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分课时教学设计
第一课时《2.4一元二次方程根与系数的关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 一元二次方程根与系数的关系是初中数学的重要内容，这一知识点是在学生学习了一元二次方程的解法之后引入的，它深化了学生对一元二次方程两根与系数之间关系的理解，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，也是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多实际问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛地应用。
学习者分析 1.认知基础 学生在学习一元二次方程根与系数的关系之前，已经掌握了一元二次方程的一般形式、解法（如公式法、配方法、因式分解法等）以及根的判别式等知识点。这些基础知识为学生学习根与系数的关系提供了必要的认知基础。 2.认知障碍 部分学生可能对一元二次方程的解法掌握不够熟练，导致在推导根与系数的关系时遇到困难。 学生对代数式的变形和运算能力可能存在不足，影响对根与系数关系的理解和应用。 部分学生可能缺乏自主学习的能力和习惯，对新知识的学习缺乏主动性和积极性。 3.认知发展线 从学生现有的认知基础出发，通过教师的引导和学生的自主探究，逐步揭示一元二次方程根与系数之间的关系，并引导学生掌握该关系的证明方法和应用技巧。同时，通过大量的练习和巩固，提高学生的解题能力和应用能力。
教学目标 1.学生能够理解并掌握一元二次方程根与系数的关系定理及其证明方法。 2.学生能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积。 3.学生能够运用根与系数的关系解决一些实际问题。 4.通过问题的引导，学生能够发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系。 5.在探究过程中，学生能够感受由特殊到一般地认识事物的规律。
教学重点 一元二次方程根与系数的关系定理及其证明方法
教学难点 探索发现一元二次方程根与系数关系的过程
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 如何根据的值判断一元二次方程的根的情况： 当>0时，原方程有两个不相等的实数根 x1=, x2=； 当=0时， 原方程有两个相等的实数根， 其根为 x1=x2 =； 当<0 时， 原方程没有实数根.学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 做一做 (1)先解方程， 再填表： 方程x1x2x1+x2x1x2x2-2x=002x2+3x-4=0x2-5x-6=0
由上表猜测： 若方程x2+bx+c=0的两个根为x1x2, 则x1+x2=_________， x1x2=______________ ； (2)方程x2-5x+6=0的两个根为x1=—————， x2=—————， 根据 2.2 节例 8 下面的一段话， 得x2-5x-6=0=(x-_____)(x-_____). 答案：(1)2,0;1,-4,-3,-4;-1,6,5,-6;-b,c. (2)2,3;2,3. 动脑筋 对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，当≥0 时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？ 教师讲授： 当≥0时，设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1, x2,则 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)= a[x2-(x1+x2)x+x1x2], 又ax2+bx+c=a(x2+x+), 于是x2+x+=x2-(x1+x2)x+x1x2. 则=-(x1+x2)， =x1x2. 即=-，x1x2=. 教师讲授： 当≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为 x1=, x2=； 经计算可得=-=-, x1x2= . 这表明， 当≥ 0 时， 一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根的积等于常数项与二次项系数的比.学生活动2： 进行计算，探索规律 认真听讲 独立思考，合作交流，举手回答问题 认真听讲 利用不同的方法解决问题 学生认真听讲，理解韦达定理 活动意图说明：使学生经历韦达定理的探究过程，通过合作探究促进学生的合作意识，同时还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精析教师活动3： 例1根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程的两根x1, x2的和与积： (1)2x2-3x+1=0; (2)x2-3x+2=10; (3) 7x2-5=x+8. 解：(1) =-=-=，x1x2==. (2)整理，得x2-3x-8=0,所以 =-(-3)=，x1x2=-8. (3)整理，得7x2-x-13=0,所以 =-=，x1x2 ==-. 例2已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q 的值. 解：设x2+3x+q=0的另一个根为x2， 则(-3)+x2=-3. 解得x2=0. 由根与系数之间的关系得q=(-3)×0=0. 因此，方程的另一个根是0，q的值为0. 教师提问：还可用其它方法求出q的值吗？ 解：将x=-3代入x2+3x+q=0中，得 (-3)2+3×(-3)+q=0. 解得q=0. 则x2+3x=0， 提取公因式得x(x+3)=0, 解得=-3. 因此，方程的另一个根是0.