12.2.7 一次函数 第7课时 一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系 课件(共23张PPT) 2024-2025学年度八年级上册沪科版数学

(共23张PPT)
沪科版
12.2.7 一次函数与一元一次方程
及一元一次不等式的关系
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题
2. 学习用函数的观点看待解一元一次方程和一元一次不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.
难点
重点
学习目标
让我们来观察一下平面直角坐标系,思考下列问题：
(1)纵坐标等于0的点在哪里
(2)纵坐标大于0的点在哪里
(3)纵坐标小于0的点在哪里
y<0
y>0
x
y
o
y=0
新课引入
一 一次函数与一元一次方程
新知学习
问题1：(1)解方程 2x + 20 = 0；
(2)当自变量 x 为何值时，函数
y = 2x + 20 的值为 0？
解： 2x + 20 = 0
2x = -20
x = -10
当 y = 0 时 ，即
2x + 20 = 0
2x = -20
x = -10
从“函数值”
角度看
两个问题实际上是同一个问题
（3）画出函数 y = 2x + 20 的图象，并确定它与 x 轴的交点坐标.
O
x
y
20
-10
y = 2x + 20
从“函数图象”上看
-10
0
-10
直线 y = 2x + 20 与 x 轴交点坐标为（____，___），
这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____.
思考
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
问题2： 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x + 1 = 3；（2）2x + 1 = 0；（3）2x + 1 = -1
用函数的观点看：
解一元一次方程
ax + b = k 就是求当函
数(y = ax + b)值为 k
时对应的自变量的值．
2x + 1 = 3 的解
y = 2x + 1
2x + 1 = 0 的解
2x + 1 = -1 的解
归纳
一次函数与一元一次方程的关系
求一元一次方程
kx + b = 0的解
一次函数 y = kx + b
中，y = 0 时 x 的值
从“函数值”看：
从“函数图象”看：
求一元一次方程
kx + b = 0的解
求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标．
例1．下列说法中，正确的是(　　)
A．方程2x－6＝0的解可以看作是直线y＝2x－6与y轴交点的横坐标
B．方程2x－6＝0的解可以看作是直线y＝2x－6与x轴交点的横坐标
C．方程2x＝6的解可以看作是直线y＝2x＋6与y轴交点的横坐标
D．方程2x＝6的解可以看作是直线y＝2x＋6与x轴交点的横坐标
B
例2.已知一次函数y=3x-6与x轴的交点为（2，0），方程3x-6=0的解为_______.
例3.已知一次函数y=kx-8与x轴的交点为（3，0），方程kx-8=0的解为_______.
例4.已知关于x的一元一次方程mx+n=0的解是-3，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是_______.
x=2
x=3
（-3，0）
针对训练
1.一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17 米/秒？
法一（方程式法）：设再过 x 秒它的速度为 17 米/秒，
由题意得 2x + 5 = 17
解得 x = 6
答：再过 6 秒它的速度为 17 米/秒.
1.一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17 米/秒？
法二（图象法）：速度 y (单位：米/秒)是时间 x (单位：秒)的函数 y = 2x + 5
由 2x + 5 = 17 得 2x－12 = 0
由右图看出直线 y = 2x－12 与 x 轴的交点为 (6，0)，得 x = 6.
O
x
y
6
－12
y = 2x－12
当 y = 17 时，17 = 2x + 5，所以x=6
法三（解析式法）：速度 y (单位：米/秒)是时间 x (单位：秒)的函数 y = 2x + 5
问题2 根据图中一次函数y = 2x +6的图象,你能分别说出一元一次不等式2x +6 >0和2x +6 <0的解集吗
2x +6 >0 ,就是函数y = 2x +6中函数值y >0.观察图，当图象在x轴上方时,它上面的点的纵坐标y >0.同样地,图象在x轴下方时,
它上面的点的纵坐标y<0.
因为图象与x轴交于点( -3, 0) ,所以由图象可知,
要使y >0，即 2x +6 >0,应有x >-3 ;
要使y<0,即2x +6<0,应有x<-3.
二 一次函数与一元一次不等式的关系
归纳
因为,任何一个一元一次不等式都可以转化为kx +b >0(或kx +b <0)的形式,所以,解一元一次不等式kx +b > 0(或kx +b <0) ,就是求使一次函数y = kx +b( k ，b为常数,且k ≠0)取正值(或负值)时x的取值范围
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
　y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“数”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“形”看
例5 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）方程-3x+6=0的解;
解：（1）作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
所以，方程-3x+6=0的解就是交点B的横坐标x=2
（2）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集；
解：(2)结合图象可知,y >0时x的取值范围是x < 2;
y <0时x的取值范围是x > 2.
所以,不等式- 3x +6 >0的解集是x <2,不等式
- 3x +6<0的解集是x > 2.
1．画出函数 y=3x-9 的图象；
（1）求方程 3x-9=0 的解；
（2）求不等式 3x-9≤0 的解集；
（3）当 y=3 时，求x的值；
（4）当 y＞3 时，求x的范围.
随堂练习
O
x
y


y=3x-9
A（0，-9）
B（3，0）
解：图象如图所示，

C（4，3）
（1）x=3；
（2）x≤3；
（3）x=4；
（4）x＞4.
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的不等式kx＋b＜0的解集为________．
x＜1
3.利用图象解一元一次方程x+3=0.
解：作y=x+3图象如右图.
由图象知y=x+3交x轴于(-3，0),
所以原方程的解为x = 3 .
3
y=x+3
O
y
x
3
4.用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10.
解:原不等式化为3x -6<0,
画出直线y = 3x -6(如图).
可以看出,当x<2 时这条直线上的点在x轴的下方,
即这时y = 3x -6 <0,
所以不等式的解集为x<2.
y=3x-6
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
即5x+4 ＜2x +10的解集为x<2.
课堂小结
一次函数与一元一次方程的关系
求一元一次方程
kx + b = 0的解
一次函数 y = kx + b
中，y = 0 时 x 的值
从“函数值”看：
从“函数图象”看：
求一元一次方程
kx + b = 0的解
求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标．
因为,任何一个一元一次不等式都可以转化为kx +b >0(或kx +b <0)的形式,所以,解一元一次不等式kx +b > 0(或kx +b <0) ,就是求使一次函数y = kx +b( k ，b为常数,且k ≠0)取正值(或负值)时x的取值范围
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
　y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“数”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“形”看
一次函数与一元一次不等式的关系