(共16张PPT)
沪科版
12.3.1 一次函数与
二元一次方程
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.理解一次函数表达式也可以看成一个二元一次方程，从而建立一次函数与二元一次方程的对应关系
2. 学习用函数的观点看待方程的方法，进一步感受数形结合的思想方法
学习目标
难点
重点
新课引入
已知函数y=x+5
(1)求此函数与x轴的交点坐标；
解：当y=0时，x =-5
所以y=x+5与x轴的交点坐标为（-5,0）
(2)求不等式 x+5≤0 的解集；
画出函数y=x+5的图象可得：
当x≤-5时，y≤0，即x+5≤0.
我们发现 y=x+5经过移项也可以看成是y-x=5，由一次函数变成了二元一次方程，那么它们之间有什么联系呢？这就是我们本节课所要学习的内容.
下面,我们来研究一次函数与二元一次方程的联系.
二元一次方程 y-x=5 可以转化为一次函数：
任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,
所以每个二元一次方程都对应一个一次函数
y=5+x
思考：
是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？
3x+y=5
0.8x+5y=1
新知学习
y=5-3x
y=0.2-0.16x
问题1 ：二元一次方程3x +2y =6的解有多少个？写出其中的7组.
无数个
问题2 ：二元一次方程3x +2y =6转化为的一次函数是什么？
请画出它的图像.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
x
-3 -2 -1 1 2 3
O
问题3 ：刚才我们写出来的二元一次方程3x +2y =6的7组解在一次函数
y=- x+3上吗？如果以方程 3x +2y =6的解为坐标的点都在一次函数y=- x+3 的图象上吗？
7组解都在一次函数上
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
x
-3 -2 -1 1 2 3
O
以方程 3x +2y =6的解为坐标的点都在
一次函数 的图象上
问题4：在一次函数 的图象上任取一点，点的坐标适合方程
3x +2y =6吗？
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
x
-3 -2 -1 1 2 3
O
都适合
问题4：以方程 3x +2y =6 的解为坐标的所有点
组成的图象与一次函数 的图象相同吗？
相同
在一次函数
的图象上
方程
3x +2y =6的解
从形到数
从数到形
归纳
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
二元一次方程与一次函数的关系
画二元一次方程对应的直线的方法:
(1)先将方程化为一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式;
(2)利用画一次函数图象的方法,确定两点,画出直线.
例1 一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（ ）
A．x﹣3y=3 B．x+3y=3
C．3x﹣y=1
D．3x+y=1
A
总结：先求表达式，再转化成二元一次方程.
例2．二元一次方程3y－2x＝12有________组解，以它的解的有序数对为坐标，可以描出________个点，这些点都在一次函数__________的图象上，这个一次函数图象上任意一点的________都是二元一次方程
3y－2x＝12的一个解．
例3．下面的有序实数对是二元一次方程3x－y＝4的解的是( )
A．(3，2) B．(2，3) C．(1，－1) D．(2，－2)
无数
无数
坐标
C
1.把方程 化为 y=kx+b 的形式，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
B
随堂练习
2.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( )
C
3.已知二元一次方程2x＋3y－6＝0，若把y看成x的函数，画出它的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)当y＝－4，0，2时，对应的x的值是多少？
(2)从图象上看，二元一次方程2x＋3y－6＝0有几组解？
解：由2x＋3y－6＝0，得3y＝－2x＋6，所以y＝- x＋2.图象如图所示：
(1)根据图象可得当y＝－4时，x＝9；当y＝0时，x＝3；当y＝2时，x＝0.
(2)因为直线是由无数个点组成的，所以这些点的坐标都满足2x＋3y－6＝0，所以二元一次方程2x＋3y－6＝0有无数组解．
课堂小结
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
二元一次方程与一次函数的关系
画二元一次方程对应的直线的方法:
(1)先将方程化为一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式;
(2)利用画一次函数图象的方法,确定两点,画出直线.(共22张PPT)
沪科版
12.3.2 一次函数与二元
一次方程组
八年级上
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
目录
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组;
2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法;
3.经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想．
学习目标
难点
重点
根据上节课的学习，说出二元一次方程与一次函数的关系
新课引入
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
那么二元一次方程组与一次函数又有什么关系呢？这就是我们本节课所要研究的内容.
