12．5 因式分解
【学习目标】
知识与技能
能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．
1．了解用公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系．
2．会用公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数)．
过程与方法
通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力．
通过了解用公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想．
情感、态度与价值观
通过因式分解在简化计算中的作用，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心．
培养独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度．
【重点难点】
重点
因式分解的概念与提公因式法．
用公式法分解因式．
难点
理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法进行分解因式．
对公式的结构特征做出具体分析，掌握公式法的特点，灵活运用公式法分解因式．
【学习过程】
一、创设情境，导入新课
填空：(1)m(a＋b＋c)＝________；
(2)(a＋b)(a－b)＝________；
(3)(a＋b)2＝________．
【尝试与探索】
(1)ma＋mb＋mc＝( )( )；
(2)a2－b2＝( )( )；
(3)a2＋2ab＋b2＝( )2.
第一组特点：左边是整式×整式，右边是多项式→整式乘法，第二组特点：左边是多项式，右边是整式×整式→因式分解，导入新课．
二、探究新知
请将下列多项式写成几个整式乘积的形式．
(1)x2＋x；
(2)a2－1；
(3)5x(a－2)＋4x(2－a)；
(4)x2－9y2；
(5)16x2－24x＋9.
【分析】
(1)中有公因式x，(2)直接套用平方差公式；(3)中将第二项变形为－4x(a－2)．这两个可以利用提公因式法分解；(4)变形为：(x)2－(3y)2再用平方差公式；(5)先转化为(4x)2－2×4x×3＋32用完全平方公式分解．
【答案】
归纳：将一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解．强调“整式”，如－＝(＋)(－)不是因式分解；因式分解方法有提公因式法与公式法．强调公因式的系数是各项系数的最大公因数；字母取相同的字母，指数取最低的；用公式时先变形为完全符合公式的特征，再套用．
三、随堂练习，巩固新知
1．多项式24x2y－(4xy2＋28x3y3)的公因式为( )
A．xy B．4xy
C．168x3y3 D．4x3y3
【答案】
2．因式分解：(1)a2－24a＋144；(2)4a2b2＋4ab＋1.
【答案】
四、典例精析，拓展新知
【例】
将下列多项式因式分解．
(1)x5－16x；
(2)(a－1)＋b2(1－a)；
(3)x2y2＋xy3＋y4；
(4)4x2－y2－z2＋2yz.
【分析】
(1)先提公因式x，再用平方差公式；
(2)先变形为(a－1)－b2(a－1)，再提公因式(a－1)，再用平方差公式；
(3)先提取y2后再用完全平方式；
(4)先将后三项提出一个符号，是完全平方公式，再与前项构造平方差公式．
【答案】
【学习说明】
1．因式分解时遵循“一提(公因式)”“二套(公式)”“三查(是否分解彻底)”
2．公因式符号不同时，先变号．
(a－b)2＝(b－a)2(a－b)3＝－(b－a)3.
3．多项式有两项时，符号相反考虑平方差，有三项时，考虑完全平方公式，有四项时可考虑适当组合，再因式分解．
五、运用新知，深化理解
将下列各多项式因式分解：
(1)m2(x－y)＋n2(y－x)；
(2)a2－b2＋3a－3b；
(3)x2y－2x2－y＋2；
(4)(x2＋y2)2－4x2y2.
【答案】
【学习说明】
提公因式法与公式法往往交叉使用，注意分解彻底，不能使用中括号．12．5 因式分解
【学习目标】
知识与技能
能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．
1．了解用公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系．
2．会用公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数)．
过程与方法
通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力．
通过了解用公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想．
情感、态度与价值观
通过因式分解在简化计算中的作用，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心．
培养独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度．
【重点难点】
重点
因式分解的概念与提公因式法．
用公式法分解因式．
难点
理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法进行分解因式．
对公式的结构特征做出具体分析，掌握公式法的特点，灵活运用公式法分解因式．
【学习过程】
一、创设情境，导入新课
填空：(1)m(a＋b＋c)＝________；
(2)(a＋b)(a－b)＝________；
(3)(a＋b)2＝________．
解：(1)ma＋mb＋mc.(2)a2－b2.(3)a2＋2ab＋b2.
【尝试与探索】
(1)ma＋mb＋mc＝( )( )；
(2)a2－b2＝( )( )；
(3)a2＋2ab＋b2＝( )2.
解：(1)m a＋b＋c.(2)a＋b a－b.(3)a＋b.
第一组特点：左边是整式×整式，右边是多项式→整式乘法，第二组特点：左边是多项式，右边是整式×整式→因式分解，导入新课．
二、探究新知
请将下列多项式写成几个整式乘积的形式．
(1)x2＋x；
(2)a2－1；
(3)5x(a－2)＋4x(2－a)；
(4)x2－9y2；
(5)16x2－24x＋9.
【分析】
(1)中有公因式x，(2)直接套用平方差公式；(3)中将第二项变形为－4x(a－2)．这两个可以利用提公因式法分解；(4)变形为：(x)2－(3y)2再用平方差公式；(5)先转化为(4x)2－2×4x×3＋32用完全平方公式分解．
【答案】
(1)x(x＋1)；(2)(a－1)(a＋1)；
(3)x(a－2)；(4)(x＋3y)(x－3y)；
(5)(4x－3)2.
归纳：将一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解．强调“整式”，如－＝(＋)(－)不是因式分解；因式分解方法有提公因式法与公式法．强调公因式的系数是各项系数的最大公因数；字母取相同的字母，指数取最低的；用公式时先变形为完全符合公式的特征，再套用．
三、随堂练习，巩固新知
1．多项式24x2y－(4xy2＋28x3y3)的公因式为( )
A．xy B．4xy
C．168x3y3 D．4x3y3
【答案】B
2．因式分解：(1)a2－24a＋144；(2)4a2b2＋4ab＋1.
【答案】
(1)a2－24a＋144＝(a－12)2；
(2)4a2b2＋4ab＋1＝(2ab＋1)2.
四、典例精析，拓展新知
【例】
将下列多项式因式分解．
(1)x5－16x；
(2)(a－1)＋b2(1－a)；
(3)x2y2＋xy3＋y4；
(4)4x2－y2－z2＋2yz.
【分析】
(1)先提公因式x，再用平方差公式；
(2)先变形为(a－1)－b2(a－1)，再提公因式(a－1)，再用平方差公式；
(3)先提取y2后再用完全平方式；
(4)先将后三项提出一个符号，是完全平方公式，再与前项构造平方差公式．
【答案】
(1)x(x2＋4)(x＋2)(x－2)；
(2)(a－1)(1＋b)(1－b)；
(3)y2(x＋y)2；
(4)(2x＋y－z)(2x－y＋z)．
【学习说明】
1．因式分解时遵循“一提(公因式)”“二套(公式)”“三查(是否分解彻底)”
2．公因式符号不同时，先变号．
(a－b)2＝(b－a)2(a－b)3＝－(b－a)3.
3．多项式有两项时，符号相反考虑平方差，有三项时，考虑完全平方公式，有四项时可考虑适当组合，再因式分解．
五、运用新知，深化理解
将下列各多项式因式分解：
(1)m2(x－y)＋n2(y－x)；
(2)a2－b2＋3a－3b；
(3)x2y－2x2－y＋2；
(4)(x2＋y2)2－4x2y2.
【答案】
(1)(x＋y)(m＋n)(m－n)；
(2)(a－b)(a＋b＋3)；(3)(y－2)(x＋1)(x－1)；
(4)(x＋y)2(x－y)2.
【学习说明】
提公因式法与公式法往往交叉使用，注意分解彻底，不能使用中括号．
