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1教学目标2学情分析3重点难点4教学过程
4.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】创设情境，引入新课：
我们知道等式 是关于x的一元二次方程，关系式 则是关于自变量x的一个二次函数。那么二次函数与对应的一元二次方程有什么关系？它们有哪些联系？这些联系对于研究函数问题有怎样的作用？这就是我们本节所要研究的问题！出示课题：2.5.1二次函数与一元二次方程
活动2【讲授】探究二次函数与对应的一元二次方程间的关系
观察二次函数 的图象，研究图象上的一些特殊点以及一元二次方程 的根，你有什么发现？
结论：（1）一元二次方程 的两个实数根就是二次函数
的图象和x轴交点的横坐标；
（2）一元二次方程 的两个实数根就是二次函数 的函数值等于0时的自变量x的值.
研究一元二次方程 的根的个数及其判别式与二次函数
的开口方向及其顶点位置，你能得到什么结论？
结论：（1）一元二次方程 有两个不相等的实数根，判别式 ；（2）二次函数 图象的开口向上，顶点在x轴的下方；
（3）一元二次方程 的两个不相等的实数根 判别式 二次函数 图象的开口向上且顶点在x轴的下方.
例1（《课本》P.74）求证一元二次方程 有两个不相等的实数根.
证法一：因为方程 的判别式 ，
所以方程 有两个不相等的实数根.
证法二：设 ，
因为它的图象是一条开口向上的抛物线且 ，
所以方程 有两个不相等的实数根.
活动3【讲授】零点概念
一般地，方程 的实数根又叫做函数 的零点.
例2（《课本》P.75）如图是一个二次函数 的图象.
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3）分别指出 ， 与零的大小关系.
解：（1）由图象知函数 的零点是 ；
（2）方法一：设二次函数的解析式为 ，
据题意 解得 ，
故这个二次函数的解析式为 ；
方法二：设二次函数的解析式为 ，由 可得 ，故这个二次函数的解析式为 ；
方法三：设二次函数的解析式为 ，由 可得 ，故这个二次函数的解析式为 ；
（3）
.
结论：（1）如果二次函数 对于实数 ，有 ，那么存在惟一的 ，使得 ；
（2）如果连续函数 对于实数 ，有 ，那么一般的存在奇数个 ，使得 .
补例1 已知 是方程 的两个实根，求 的最大值和最小值.
略解：由 得 ， 为减函数，所以，当 时， 取最大值18，当 时， 取最小值 .
补例2 已知函数 ，求实数a的取值范围，使函数 在区间 上是单调函数.
略解： ，在 上减，在 上增，所以，要使 在 上减只要 ，要使 在 上增只要 ，综上，当 时，函数 在区间 上是单调函数.
补例3 设函数 在区间 上有最小值 和最大值 ，求 和 的解析式.
略解： ，对称轴为 ，
当 时， 在 上增， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 在 上减， ，
综上： ，
活动4【讲授】一元二次方程根的分布研究
设一元二次方程 的二根为
（1）古典方式——韦达定理
情形1：若 ，则 ；
情形2：若 ，则 ；
情形3：若 ，则 ；
情形4：若 ，则 ；
……
（2）现代方式——数形结合
情形1：若 ，则 ；
情形2：若 ，则 ；
情形3：若 ，则 ；
情形4：若 ，则 ；
情形5：若 ，则 ；
……
补例4 当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：
（1）方程 的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程 的根都小于1；
（3）方程 的两根都在区间 上；
（4）方程 的一根在区间 ，另一根在区间 上；
（5）方程 至少有一个实根小于－1.
略解：（1）设 ，据题意： ，所以实数a的取值范围是 ；
（2）当 时， 满足题意；
当 时，设 ，据题意：
解得 ，综上，实数a的取值范围是 ；
（3）设 ，据题意：
解得
所以实数a的取值范围是 ；
（4）设 ，据题意：
，解得 即 ，
所以实数a的取值范围是 ；
变题：若将两个区间改为 呢？
（5）设 ，
若方程的两个实根都小于－1，则 解得 ；
若方程的一根小于－1，另一根大于－1，则 解得 ；
若方程中恰好有一根等于－1，由韦达定理知另一根为－2，此时
综上，实数a的取值范围是 ；
略解：由 知方程的根一正一负，设 则 ，即 ，由于 ，所以 或 ，于是共有7组 符合题意，即这样的二次方程有7个.
活动5【作业】作业
1、判断方程 （其中 ）在区间 内是否有解？
（答：有解）
2、若关于x的方程 有一根在 内，另一根在区间 内，求m的取值范围.
3、若关于x的方程 在 内有根，求m的取值范围.
1教学目标
了解关于天才的话题。
明确天才出现的原因。
2学情分析3重点难点4教学过程
4.1 第一学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
4.2 第二学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
4.3 第三学时教学目标
学时重点
学时难点教学活动
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