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 韦达定理：设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1, x2,则=-，x1x2=. 当≥ 0 时， 一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根的积等于常数项与二次项系数的比.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1 x2的值是（ ） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3 2.已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ） A．－3 B．2 C．3 D．－4 3.以﹣2和3为两根的一元二次方程是（ ） A．x2+x﹣6=0 B．x2﹣x﹣6=0 C．x2+6x﹣1=0 D．x2﹣6x+1=0 选做题： 4.若 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 5.已知、是方程的两根，则 . 【综合拓展类作业】 已知一元二次方程 . （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为 ， ，且 ，求m的值.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若.则的值为（ ） A． B． C． D． 2.关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是 ． 3.已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为 . 【综合拓展类作业】 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值．
教学反思 通过本节课的学习，大部分学生能够掌握一元二次方程根与系数的关系定理及其证明方法，并能够运用该关系解决一些实际问题。但是，仍有部分学生在应用过程中存在困难，如代数式的变形和运算能力不足等。针对这些问题，教师需要在后续的教学中加强练习和巩固，提高学生的解题能力和应用能力。
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（湘教版）九年级
上
2.4一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
第二章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.学生能够理解并掌握一元二次方程根与系数的关系定理及其证明方法。
2.学生能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积。
3.学生能够运用根与系数的关系解决一些实际问题。
4.通过问题的引导，学生能够发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系。
5.在探究过程中，学生能够感受由特殊到一般地认识事物的规律。
新知导入
如何根据的值判断一元二次方程的根的情况：
当>0时，原方程有两个不相等的实数根
x1=, x2=；
当=0时， 原方程有两个相等的实数根， 其根为
x1=x2 =；
当<0 时， 原方程没有实数根.
新知导入
做一做
(1)先解方程， 再填表：
方程 x1 x2 x1+x2
x2-2x=0 0 2
x2+3x-4=0
x2-5x-6=0
2
0
1
-4
-3
-4
-1
6
5
-6
由上表猜测： 若方程x2+bx+c=0的两个根为x1x2, 则x1+x2=_________， x1x2=______________ ；
-b
c
新知导入
(2)方程x2-5x+6=0的两个根为x1=—————， x2=—————，
根据 2.2 节例 8 下面的一段话， 得x2-5x-6=0=(x-_____)(x-_____).
3
2
3
2
动脑筋
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，当≥0 时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
新知导入
当≥0时，设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1, x2,则
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)= a[x2-(x1+x2)x+x1x2],
又ax2+bx+c=a(x2+x+),
于是x2+x+=x2-(x1+x2)x+x1x2.
则=-(x1+x2)， =x1x2.
即=-，x1x2=.
这个关系通常被称为韦达定理。
新知导入
当≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为
x1=, x2=；
经计算可得=-=-, x1x2= .
这表明， 当≥ 0 时， 一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根的积等于常数项与二次项系数的比.
典例精析
例1
根据一元二次方程根与系数的关系， 求下列方程的两根x1, x2的和与积：(1)2x2-3x+1=0; (2)x2-3x+2=10; (3) 7x2-5=x+8.
解：(1) =-=-=，x1x2==.
(2)整理，得x2-3x-8=0,所以
=-(-3)=，x1x2=-8.
(3)整理，得7x2-x-13=0,所以
=- = ，x1x2 = = -.
典例精析
例2
已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q 的值.
解：设x2+3x+q=0的另一个根为x2，
则(-3)+x2=-3.
解得x2=0.
由根与系数之间的关系得q=(-3)×0=0.
因此，方程的另一个根是0，q的值为0.
