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（湘教版）九年级
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2.5一元二次方程的应用（2）
一元二次方程
第二章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.掌握一元二次方程在面积（体积）问题中的应用方法。
2.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案。
3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，培养学生的数学建模能力。
4.通过自主探究、合作交流等方式，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
新知导入
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量
2.设：设未知数
3.找：找出等量关系
4.列：列出方程
5.解：解方程，求出未知数的值
6.验：检验方程的解能否保证实际问题有意义
7.答：写出答语
新知导入
动脑筋
如图，在一长为40cm、宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后， 折成一个无盖的长方体形盒子. 若已知长方体形盒子的底面积为364cm2， 求截去的四个小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为xcm， 则无盖长方体形盒子的底面长与宽分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm.
根据等量关系， 可以列出方程
(40-2x)(28-2x)=364．
新知导入
将铁皮截去四个小正方形后， 可以得到下图． 这个长方体形盒子的底面就是图中的阴影部分， 因此本问题涉及的等量关系是：
盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽.
新知导入
整理， 得x2-34x+189=0．
解得x1=27,x2=7．
如果截去的小正方形的边长为27cm， 那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm， 这超过了矩形铁皮的长(40cm) ． 因此x1=27不合题意， 应当舍去．
因此， 截去的小正方形的边长为7cm．
典例精析
例3
如图， 一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化. 若已知绿化面积为540m2，求道路的宽.
思考：虽然 “整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形， 因此不便于计算！你有方法使得计算更简单吗
典例精析
若把道路平移， 则可得到下图， 此时绿化部分就成了一个新的矩形了， 再由本问题涉及的等量关系： 矩形的面积 = 矩形的长 × 矩形的宽， 就可建立一个一元二次方程．
若设道路宽为x m
新矩形的长：(32-x) m
新矩形的宽：(20-x) m
新矩形的面积： (32-x)(20-x) m2
典例精析
解：设道路宽为x m， 则新矩形的长为(32-x) m， 宽为(20-x) m.
根据等量关系得 (32-x)(20-x)=540.
整理，得x2-52x+100=0.
解得 x1=2，x2=50（不合题意，舍去）.
答： 道路宽为2 m.
思考：为什么x=50不符合题意？
矩形地面的长为32m、宽为20m，因为50>20,道路的宽不能大于地面的宽，所以x=50不符合题意
典例精析
利用一元二次方程解决几何图形问题的方法:
几何图形问题,一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可,不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程.
典例精析
例4
如图所示， 在△ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8cm. 点 P沿 AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点 C 向终点 B 以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ 的面积为9 cm2
典例精析
解：设点P，Q出发x s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm2.
根据题意得 AP=x cm，PC=(6-x) cm，CQ=2x cm.
则由 S△PCQ=PC·CQ 可得
·(6-x)·2x=9.
整理， 得 x2-6x+9=0.
解得x1=x2=3.
答：点P，Q同时出发 3 s 后可使△PCQ的面积为9 cm2.
典例精析
利用一元二次方程解决动点问题:
在解决动点问题时,应先分析点的运动过程,画出代表图形和临界图形,然后设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度,再根据题目中的等量关系列方程求解.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( )
A．x(x－10)＝375
B．x(x＋10)＝375
C．2x(2x－10)＝375
D．2x(2x＋10)＝375
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过____s后，P，Q两点之间相距25 cm.
10
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为 m.
1
4.如图，在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则________秒时，△BPQ的面积是6cm2．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2或3
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝ ______时，S△DPQ＝28cm2．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2或4
6.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是_________________.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
(32－2x)(20－x)＝570
【综合拓展类作业】
课堂练习
如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．若长方形纸板边长分别为40 cm和30 cm，且折成的长方体盒子表面积是950 cm2，求此时长方体盒子的体积．
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：设剪掉的小正方形的边长为x cm，根据题意，得2x2＋20x×2＝30×40－950，x2＋20x－125＝0，
解这个方程得x1＝5，x2＝－25(不合题意，应舍去)，
当x＝5时，长方体盒子的体积为
x(30－2x)(20－x)＝5×(30－2×5)×(20－5)＝1 500(cm3)，
答：此时长方体盒子的体积为1 500 cm3
课堂总结
利用一元二次方程解决动点问题:
在解决动点问题时,应先分析点的运动过程,画出代表图形和临界图形,然后设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度,再根据题目中的等量关系列方程求解.
利用一元二次方程解决几何图形问题的方法:
几何图形问题,一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可,不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程.
