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2.5 函数与方程
2.5.1二次函数与一元二次方程
1、探究二次函数与对应的一元二次方程间的关系：
观察二次函数 的图象，研究图象上的一些特殊点以及一元二次方程 的根，你有什么发现？
结论：（1）一元二次方程 的两个实数根就是二次函数 的图象和x轴交点的横坐标；
（2）一元二次方程 的两个实数根就是二次函数 的函数值等于0时的自变量x的值.
研究一元二次方程 的根的个数及其判别式与二次函数 的开口方向及其顶点位置，你能得到什么结论？
结论：（1）一元二次方程 有两个不相等的实数根，判别式△>0；
（2）二次函数 图象的开口向上，顶点在x轴的下方；
（3）一元二次方程 的两个不相等的实数根 判别式△>0 二次函数 图象的开口向上且顶点在x轴的下方.
例1（《课本》P.74）求证一元二次方程 有两个不相等的实数根.
证法一：因为方程 的判别式 ，
所以方程 有两个不相等的实数根.
证法二：设 ，
因为它的图象是一条开口向上的抛物线
且 ，
所以方程 有两个不相等的实数根.
2、零点概念：
一般地，方程的实数根又叫做函数的零点.
注意：“零点”是数，不是“点”！
例2（《课本》P.75）如图是一个二次函数 的图象.
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3）分别指出 ，
与零的大小关系.
解：（1）由图象知函数的零点是 ；
（2）方法一：设二次函数的解析式为
，
方法二：设二次函数的解析式为 ，
方法三：设二次函数的解析式为 ，
（3）
结论：（1）如果二次函数 对于实数
，有 ，那么存在惟一的 ，使得 ；
（2）如果连续函数 对于实数
，有 ，那么一般的存在奇数个 ，使得 .
补例1 已知 是方程
的两个实根，求 的最大值和最小值.
补例2 已知函数 ，
求实数a的取值范围，使函数 在区间
上是单调函数.
补例3 设函数 在区间 上有最小值 和最大值 ，求 和 的解析式.
3、一元二次方程根的分布研究：
补例4 当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：
（1）方程 的两个根一个
大于2，另一个小于2；
（2）方程 的根都小于1；
（3）方程 的两根都
在区间 上；
（4）方程 的一根在
区间 ，另一根在区间 上；
（5）方程 至少有一个实根小于
－1.
补例5 如果关于x的一元二次方程
的正根小于3，试讨论这样的一元二次方程
的个数.
