(共23张PPT)
2023
第22章 相似形
22.5 综合与实践 测量与误差
起航加油
知识梳理
1. 利用相似三角形解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意画出示意图；
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角或它们之间的关系；
（3）利用相似三角形的对应边成比例的性质，建立线段之间的比例式，求出未知量；
（4）写出答案.
2. 利用相似三角形的有关知识测量物体的高度或两地之间的距离，常用的测量工具有皮尺、标杆、平面镜、三角板及测角器等.
课前自测
图1
1.如图1，铁道口的栏杆短臂长 ，长臂长
．当短臂端点下降 时，长臂端点升高
( ) .
B
A. B. C. D.
图2
2.如图2， ， 两点间有一湖泊，无法直接测量
的长.现取直线 外的一点 ，测得 ，
.在 上取点 ， 上取点 ，且
，则 _______.现测得 ，
则 ____ ．
80
随堂演练
典型题析
知识点 利用相似测量物高或距离
方法指导
在用相似形知识解决实际生活中的测量问题时，关键是建立正确的有关相似形的数学模型.常见的构造相似三角形进行测量的方式有：（1）如图3，构造“A”型相似三角形；（2）如图4，构造“ ”型相似三角形.
图3
图4
图5
例 如图5，为测量山峰 的高度，在 处和 处竖
立标杆 和 ，标杆的高都是 ，相隔 ，
且 , 和 在同一平面内.从标杆 退后 到
处，可以看到山峰和标杆顶点 在同一直线上；从
标杆 退后 到 处，可以看到山峰 和标杆顶
点 在同一直线上.求山峰高度 及其与标杆 的
水平距离 的长．
思路点拨
图5
解： 由题意可知， ， ， ， .
， .
， .
， .
， ， ， ，
. 解得 .
则有 ，解得 .
当堂检测
图6
1.如图6,为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸
边选定一个目标记为点 ，再在河的这一边选 ，
， 三点，使得 ， .设 与
交于点 .现测得 , ,
,那么这条河的大致宽度是( ) .
A
A. B. C. D.
图7
2.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图7，
其中木杆 ，它的影子 ,木杆
的影子有一部分落在墙上, ,
.求木杆 的长度.（同一时刻的太阳
光线可看作是平行的）
解：过点 作 于点 ，则 , .
由题意，得 ，即 .
解得 .
所以 .
答：木杆 的长度是 .
课后达标
基础巩固
图8
1.如图8，小红在平地上利用标杆测量一棵大树的高度，移
动竖立着的标杆，使标杆影子的顶端和大树影子的顶端恰好
在地面的同一点 处.已知标杆 的高为 ，此时测得
， ，则树 的高度是( ) .
B
A. B. C. D.
图9
2.如图9，为估算某鱼塘的宽 的长度，在地面上取
点 ， ， ，使 ， ， 在同一条直线上， ，
， 在同一条直线上，且 ，
．若测得 的长为 ，则 的长为
( ) ．
C
A. B. C. D.
图10
3.（北部湾经济区中考）古希腊数学家泰勒斯
曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部
直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高
度．如图10（大致示意图），木杆 长 ，
134
它的影长 是 ，同一时刻测得 是 ，则金字塔的高度
是_____ ．
图11
4.小军想出了一个测量建筑物高度的方法：
在地面上点 处平放一面镜子，并在镜子
上做一个标记，然后向后退，直至站在
点 处恰好看到建筑物 的顶端 在镜
子中的像与镜子上的标记重合（示意图如
图11）．已知小军的眼睛距地面 ， ， ，求
这座建筑物的高度．
图11
解：由题意，得 ，
，
.
小军的眼睛距地面 ， , ， .
解得 .
答：这座建筑物的高度为 ．
能力提升
5.综合与实践
【问题情境】在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．
【问题解决】小芳的测量方法是：将一根高 的竹竿直立在离旗杆 的 处（如图12），然后沿 方向走到 处，这时目测旗杆顶部 与竹竿顶部 恰好在同一直线上，又测得 ， 两点的距离为 ，小芳的目高为 .
图12
解：这种测量方法可行．
理由：过点 作 于点 ，交 于点 ，则四边形 是矩形.
， ， ，
，
， .
【拓展探究】请判断小芳的测量方法是否可行.若你认为可行，则请计算出旗杆的高；若你认为不可行，则请说明理由，并设计一种可行的测量方法．
.
解得 .
答：旗杆的高为 ．
图12
, .
设旗杆高 ，则 .
，即 ，
明的视点 点 距地面 ，此时刚好可以看到楼 的 处， 恰
好为 ，再向前行驶一段距离到 处，小明的视点 点 距地面仍
为 ，此时刚好看不见楼 ，那么车子向前行驶的距离 _ __ .