板书设计
几何图形问题：
：
2.5一元二次方程的应用(2)
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或s
B．1s或s
C．s
D．2s或s
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是( )
A．(40－x)(70－x)＝2450
B．(40－x)(70－x)＝350
C．(40－2x)(70－3x)＝2450
D．(40－2x)(70－3x)＝350
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.以正方形木板的边长为长，在正方形木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是( )
A．8 cm2
B．8 cm2或64 cm2
C．64 cm2
D．36 cm2
C
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm
(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．
【综合拓展类作业】
作业布置
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于6 cm2，依题意，得(5－x)·2x＝6，解得x1＝2，x2＝3.故2秒或3秒后，△PBQ的面积等于6 cm2；
(2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，依题意，得(5－x)2＋(2x)2＝52，解得x1＝0(舍)x2＝2.故2秒后，PQ的长度等于5 cm；
(3)设x秒后，△PQB的面积等于8 cm2，依题意，得(5－x)·2x＝8，化简得x2－5x＋8＝0，∵Δ＝(－5)2－4×8＝－7＜0，∴该方程实数无解．故△PQB的面积不能等于8 cm2.
Thanks!
2
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分课时教学设计
第二课时《2.5一元二次方程的应用（2）》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 一元二次方程在面积（体积）问题中的应用是初中数学中的重要内容，它涉及将几何图形的面积或体积计算与一元二次方程相结合，通过数学建模解决实际问题。这类问题不仅考查学生对一元二次方程解法的掌握程度，还考验他们分析问题、抽象问题以及将实际问题转化为数学问题的能力。
学习者分析 学生在学习一元二次方程的应用——面积（体积）问题之前，已经掌握了一元一次方程、二元一次方程组等基础知识，具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力。同时，他们也学习了一些基本的几何知识，如矩形、正方形、长方体等几何图形的面积和体积计算公式。这些都有利于学生探究一元二次方程的应用——面积（体积）问题。
教学目标 1.掌握一元二次方程在面积（体积）问题中的应用方法。 2.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案。 3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，培养学生的数学建模能力。 4.通过自主探究、合作交流等方式，提高学生的分析问题和解决问题的能力。 5.使学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用，增强他们的应用意识和实践能力。
教学重点 掌握一元二次方程在面积（体积）问题中的应用方法
教学难点 如何根据面积（体积）之间的等量关系建立数学模型，并求解方程以得到问题的答案
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 1.审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量 2.设：设未知数 3.找：找出等量关系 4.列：列出方程 5.解：解方程，求出未知数的值 6.验：检验方程的解能否保证实际问题有意义 7.答：写出答语学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋 如图，在一长为40cm、宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后， 折成一个无盖的长方体形盒子. 若已知长方体形盒子的底面积为364cm2， 求截去的四个小正方形的边长. 教师讲授：将铁皮截去四个小正方形后，可以得到下图． 这个长方体形盒子的底面就是图中的阴影部分， 因此本问题涉及的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽. 答案： 解：设截去的小正方形的边长为xcm， 则无盖长方体形盒子的底面长与宽分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm. 根据等量关系， 可以列出方程 (40-2x)(28-2x)=364． 整理， 得x2-34x+189=0． 解得x1=27,x2=7． 如果截去的小正方形的边长为27cm， 那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm， 这超过了矩形铁皮的长(40cm) ． 因此x1=27不合题意， 应当舍去． 因此， 截去的小正方形的边长为7cm．学生活动2： 学生读题，认真思考 分析题中的等量关系 动手解题，举手展示答案 学生认真听讲 活动意图说明：使学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，培养学生的数学建模能力，使学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用，增强他们的应用意识和实践能力。环节三：例题精析教师活动3： 例3如图， 一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化. 若已知绿化面积为540m2，求道路的宽. 思考：虽然 “整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形， 因此不便于计算！你有方法使得计算更简单吗？ 教师讲授：若把道路平移， 则可得到下图， 此时绿化部分就成了一个新的矩形了， 再由本问题涉及的等量关系： 矩形的面积 = 矩形的长 × 矩形的宽， 就可建立一个一元二次方程． 解：设道路宽为x m， 则新矩形的长为(32-x) m， 宽为(20-x) m. 根据等量关系得 (32-x)(20-x)=540. 整理，得x2-52x+100=0. 解得 x1=2，x2=50（不合题意，舍去）. 答： 道路宽为2 m. 思考：为什么x=50不符合题意？ 教师讲授：矩形地面的长为32m、宽为20m，因为50>20,道路的宽不能大于地面的宽，所以x=50不符合题意 利用一元二次方程解决几何图形问题的方法: 几何图形问题,一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可,不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 例4如图所示， 在△ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8cm. 点 P沿 AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点 C 向终点 B 以2 cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ 的面积为9 cm2 解：设点P，Q出发x s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm2. 