还可用其它方法求出q的值吗？
典例精析
例2
已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q 的值.
解：将x=-3代入x2+3x+q=0中，得
(-3)2+3×(-3)+q=0.
解得q=0.
则x2+3x=0，
提取公因式得x(x+3)=0,
解得=-3.
因此，方程的另一个根是0.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-3
2.已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．－3 B．2 C．3 D．－4
3.以-2和3为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+x-6=0 B．x2-x-6=0 C．x2+6x=1=0 D．x2-6x+1=0
D
C
B
4.若 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．-5
5.已知、是方程的两根，则
.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
B
-1
【综合拓展类作业】
课堂练习
已知一元二次方程 .
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为 ， ，且 ，求m的值.
(1)解：∵方程x2 3x＋m＝0有两个实数根，
∴=( 3)2 4m≥0，
解得m≤ ；
【综合拓展类作业】
课堂练习
已知一元二次方程 .
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为 ， ，且 ，求m的值.
（2）解：由两根关系可知，x1＋x2＝3，x1 x2＝m，
解方程组 ，
解得 ，
∴m＝x1 x2＝2.
课堂总结
韦达定理：设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1, x2,则=-，x1x2=.
当≥ 0 时， 一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根的积等于常数项与二次项系数的比.
板书设计
推导过程：
：
2.4一元二次方程根与系数的关系
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若.则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是 ．
3.已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则
的值为 .
13
【综合拓展类作业】
作业布置
已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值．
（1）解：因为 关于x的一元二次方程有实数根 ，
所以，解得．
【综合拓展类作业】
作业布置
（2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值．
（2）解：∵．
∴．
解这个方程，．
∴k的值为.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第二章
课标要求 1.能根据现实情境理解一元二次方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。4.了解一元二次方程的根与系数的关系。5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是湘教版九年级下册第二章《一元二次方程》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“方程与不等式”.一元二次方程是初中数学的重要内容之一，在初中代数中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以巩固前面学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识，并为后续学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识打下基础。此外，一元二次方程也是解决实际问题的重要工具，对于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
学情分析 学生基础情况：学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程等基础知识，对方程的概念和一般形式有了一定的了解。然而，对于一元二次方程这一新内容，学生可能会感到陌生和困难。学生学习态度与能力：部分学生对数学有浓厚的兴趣，能够积极参与课堂讨论和合作探究活动；但也有部分学生对数学缺乏兴趣，学习动力不足。学生在数学思维能力、自主学习能力、合作交流能力等方面存在差异，部分学生可能缺乏这些能力或未能充分发挥出来。学生学习习惯与方法：部分学生已经养成了良好的学习习惯和有效的学习方法，能够独立完成作业并主动预习和复习；但也有部分学生缺乏良好的学习习惯和方法，需要教师进行引导和帮助。
单元目标 （一）教学目标1.使学生理解一元二次方程的基本概念、一般形式及其各项系数（包括二次项系数、一次项系数、常数项）的含义，并能正确识别。2.使学生掌握一元二次方程的四种基本解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），并能在不同情境下灵活运用。3.使学生能够利用一元二次方程解决简单的实际问题，包括建立数学模型、列方程、求解及验证解的合理性等步骤。4.通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生的自主学习能力、合作交流能力和解决问题的能力。5.引导学生经历一元二次方程解法的探索过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，以及“化归”思想和“降次”策略。（二）教学重点、难点教学重点：1.一元二次方程的概念及其一般形式。2.一元二次方程的四种基本解法及其应用。3.利用一元二次方程解决简单实际问题的步骤和方法。教学难点：1.从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型。2.理解和掌握一元二次方程求根公式的推导过程及其应用。3.根据一元二次方程根的情况确定判别式的值的符号，以及利用判别式判断一元二次方程根的情况。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1一元二次方程12.2一元二次方程的解法62.3一元二次方程根的判别式12.4一元二次方程根与系数的关系12.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1一元二次方程1.理解一元二次方程的定义.2.知道一元二次方程的一般形式.4.