拓展延伸
图13
6.当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，
你会发现，前方那些高一些的建筑物好像
“沉”到了位于它们前面的矮一些的建筑后
面去了.如图13，已知楼高 ，
， .在 处的车内小
图13
提示：由 ，得 . 则有
，即 . 解得 .
由 ，得 . 则有 ，
即 . 解得 . 故 . 由 ，得
. 则有 ，即 .解得 . 所以
.由 ，得 .则有 ，即 . 解得 .故 .
(共27张PPT)
2023
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第五课时 用“斜边、直角边对应成比例”判定直角三角形相似
起航加油
知识梳理
判定两个直角三角形相似的特殊方法：如果一个直角三角形的____边和
一条______边与另一个直角三角形的____边和一条______边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似.
斜
直角
斜
直角
课前自测
1.已知一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为1，3，另一个直角
三角形的一条直角边和斜边的长分别为3，9，则这两个直角三角形
( ).
A
A.相似 B.不相似 C.不一定相似 D.全等
2.下列说法不正确的是( ).
B
A.有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似
B.有一组角对应相等的两个直角三角形相似
C.两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D.一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似
3.在 和 中，.有下列条件：
，，.添加其中一个条件后，可判定
，这个条件可以是______.（填序号）
①②
随堂演练
典型题析
知识点一 判定两个直角三角形相似
方法指导
要判定两个直角三角形相似，其中已经隐含了一组直角相等的条件，因此只要再推出一组锐角相等，或两条直角边对应成比例，或斜边、一直角边对应成比例，即可判定这两个直角三角形相似.
图1
例1 如图1，已知 于点 ， 于点
， 是线段 的中点，且 ，，
.求证： .
思路点拨
易错提示 直角三角形相似的判定定理只对直角三角形成立，对其他三角形不成立.
证明 是线段 的中点，，
.
，， .
在 中，由勾股定理，得 .
图1
在 和 中， ，，
即 .
.
知识点二 分类讨论三角形的相似情况
方法指导
若题设中没有用数学符号表示两个三角形相似，即无法确定两个相似三角形的对应点、对应边，则需要进行分类讨论.
思路点拨
图2
例2 如图2，在 和 中，
，，.当 的长
是多少时，图中的两个直角三角形相似？
图2
解：在 中，由勾股定理，得 .
由题意，知 ，
故可分以下两种情况进行讨论：
①当 时，，即 ，解得 ；
②当 时，，即 ，解得 .
综上所述，当 的长是 或 时，图中的两个直角三角形相似.
当堂检测
1.下列说法中，正确的是( ).
C
A.等腰三角形都相似 B.直角三角形都相似
C.等腰直角三角形都相似 D.钝角三角形都相似
2.如图3，在 中，，， ；在 中，
，，.
图3
（1） ___， 与 ______
（填“相似”或“不相似”）.
2
相似
（2）已知 ，则 ____ .
60
图4
3.如图4，已知 ，，
，.
求证： .
证明：根据勾股定理，得
.
则 ，， .
（也可求出 的长，由判定定理2得出结论）
课后达标
基础巩固
1.在 和 中， ，，
，，，则这两个直角三角形( ).
B
A.不一定相似 B.相似 C.不相似 D.全等
图5
2.（教材第84页练习第1题变式）如图5，在 的边 ， 上的高 ， 相交于点 ，则图中共有相似三角形( ).
D
A.2对 B.4对 C.5对 D.6对
提示： .
图6
3.如图6，在矩形 中，，，点
在 边上. 当 _ __时，.
4.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角
三角形的三条边长分别是3，4和 ，那么 的值是_ ______.
5或
提示：当两个三角形的两条直角边分别为6和8，3和4时，则
.当两个三角形的斜边长分别为8，4时，
.
图7
5.如图7，网格中的每个小正方形的边长都是1，
和 的顶点都在小正方形的格点上，
的延长线交 于点 .
（1）求证： .
证明： ，， .
又 ， .
（2）求证： .
图7
解： ， .
又 ，
.
.
.
能力提升
图8
6.如图8， 是 的斜边 上异于 ， 的定点.过点 作直线与 的直角边相交，使截得的三角形与 相似，则这样的直线共有( ).
C
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
提示：如图29，过点 作 的平行线 ，或作 的垂线 ，或作 的平行线 ，所得三角形均满足题意.
图29
图9
7.（教材第84页练习第2、第4题变式）
探究与证明
【知识背景】我国古代数学家称直角三角形为勾股
形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜
边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理.
【探究分析】如图9，在 中，， 是 边上的高.求证： .（用相似形知识证明）
图9
证明： ，，
，
即 .
，，
，即
，得
.
