【答案】
四、典例精析，拓展新知
求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)±；(6)；
(7)－＋－.
【学习说明】
通过以上求值能熟练运用与求平方根与立方根，进一步区分平方根与立方根．
五、运用新知，深化理解
1．－64的立方根是________．
2．3＝－5成立吗？________．
3．(x＋1)3＝－64的解是________．
4．立方根是本身的数有________．
5．3的立方根是________．
6．一个正方体的体积是0.512 m3，则它的边长是________m.
【答案】第11章 数的开方
11．1 平方根与立方根
1．平方根
【学习目标】
知识与技能
了解一个数的平方根、算术平方根及开平方的意义，会用根号表示一个数的平方根、算术平方根．能用计算器求一个数的平方根．
过程与方法
了解开方与乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根．
情感、态度与价值观
通过学习，体验数学知识来源于实践，是由于生活或生产的需要而产生、发展的．
【重点难点】
重点
平方根、算术平方根的概念．
难点
有关平方根、算术平方根的运算的区别与联系．
【学习过程】
一、创设情境，导入新课
宇宙飞船的飞行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2，v1，v2满足v＝gR，v＝2gR，要求v1与v2就要用到平方根的概念．
二、探究新知
1．用平方运算求平方根
思考
什么是平方根？我们是根据什么求25的平方根的？
归纳：
弄清楚“谁”是“谁”的平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根．
2．算术平方根
归纳：
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作 ，正数a的平方根记作±，0的平方根是0，0的算术平方根是0.用数学符号±表示平方根，用表示算术平方根．
3．利用计算器求算术平方根
三、随堂练习，巩固新知
1．求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±；(4).
【答案】
(1)表示1.96的算术平方根，
∵1.42＝1.96，∴＝1.4.
(2)－表示49的算术平方根的相反数，
∵72＝49，∴－＝－7.
(3)±表示5的平方根，
∵5＝，(±)2＝，
∴±＝±＝±.
(4)表示(－15)2＝225的算术平方根，
∵152＝225，∴＝15.
2．求下列各数的算术平方根：
(1)；(2)(－100)2；(3)(±)2.
【答案】
(1)∵()2＝，
∴的算术平方根是，即＝.
(2)∵(－100)2＝1002，∴的算术平方根是100，
即＝100.
(3)∵±表示25的平方根，(±5)2＝25，
∴25的平方根是±5.
∴(±)2＝(±5)2＝25，
∵52＝25，∴(±)2的算术平方根是5，
即＝5.
四、典例精析，拓展新知
【例】
三角形的三边长为a，b，c且＋|b－3|＝0，c为偶数，求△ABC的周长．
【分析】
表示a－2的算术平方根，故a－2≥0，即≥0，而|b－3|≥0，利用非负数和为0，则分别为0，求出a、b，再由三边关系求解．
【答案】
△ABC的周长为7或9.
【归纳总结】
表示a的算术平方根，具有双重非负性，非负数和为0，则各非负数为0.
五、运用新知识，深化理解
1．3a－2的平方根是它的本身，b＋1的算术平方根是它本身，则a＝________，b＝________．
2. 的平方根是________．
3．m＝＋＋1，则m＋n＝________．
【答案】
1. －1或0 2.±2 3．4
4．求下列各式的值：
(1)()2；(2)；(3)()2；(4)；(5).
【答案】
(1)()2＝64；(2)＝；(3)()2＝7.2；
(4)＝＝4；(5)＝＝.
【学习说明】
从跟踪练习中，查漏补缺、并注意审题准确．如先转化为4，再求4的平方根．
六、学习总结
1．平方根、算术平方根的概念、表示方法和读法．
2．(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数；
(2)0的平方根只有一个，为0；
(3)负数没有平方根．
3．0既是0的平方根，也是0的算术平方根．
4．开平方的概念．
2．立方根
【学习目标】
知识与技能
1．了解立方根和开立方的概念，会用根号表示一个数的立方根．
2．能用立方运算求某些数的立方根．
过程与方法
通过积极参与，培养独立思考的能力，提高数学表达和运算能力．
情感、态度与价值观
在活动中，不断培养合作交流的良好习惯．
【重点难点】
重点
立方根的概念与性质．
难点
区分立方根与平方根
【学习过程】
一、创设情境，导入新课
电热水器是常用电器，像一般家庭常用的是容积50 L的．如果要生产这种容积为50 L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？
解：设容积的底面直径为x dm，则
π·()2·2x＝50
可得，x3＝≈31.84
什么数的立方会等于31.84呢？再设问：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
二、探究新知
1．立方根的概念
解决问题：
设这种包装箱的边长为x m，则x3＝27，
这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为33＝27，
所以x＝3.
即这种包装箱的边长应为3 m.
归纳：如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根．
【例】
根据立方根的意义，求下列各数的立方根：，－64，－，1，－1
解：∵＝，∴＝.
∵(－4)3＝－64，∴＝－4，
∵＝－，∴＝－.
∵13＝1，∴＝1.
∵(－1)3＝－1，∴＝－1.
归纳：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
2．用数学符号表示立方根
归纳：注意立方根定义及用表示一个数的立方根，可设问中a取什么数？
3．用计算器求一个数的立方根．
归纳：注意操作的程序与精确度的要求．
三、随堂练习，巩固新知
求下列各数的立方根：
(1)；(2)－1；(3)0；(4)1；(5)；(6)－2.
【答案】
(1)∵()3＝，∴＝.
(2)∵(－1)3＝－1，∴＝－1.
(3)∵03＝0，∴＝0.
(4)∵13＝1，∴＝1.
(5)∵＝27，又∵33＝27，∴＝3
即的立方根为3.
(6)∵(－)3＝－2＝－，∴＝－.
四、典例精析，拓展新知
求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)±；(6)；
(7)－＋－.
解： (1)4；(2)－3；(3)；(4)－；(5)±8；
(6)8；(7)－.
【学习说明】
通过以上求值能熟练运用与求平方根与立方根，进一步区分平方根与立方根．
五、运用新知，深化理解
1．－64的立方根是________．
2．3＝－5成立吗？________．
3．(x＋1)3＝－64的解是________．
4．立方根是本身的数有________．
5．3的立方根是________．
6．一个正方体的体积是0.512 m3，则它的边长是________m.
【答案】
1．4；2.－5；3.x＝－5；4.0、±1；5.；6.0.8.