根据题意得 AP=x cm，PC=(6-x) cm，CQ=2x cm. 则由 S△PCQ=PC·CQ 可得(6-x)·2x=9. 整理， 得x2-6x+9=0. 解得x1=x2=3. 答：点P，Q同时出发 3 s 后可使△PCQ的面积为9 cm2. 教师讲授： 利用一元二次方程解决动点问题: 在解决动点问题时,应先分析点的运动过程,画出代表图形和临界图形,然后设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度,再根据题目中的等量关系列方程求解.学生活动3： 学生读题，认真思考 学生认真思考，观察如何使计算更简便 认真听讲，体会其中的转化思想 学生进行解答，举手展示答案 认真听讲 理解为什么x=50不符合题意 学生认真听讲，了解利用一元二次方程解决几何图形问题的方法 学生读题，认真思考 学生进行解答，举手展示答案 认真听讲 学生认真听讲，了解利用一元二次方程解决动点问题活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 利用一元二次方程解决几何图形问题的方法: 几何图形问题,一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可,不规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 利用一元二次方程解决动点问题: 在解决动点问题时,应先分析点的运动过程,画出代表图形和临界图形,然后设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度,再根据题目中的等量关系列方程求解.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( ) A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375 C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375 2.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过____s后，P，Q两点之间相距25 cm. 3.如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为 m． 选做题： 4.如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝___时，S△DPQ＝28cm2． 6.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是_________________. 【综合拓展类作业】 如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．若长方形纸板边长分别为40 cm和30 cm，且折成的长方体盒子表面积是950 cm2，求此时长方体盒子的体积．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ） A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s 2.如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是( ) A．(40－x)(70－x)＝2 450 B．(40－x)(70－x)＝350 C．(40－2x)(70－3x)＝2 450 D．(40－2x)(70－3x)＝350 3.以正方形木板的边长为长，在正方形木板上锯掉一块2 cm宽的长方形木条，剩下部分的面积是48 cm2，那么原正方形木板的面积是( ) A．8 cm2 B．8 cm2或64 cm2 C．64 cm2 D．36 cm2 【综合拓展类作业】 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2 (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm (3)在(1)中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．
教学反思 对于面积（体积）问题，直观教学尤为重要。通过展示图形和实物模型，学生可以更直观地理解几何形状的特点和计算方法。然而，在实际教学中，我发现部分学生对图形的变换和组合感到困惑。因此，在未来的教学中，我将更加注重图形的动态演示和分步解析，以帮助学生更好地理解。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第二章
课标要求 1.能根据现实情境理解一元二次方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。4.了解一元二次方程的根与系数的关系。5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是湘教版九年级下册第二章《一元二次方程》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“方程与不等式”.一元二次方程是初中数学的重要内容之一，在初中代数中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以巩固前面学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识，并为后续学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识打下基础。此外，一元二次方程也是解决实际问题的重要工具，对于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
学情分析 学生基础情况：学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程等基础知识，对方程的概念和一般形式有了一定的了解。然而，对于一元二次方程这一新内容，学生可能会感到陌生和困难。学生学习态度与能力：部分学生对数学有浓厚的兴趣，能够积极参与课堂讨论和合作探究活动；但也有部分学生对数学缺乏兴趣，学习动力不足。学生在数学思维能力、自主学习能力、合作交流能力等方面存在差异，部分学生可能缺乏这些能力或未能充分发挥出来。学生学习习惯与方法：部分学生已经养成了良好的学习习惯和有效的学习方法，能够独立完成作业并主动预习和复习；但也有部分学生缺乏良好的学习习惯和方法，需要教师进行引导和帮助。