拓展延伸
图10
8.如图10，正方形 的边长为4， 是 的中点，连接 ，点 是射线 上异于点 的一点，过点 作线段 的垂线段，垂足为 .
（1）求证： .
解： 四边形 是正方形， ，
，
. .
图10
（2）连接 ，请判断是否存在点 ，使以 ，， 为顶点的三角形与 相似.若存在，则求出 的长，若不存在，则请说明理由．
解：存在.设 ，
， 是 的中点， ，.
小锦囊 第（2）问中，可设 为 ，用含 的代数式表示出 ， 的长.再分类讨论两个三角形的相似情况，列出含 的比例式.
图10
， ，即 .
.
.
由题意可知，，当 时，，即 ，解得 .
当 时，，即 ，解得 .
综上所述，满足条件的 的长为2或5.(共24张PPT)
2023
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第二课时 用“两角相等”判定三角形相似
起航加油
知识梳理
相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角
形的两个角对应______,那么这两个三角形相似.
可简记为：两角分别______的两个三角形相似.
相等
相等
课前自测
1.在 中， ， ，在 中， ，
，则 与 ( ) .
C
A.全等 B.不相似 C.相似 D.不一定相似
图1
2.如图1， 与 相交于点 ，已知 ，
，则当 ____ 时， .
70
3.（教材第79页练习第1题变式）在等腰三角形 和等腰三角形
中， ， .有下列条件： ，
，添加其中一个条件后，可判定 .这个条
件可以是______.（填序号）
①②
随堂演练
典型题析
知识点 用“两角相等”判定三角形相似
方法指导
当两个三角形有一个公共角或已知一组角相等或由已知条件易知一组对应角相等时，只要再找到另一组角相等，即可根据判定定理1来证明这两个三角形相似.在找角相等时，常利用对顶角、等腰三角形、平行四边形和平行线等性质.
图2
例 如图2，在 中， ，点 ， 分别
在 ， 边上，连接 ， ， .求
证： .
思路点拨
图2
证明 方法一： ，
.
， ，
，
.
.
方法二： ， .
， ，
.
当堂检测
图3
1.如图3，在 中， ，则下列等式一
定成立的是( ) .
C
A. B.
C. D.
2.在 和 中， ， ，当
____ 时，可判定 ．
50
图4
3.如图4，已知 ， ．求证： .
证明： ，
，即 .
又 ， ．
图5
4.如图5， 的高 ， 交于点 ．
（1）图中与 相似的三角形有___个，分别是
_ _______________________.
3
， ，
（2）在（1）中选择一对相似三角形进行证明．
（答案不唯一）求证： ．
证明： 的高 ， 交于点 ， ．
又 ， ．
课后达标
基础巩固
1.已知 ，则下列图形中的两个三角形不一定相似的是( ) .
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
图6
2.如图6，在 中， ， ，
则图中相似三角形共有( ) .
C
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
提示：共有3对相似三角形，分别是 ， ， .
图7
3.如图7，已知 .要使 ，需
补充的一个条件是_____________________________
________.（写出1个即可）
（答案不唯一） 或
图8
4.如图8，在 中， ， ， 是
边上的点（不与 ， 两点重合），当 ____
时， .
70
提示：由题意可知， .当 时，有 ， .故
．
图9
5.如图9，点 ， 分别在 ， 上， 交
于点 ， ， ， ，
．
（1）求证： .
证明： ， .
又 ， .
（2）求 的长．
图9
解： ， .
， ， ， .
．
能力提升
图10
6.如图10，在等边三角形 中，点 在 边上，
.将 折叠，使点 与点 重合，折痕为
，点 ， 分别在 边， 边上， ，则
__.
提示：由题意，得 ， ， .又 ，故 .所以 .则 .故 .
图11
7.如图11，在 中， ， 是
边上一点，且 ， 交 的延
长线于点 ．
（1）求证： .
证明： ，
，
， .
.
（2）已知 ， ，求 的长．
图11
解：由 ，可设 ， ，则 ，
， ，即 ，
．
拓展延伸
图12
8.如图12，在 中，过点 作 ，
垂足为点 ，连接 ， 为 上一点，且
.已知 ， ， ，
求 的长.
解： , ,
,
图12
， ， ，
.
.
.(共28张PPT)
（九年级 全一册）
2023
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第三课时 用“两边成比例且夹角相等”判定三角形相似
起航加油
知识梳理
相似三角形的判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两
条边对应________，并且夹角______，那么这两个三角形相似.
可简记为：两边________且夹角______的两个三角形相似.
成比例
相等
成比例
相等
课前自测
1.在 中， ， ；在 中， ，
. 与 ( ).
