第12章 整式的乘除
12.1 幂的运算
1．同底数幂的乘法
【学习目标】
知识与技能
1．巩固同底数幂的乘法法则，灵活地运用法则进行计算．
2．了解同底数幂乘法运算性质，并能解决一些实际问题．
3．能根据同底数幂的乘法性质进行运算．
过程与方法
1．经历探索同底数幂的乘法运算的过程，进一步体会幂的意义，提高推理能力和有条理的表达能力．
2．在了解同底数幂的乘法运算意义的基础上，“发现”同底数幂的乘法性质，培养观察、概括和抽象的能力．
3．能用字母式子和文字语言表达这一性质，知道它适用于三个和三个以上的同底数幂相乘．
情感、态度与价值观
在推导“性质”的过程中，培养观察、概括与抽象的能力．
【重点难点】
重点
熟悉同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容．
难点
区别幂的意义与乘法的意义，培养推理能力和有条理的表达能力．
【学习过程】
一、创设情境，导入新课
【情境导入】
“盘古开天辟地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．
思考：盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？
光的速度为3×105 km/s，太阳光照射到地球大约需要5×102 s，计算出地球距离太阳大约有多远呢？
列出算式：3×105×5×102＝15×105×102＝15×？(引入课题)
二、探究新知
同底数幂的乘法法则．
思考：到底105×102＝？
计算过程：105×102＝(10×10×10×10×10)×(10×10)＝10×10×10×10×10×10×10＝107.
【例】
计算并探索规律．
(1)23×24＝(2×2×2)×(2×2×2×2)＝2( )；
(2)53×54＝5( )；
(3)(－3)7×(－3)6＝(－3)( )；
(4)()3×()＝()( )；
(5)a3·a4＝a( )．
【答案】
(1)7 (2)7 (3)13 (4)4 (5)7
归纳：
am·an＝·＝
＝am＋n
从而得出同底数幂的乘法法则am·an＝am＋n(m、n为正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
三、随堂练习，巩固新知
1．基础练习
(1)下面的计算是否正确？如果错，请在旁边纠正：
①a3·a4＝a12 ②m·m4＝m4
③a3＋a3＝a6 ④x5＋x5＝2x10
⑤3c4·2c2＝5c6 ⑥x2·xn＝x2n
⑦2m·2n＝2m·n ⑧b4·b4·b4＝3b4
解：①a3·a4＝a7 ②m·m4＝m5
③a3＋a3＝2a3 ④x5＋x5＝2x5
⑤3c4·2c2＝6c6 ⑥x2·xn＝x2＋n
⑦2m·2n＝2m＋n ⑧b4·b4·b4＝b12
(2)计算：
①78×73；②()5×()7；③x3·x5·x2；
④a12·a；⑤y4·y3·y2·y；⑥x5·x5.
解：①原式＝711 ②原式＝ ③原式＝x10 ④原式＝a13 ⑤原式＝y10 ⑥原式＝x10
2．能力提高
(1)计算：
①(x＋y)3·(x＋y)4＝(x＋y)7；
②(a－b)(b－a)3＝－(a－b)4；
③xn·xn＋1＋x2n·x＝2x2n＋1(n是正整数)．
(2)填空：
①x5·(x3)＝x8；②a·(a5)＝a6；
③x·x3(x3)＝x7；④xm·(x2m)＝x3m；
⑤x5·x(5)＝x3·x7＝x(4)·x6＝x·x(9)；
⑥an＋1·a(n)＝a2n＋1＝a·a(2n)．
(3)填空：
①8＝2x，则x＝________；
②8×4＝2x，则x＝________；
③3×27×9＝3x，则x＝________；
④已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；
⑤b2·bm－2＋b·bm－1－b3·bm－5b2.
解：①3 ②5 ③6 ④am＋n＝b ⑤原式＝bm.
四、典例精析，拓展新知
【例】
如果xm－n·x2n＋1＝x11，且ym－1·y4－n＝y5，求m，n的值．
【分析】
根据同底数幂的乘法法则得(m－n)＋(2n＋1)＝11，(m－1)＋(4－n)＝5，用方程组解决．
【答案】
m＝6，n＝4
五、运用新知，深化理解
1．a·a2·a3＝________．
2．(x－y)3·(x－y)2·(y－x)＝________．
3．(－x)4·x7·(－x)3＝________
4．已知3a＋b·3a－b＝9.则a＝________．
【答案】
1．a6；2.－(x－y)6；3.－x14；4.1.