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.1.能识别一元二次方程.2．能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.任务一：通过实际问题引入一元二次方程的概念.任务二：理解一元二次方程的定义.任务三：知道一元二次方程的一般形式.任务四：习题检测.2.2.1配方法（1）1.理解什么叫做一元二次方程的根.2.学生能够理解并掌握直接开平方法解一元二次方程的基本步骤和原理.3.通过观察和思考，学生能够体会到将复杂问题转化为简单问题的数学思想.能够熟练地将一元二次方程转化为可开平方的形式，并求出其解.任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：观察和思考，将一元二次方程转化为一元一次方程.任务三：理解并掌握直接开平方法解一元二次方程的基本步骤和原理.任务四：习题检测.2.2.1配方法（2）1.学生能够理解配方法的基本原理和解题步骤.2.学生能够熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.3.通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法.能够熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法和完全平方公式.任务二：通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法.任务三：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.1配方法（3）1.进一步掌握配方的方法.2.掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤.3.学生能够理解并掌握用配方法解一般形式的一元二次方程的基本原理和步骤.4.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.任务一：回顾用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤.任务二：探究用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.任务三：运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.2公式法1.理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程.2.能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程.3.通过观察、推导、交流归纳等活动，培养学生的合情推理与归纳总结的能力.能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法和配方法.任务二：经历一元二次方程求根公式的推导过程.任务三：运用公式法解一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.3因式分解法（1）1.掌握应用因式分解法解一元二次方程的基本步骤和方法.2.能正确、熟练地运用因式分解法解一元二次方程.3.通过观察、比较和归纳等数学活动，体会“降次”和“等价转化”的数学思想方法。培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力.能正确、熟练地运用因式分解法解一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法、配方法和公式法.任务二：体会“降次”和“等价转化”的数学思想方法.任务三：运用因式分解法解一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.3因式分解法（2）1.理解并掌握四种一元二次方程的解法2.学生能够熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能根据方程的具体形式灵活选择适当的解法。3.学生能够理解不同解法之间的联系和区别，掌握解题的一般步骤和技巧。能够熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能根据方程的具体形式灵活选择适当的解法任务一：回顾四种解法.任务二：根据方程的具体形式灵活选择适当的解法.任务三：巩固四种一元二次方程的解法.任务四：习题检测.2.3一元二次方程根的判别式1.掌握一元二次方程根的判别式（即b -4ac）的概念和表示方法。2.能用根的判别式判断一元二次方程的根的情况（包括是否有实数根、两个实数根是否相等）。3.能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数的取值范围。1.能用根的判别式判断一元二次方程的根的情况（包括是否有实数根、两个实数根是否相等）2. 能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数的取值范围任务一：回顾四种解法.任务二：经历一元二次方程根的判别式定理的推导过程.任务三：综合运用根的判别式解决问题.任务四：习题检测.2.4一元二次方程根与系数的关系1.学生能够理解并掌握一元二次方程根与系数的关系定理及其证明方法.2.学生能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积.3.学生能够运用根与系数的关系解决一些实际问题.1.能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积.2.能够运用根与系数的关系解决一些实际问题.任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系.任务三：运用根与系数的关系解决一些实际问题.任务四：习题检测.2.5一元二次方程的应用（1）1.学生能够理解和掌握平均增长率问题和销售利润问题的数学模型.2.学生能够运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.3.学生能够分析并解释问题的解，判断解的合理性.能够运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.任务一：回顾解应用题的一般步骤.任务二：探究平均增长率问题和销售利润问题.任务三：运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.任务四：习题检测.2.5一元二次方程的应用（2）1.掌握一元二次方程在面积（体积）问题中的应用方法.2.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：探究一元二次方程在面积（体积）问题中的应用任务三：运用一元二次方程解决面积（体积）问题.任务四：习题检测.
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