例1 （1）在平面直角坐标系中画直线 l1： 与
直线 l2：y=2x+6 的图象；
解(1)图象如图所示.
新知学习
（2）如果直线 l1与 l2相交于点P，写出点P的坐标P（____，____）；
-2
2
由图可知,直线l1与 l2相交于点P,点Р的坐标为( -2，2).
（3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？
x+2y=2
2x-y=-6
方程x+2y =2可以转化成一次函数 的形式,因此,直线
l1: 上任意一点的坐标都是方程x ＋2y =2的解;
同理,直线l2上任意一点的坐标都是方程2x - y =-6的解.所以直线l1与l2的交点P的坐标是方程x+2y =2与2x -y = -6的公共解,也就是说,是二元一次方程组 的解
求二元一次方程组的解
就是求其两个二元一次方程对应一次函数图象交点的坐标
确定两条直线交点的坐标
就是求由两直线的表达式组成的二元一次方程组的解
归纳
二元一次方程组的解就是函数图象的交点的坐标;
两个一次函数图象交点的坐标就是方程组的解
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
分析：先把方程转化为一次函数，再画两个一次函数的图象，找出交点坐标
例2 用图象法解二元一次方程组
①
②
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
P(2,2)
y=2x-2
所以方程组的解为:
由②得 y=2x-2
进而作出y=2x-2的图象
解： 由①得
进而做出 的图象
归纳
运用图像法解二元一次方程组的一般步骤：
一般步骤
①方程化成函数
②画出函数图像
③找出图像交点坐标
④写出方程组的解
例3 利用函数图象解方程组：
5x-2y=4 ①
10x-4y=8 ②
解 对于方程①，有
x 0 2
y -2 3
同样的，点A （0，-2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上.
所以方程①②所对应的直线都是通过A（0， -2）和B（2， 3）两点的直线l，如图，这两条直线重合.显然,直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解,所以原方程组有无穷多组解.
过点A （0，-2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l： .
x
-4 -2 2 4
y
4
2
-2
-4
O
A
B
例4 利用函数图象解方程组：
3x+2y=-2
6x+4y=4
解 方程3x+2y=-2对应直线l1： .
方程6x+4y=4对应直线l2： .
作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解.
x
-6 -4 -2 2 4 6
O
上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式：
比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？
思考
（1）当 时，两直线相交，方程组有一组解；
（2）当 时，两直线重合，方程组有无穷多组解；
（3）当 时，两直线平行，方程组无解.
归纳
1.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组 的解为
（ ）
y=-x+4
y=x+2
A.
B.
C.
D.
x=3
y=1
x=1
y=3
x=0
y=4
x=4
y=0
B
随堂练习
2．已知方程组 的解为 则一次函数y＝2x＋3与
y＝ax＋c的图象的交点坐标是( )
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(2，－2) D．(－2，2)
2x-y+3=0，
ax-y+c=0；
x=-1，
y=1；
A
O
y
x
3.如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
解：因为直线l1过点(-1，0)，(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理可求得直线l2的解析式为y =-x+3.
解方程组
y =2x+2
y =-x+3
得
x=
y=
即直线l1与l2 的交点坐标为
1.一次函数与二元一次方程组的关系
求二元一次方程组的解
就是求其两个二元一次方程对应一次函数图象交点的坐标
确定两条直线交点的坐标
就是求由两直线的表达式组成的二元一次方程组的解
课堂小结
2.运用图像法解二元一次方程组的一般步骤：
一般步骤
①方程化成函数
②画出函数图像
③找出图像交点坐标
④写出方程组的解
3.二元一次方程组解的情况与对应两条直线的 位置关系之间的联系
（1）当 时，两直线相交，方程组有一组解；
（2）当 时，两直线重合，方程组有无穷多组解；
（3）当 时，两直线平行，方程组无解.