单元目标 （一）教学目标1.使学生理解一元二次方程的基本概念、一般形式及其各项系数（包括二次项系数、一次项系数、常数项）的含义，并能正确识别。2.使学生掌握一元二次方程的四种基本解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），并能在不同情境下灵活运用。3.使学生能够利用一元二次方程解决简单的实际问题，包括建立数学模型、列方程、求解及验证解的合理性等步骤。4.通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生的自主学习能力、合作交流能力和解决问题的能力。5.引导学生经历一元二次方程解法的探索过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，以及“化归”思想和“降次”策略。（二）教学重点、难点教学重点：1.一元二次方程的概念及其一般形式。2.一元二次方程的四种基本解法及其应用。3.利用一元二次方程解决简单实际问题的步骤和方法。教学难点：1.从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型。2.理解和掌握一元二次方程求根公式的推导过程及其应用。3.根据一元二次方程根的情况确定判别式的值的符号，以及利用判别式判断一元二次方程根的情况。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1一元二次方程12.2一元二次方程的解法62.3一元二次方程根的判别式12.4一元二次方程根与系数的关系12.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1一元二次方程1.理解一元二次方程的定义.2.知道一元二次方程的一般形式.4.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.1.能识别一元二次方程.2．能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.任务一：通过实际问题引入一元二次方程的概念.任务二：理解一元二次方程的定义.任务三：知道一元二次方程的一般形式.任务四：习题检测.2.2.1配方法（1）1.理解什么叫做一元二次方程的根.2.学生能够理解并掌握直接开平方法解一元二次方程的基本步骤和原理.3.通过观察和思考，学生能够体会到将复杂问题转化为简单问题的数学思想.能够熟练地将一元二次方程转化为可开平方的形式，并求出其解.任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：观察和思考，将一元二次方程转化为一元一次方程.任务三：理解并掌握直接开平方法解一元二次方程的基本步骤和原理.任务四：习题检测.2.2.1配方法（2）1.学生能够理解配方法的基本原理和解题步骤.2.学生能够熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.3.通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法.能够熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法和完全平方公式.任务二：通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法.任务三：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.1配方法（3）1.进一步掌握配方的方法.2.掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤.3.学生能够理解并掌握用配方法解一般形式的一元二次方程的基本原理和步骤.4.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.任务一：回顾用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤.任务二：探究用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.任务三：运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.2公式法1.理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程.2.能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程.3.通过观察、推导、交流归纳等活动，培养学生的合情推理与归纳总结的能力.能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法和配方法.任务二：经历一元二次方程求根公式的推导过程.任务三：运用公式法解一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.3因式分解法（1）1.掌握应用因式分解法解一元二次方程的基本步骤和方法.2.能正确、熟练地运用因式分解法解一元二次方程.3.通过观察、比较和归纳等数学活动，体会“降次”和“等价转化”的数学思想方法。培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力.能正确、熟练地运用因式分解法解一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法、配方法和公式法.任务二：体会“降次”和“等价转化”的数学思想方法.任务三：运用因式分解法解一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.3因式分解法（2）1.理解并掌握四种一元二次方程的解法2.学生能够熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能根据方程的具体形式灵活选择适当的解法。3.学生能够理解不同解法之间的联系和区别，掌握解题的一般步骤和技巧。能够熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能根据方程的具体形式灵活选择适当的解法任务一：回顾四种解法.任务二：根据方程的具体形式灵活选择适当的解法.任务三：巩固四种一元二次方程的解法.任务四：习题检测.2.3一元二次方程根的判别式1.掌握一元二次方程根的判别式（即b -4ac）的概念和表示方法。2.能用根的判别式判断一元二次方程的根的情况（包括是否有实数根、两个实数根是否相等）。3.能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数的取值范围。1.能用根的判别式判断一元二次方程的根的情况（包括是否有实数根、两个实数根是否相等）2. 能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数的取值范围任务一：回顾四种解法.任务二：经历一元二次方程根的判别式定理的推导过程.任务三：综合运用根的判别式解决问题.任务四：习题检测.2.4一元二次方程根与系数的关系1.学生能够理解并掌握一元二次方程根与系数的关系定理及其证明方法.2.学生能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积.3.学生能够运用根与系数的关系解决一些实际问题.1.能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积.2.能够运用根与系数的关系解决一些实际问题.任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系.任务三：运用根与系数的关系解决一些实际问题.任务四：习题检测.2.5一元二次方程的应用（1）1.学生能够理解和掌握平均增长率问题和销售利润问题的数学模型.2.学生能够运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.3.学生能够分析并解释问题的解，判断解的合理性.能够运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.任务一：回顾解应用题的一般步骤.任务二：探究平均增长率问题和销售利润问题.任务三：运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.任务四：习题检测.2.5一元二次方程的应用（2）1.掌握一元二次方程在面积（体积）问题中的应用方法.2.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：探究一元二次方程在面积（体积）问题中的应用任务三：运用一元二次方程解决面积（体积）问题.任务四：习题检测.
《一元二次方程》单元教学设计
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