【学习说明】
注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘，遇到形如(－a)6·a9转化为a6·a9.
六、学习总结
1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：在乘积中，幂的底数不变，指数相加．
2．同底数幂乘法可以拓展，例如，对含有三个或三个以上的同底数幂，仍成立．底数和指数，它既可取一个或几个具体数，也可取单项式或多项式．
3．幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．第12章 整式的乘除
12.1 幂的运算
1．同底数幂的乘法
【学习目标】
知识与技能
1．巩固同底数幂的乘法法则，灵活地运用法则进行计算．
2．了解同底数幂乘法运算性质，并能解决一些实际问题．
3．能根据同底数幂的乘法性质进行运算．
过程与方法
1．经历探索同底数幂的乘法运算的过程，进一步体会幂的意义，提高推理能力和有条理的表达能力．
2．在了解同底数幂的乘法运算意义的基础上，“发现”同底数幂的乘法性质，培养观察、概括和抽象的能力．
3．能用字母式子和文字语言表达这一性质，知道它适用于三个和三个以上的同底数幂相乘．
情感、态度与价值观
在推导“性质”的过程中，培养观察、概括与抽象的能力．
【重点难点】
重点
熟悉同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容．
难点
区别幂的意义与乘法的意义，培养推理能力和有条理的表达能力．
【学习过程】
一、创设情境，导入新课
【情境导入】
“盘古开天辟地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．
思考：盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？
光的速度为3×105 km/s，太阳光照射到地球大约需要5×102 s，计算出地球距离太阳大约有多远呢？
列出算式：3×105×5×102＝15×105×102＝15×？(引入课题)
二、探究新知
同底数幂的乘法法则．
思考：到底105×102＝？
计算过程：105×102＝(10×10×10×10×10)×(10×10)＝10×10×10×10×10×10×10＝107.
【例】
计算并探索规律．
(1)23×24＝(2×2×2)×(2×2×2×2)＝2( )；
(2)53×54＝5( )；
(3)(－3)7×(－3)6＝(－3)( )；
(4)()3×()＝()( )；
(5)a3·a4＝a( )．
归纳：
am·an＝·＝
＝am＋n
从而得出同底数幂的乘法法则am·an＝am＋n(m、n为正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
三、随堂练习，巩固新知
1．基础练习
(1)下面的计算是否正确？如果错，请在旁边纠正：
①a3·a4＝a12 ②m·m4＝m4
③a3＋a3＝a6 ④x5＋x5＝2x10
⑤3c4·2c2＝5c6 ⑥x2·xn＝x2n
⑦2m·2n＝2m·n ⑧b4·b4·b4＝3b4
(2)计算：
①78×73；②()5×()7；③x3·x5·x2；
④a12·a；⑤y4·y3·y2·y；⑥x5·x5.
2．能力提高
(1)计算：
①(x＋y)3·(x＋y)4＝；
②(a－b)(b－a)3＝；
③xn·xn＋1＋x2n·x＝(n是正整数)．
(2)填空：
①x5·()＝x8；②a·()＝a6；
③x·x3()＝x7；④xm·()＝x3m；
⑤x5·x()＝x3·x7＝x()·x6＝x·x()；
⑥an＋1·a()＝a2n＋1＝a·a()．
(3)填空：
①8＝2x，则x＝________；
②8×4＝2x，则x＝________；
③3×27×9＝3x，则x＝________；
④已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；
⑤b2·bm－2＋b·bm－1－b3·bm－5b2.
四、典例精析，拓展新知
【例】
如果xm－n·x2n＋1＝x11，且ym－1·y4－n＝y5，求m，n的值．
【分析】
根据同底数幂的乘法法则得(m－n)＋(2n＋1)＝11，(m－1)＋(4－n)＝5，用方程组解决．
五、运用新知，深化理解
1．a·a2·a3＝________．
2．(x－y)3·(x－y)2·(y－x)＝________．
3．(－x)4·x7·(－x)3＝________
4．已知3a＋b·3a－b＝9.则a＝________．
【学习说明】
注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘，遇到形如(－a)6·a9转化为a6·a9.
六、学习总结
1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：在乘积中，幂的底数不变，指数相加．
2．同底数幂乘法可以拓展，例如，对含有三个或三个以上的同底数幂，仍成立．底数和指数，它既可取一个或几个具体数，也可取单项式或多项式．
3．幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．
