12.2.1 一次函数 第1课时 正比例函数的图象与性质 课件(共28张PPT) 2024-2025学年度八年级上册沪科版数学

(共28张PPT)
沪科版
12.2.1 正比例函数的图象与性质
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.掌握一次函数与正比例函数的定义，理解两者之间的关系；
2.通过画正比例函数图象探究正比例函数图象与性质；
3.能用正比例函数图象的性质简便地判断正比例函数图象；
4.能够利用正比例函数和一次函数解决简单的数学问题；
重点
重点
学习目标
2. 函数有哪些表达方式？
1. 函数的定义是什么？
在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数.
列表法、解析式法、图像法.
本节课我们将学习一些简单的函数
新课引入
在上节,遇到过这样一些函数:
h= 30t+ 1 800 ; Q =- 25t + 300;
y= 2x ; s = 80t.
这些函数有什么共同特点
不难看出,这些函数的表达式都是关于自变量的一次式.可以写成:
y = kx +b的形式.
新知学习
归纳
一般地，形如y = kx +b (k，b为常数，且k ≠0)的函数叫做一次函数.
如 y = 0.5x + 3
k = 0.5，b = 3
想一想
为什么k ≠0，你能举例说明吗？
注意：自变量x的次数是1
其中,当b =0时,一次函数y = kx +b就成为 y = kx ( k为常数,且k≠ 0).
这些函数中两个变量间的关系，就是小学学过的正比例关系.因此，形如y = kx ( k为常数,且k ≠0)的函数叫做正比例函数.
如上面的y = 2x , y =-2x ，s =80t,
可见，正比例函数是一次函数的特殊情形.
例1 判断下列函数关系式中，y 是否为 x 一次函数？是否为正比例函数？
(1) (2)
(3) (4)
是一次函数的是 ____________________，
是正比例函数的是 ________________. ( 填序号 )
(1)
(2)
(4)
(2)
自变量x的次数不是1
(1)、(3)、(4)的b≠ 0
归纳
判断函数式是否为一次函数的方法
1. 形如 y = kx + b；
2. 自变量 x 的次数为 1；
3. k，b 为常数，且 k ≠ 0.
说一说
判断正比例函数的方法.
例2 已知函数y＝(m－5) ＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
解：(1) 因为y＝(m－5) ＋m＋1是一次函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0，
所以 m＝±5且m≠5，
所以 m＝－5.
所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5) ＋m＋1是一次函数．
自变量x的次数是1
m2－24＝1
m－5≠0
k≠ 0
(2)若它是正比例函数，求 m 的值．
解：(2)因为 y＝(m－5) ＋m＋1是正比例函数，
所以 m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
所以 m＝±5且m≠5且m＝－1，
则这样的m不存在，
所以函数y＝(m－5) ＋m＋1不可能为正比例函数．
例2 已知函数y＝(m－5) ＋m＋1.
类比(1)中的方法，可得到
x的次数是1
m2－24＝1
k≠ 0
b =0
m－5≠0
m＋1＝0
1.下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
针对训练
探究 作出正比例函数 y = 2x 的图象.
解：列表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y = 2x … …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
-4
-2
0
2
4
连线：把这些点依此连接起来，得到y = 2x 的图象.
下面，来探究正比例函数的图象与性质.
作出正比例函数 y = -2x 的图象.
解：列表：
描点：
连线：
x … -2 -1 0 1 2 …
y = -3x … …
4
2
0
-2
-4
做一做
分别画出正比例函数 y = 2x与 y = -2x 的图象
初步判断：正比例函数的图象是一条经过原点的直线.
y = 2x
y = -2x
思考：正比例函数 y = kx 的图象有何特点？
通常我们把正比例函数y = kx ( k为常数,且k ≠0)的图象叫做直线y = kx.
因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线，就可以了.
(1) 经过原点 ( 0 , 0 )
(2) 是一条直线.
例1 在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象.
y=x
y=3x
y= x
解：列表：
x … 0 1 …
y = x … 0 …
y =x … 0 …
y =3x … 0 …
1
3
描点、连线：
O
y=3x
y=x
k >0
这三个函数图象都经过哪几个象限？图象是呈上升趋势还是下降趋势？
O
y=3x
y=x
这三个函数图象都经过哪个点？
原点（0,0）
图象过第一、三象限,呈上升趋势
例2 在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象.
y=-x
y=-3x
y=- x
解：列表：
x … 0 1 …
y =- x … 0 …
y =-x … 0 …
y =-3x … 0 …
-1
-3
描点、连线：
O
y=-3x
y=-x
k ＜0
这三个函数图象都经过哪几个象限？图象是呈上升趋势还是下降趋势？
这三个函数图象都经过哪个点？
原点（0,0）
图象过第二、四象限,呈下降趋势
O
y=-3x
y=-x
结合例1及例2题中的图象
(1) k >0与k <0 时,y = kx 的图象各有什么特点
(2)|k|的大小不同,对y = kx的图象有什么影响
思考
二 正比例函数的性质
你能从中归纳出怎样的规律
正比例函数 k 图象 经过象限 图象上升/下降 因变量变化
y = kx ( k为常数,且k ≠0) k>0 一、三 自左向右上升 y随x的增大而增大
k<0 二、四 自左向右下降 y随x的增大而减小
归纳
1. 下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象 ( )
A
B
C
D
B
针对训练
2. 对于正比例函数 y = (k - 2)x，当 x 增大时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围 ( )
A. k < 2　　　　　　B. k ≤ 2
C. k > 2　　　　　　D. k ≥ 2
C
1. 已知函数y=(m-1)x+1-m2
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：（1）由题意可得
m-1≠0，解得m≠1.
（2）由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
随堂练习
2. 根据题意，写出函数表达式，并判断是什么函数。
(1)长为6cm的长方形的周长L(cm)与宽b(cm)；
(2)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系式；
(3)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，m月后这棵树的高度为n（厘米）.
y＝80x，正比例函数
n＝50＋2m，一次函数
L＝2b+12，一次函数
3. 函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，经过点_______与点 ，y 随 x 的增大而_______.
二、四
(0 , 0)
( 1 , -7 )
减小
4. 已知正比例函数 y = ( 2m + 4 )x.
(1) 当 m ，函数图象经过第一、三象限；
(2) 当 m ，y 随 x 的增大而减小；
(3) 当 m ，函数图象经过点 ( 2 , 10 ).
> -2
< -2
= 0.5
1. 一次函数与正比例函数的表示.
一次函数 y = kx ( k，b 为常数，k ≠ 0 ) ，y = kx ( k为常数，且k ≠0).
2. 一次函数与正比例函数的关系.
一次函数
y = kx + b ( k，b 为常数，k ≠ 0 )
正比例函数
y = kx ( k 为常数，k ≠ 0 )
特别地，当 b = 0 时.
课堂小结