C
A.全等 B.不相似 C.相似 D.不一定相似
图1
2.如图1，点 在 的 边上，已知 ，
又 _____,则可判定 ，依
据是______________________________________.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3.如图2， 与 相交于点 ，，，，当
___时， .
4
图2
随堂演练
典型题析
知识点 用“两边成比例且夹角相等”判定三角形相似
方法指导
（1）已知两个三角形有一对角相等，又已知夹这个等角的两边的长或边之间的关系时，可考虑通过证明夹等角的两边对应成比例来判定两个三角形相似.
（2）用“三角形两边成比例且夹角相等”证三角形相似的方法：首先找出两个三角形中相等的那对角，再分别找出两个三角形中夹这对角的两条边，看对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.
图3
例 如图3，在四边形 中， ，
，，， 是
边上的一点且不与点 ， 重合，连接
，. 请判断是否存在点 ，使得以 ，
， 为顶点的三角形与以 ，， 为顶点的三角形相似. 若存在，则
求出 的长；若不存在，则请说明理由．
思路点拨
解：存在．设 ，.
， ，
.
当 时， .
图3
图3
，，，
，即 .
解得 ，.
或 .
当 时， .
，，，
.解得 .
.
综上所述，当 时， 或 ；当
时， .
易错提示 当无法确定两个相似三角形的对应点时，需要进行分类讨论.
图3
当堂检测
图4
1.如图4，添加下列条件后，能判定 的是
( ).
B
A. B.
C. D.
图5
2.如图5，已知 ，那么添加下列一个
条件后，仍不能判定 的是( ).
D
A. B.
C. D.
图6
3.如图6,在 中， ，.在
中， ，.当 ___时,
.
4
图7
4.如图7,在正方形 中, 是 上的点, 且
， 是 的中点.求证: .
证明： 四边形 是正方形，
，
为 的中点，
，
.
又 ， .
课后达标
基础巩固
图8
1.如图8， ， 相交于点 ，连接 ，.添加下列
条件后，仍不能判定 的是( ).
C
A. B.
C. D.
2.在 中，已知 ，，，将 沿下列
各图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ).
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
图9
3.如图9，在 中， 是 边上一点，连接
，若 ，，要使 ，
则 ___．
5
图10
4.如图10，在 中， ， 分别为 边， 边上的
点， ， 为 边上一点，添加一个条件：
____________________________________，使得
.（写出一个即可）
（答案不唯一） 或
提示：由 ，，得 .则只需证得
，即可由相似的传递性得到 .
小锦囊三角形相似的传递性：若 ，，则 .
图11
5.如图11,已知 平分 ， 是 上的点，且.
（1）求证： .
证明： 平分 ，
.
又 ，即 ，
.
（2）已知 ，，，求 的长.
图11
解： ， ，即 .
解得 .
故 的长为 .
能力提升
图12
6.如图12， ， 交于点 ，且 ，
，，当 _ _______时，
以 ，， 为顶点的三角形与以 ，，
为顶点的三角形相似．
54或
提示：因为 ，，，所以当 时，
，此时 ；当 时， ，此时 .
图13
7.如图13，在 和 中，，.
（1）求证： .
证明： ， .
又 ， .
（2）判断 与 是否相似，并说明理由.
图13
解： .
理由： ，
，
即 .
又 ，
.
拓展延伸
图14
8.如图14，在 中， ，
，点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动.设运动的时间为
，连接 ，.
（1）当 为何值时， ？
图14
解：由已知，得 ，，.
当 时，有 .
解得 .
故当 时，.
图14
（2） 能否与 相似？若能，求出
此时 的长；若不能，请说明理由.
解： 能与 相似.
，
与 相似的情况有两种：
①当 时，有 ，即 .
解得 .
当 时，有 ，即 .
整理，得 .
解得 ， （舍去）.
.
综上， 能与 相似，此时 的长为 或 .
图14(共27张PPT)
2023
第22章 相似形
22.1 比例线段
第三课时 平行线分线段成比例
起航加油
知识梳理
1. （八年级下册第19章）平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.平行线分线段成比例（基本事实） 两条直线被一组平行线所截，所得
的对应线段________.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对
应线段________.
成比例
成比例
课前自测
图1
1.（兰州中考）如图1，在 中， .若 ，
则 的值为( ) .
C
A. B. C. D.
图2
2.如图2，直线 ，直线 ， 被直线
， ， 所截，截得的线段分别为 ， ，
， .若 ， ， ，则
__， ____.
4.5
图3
3.如图3， 与 相交于点 ， .若 ，
， ，则 的长为____．
2.4
随堂演练
典型题析
知识点一 平行线分线段成比例的基本事实
方法指导
利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长，一般先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段列出一个能表示它们之间关系的比例式，构造出方程，解方程即可求出待求线段长.
图4
例1 如图4，直线 ，直线 ， , 被直线
， ， 所截， ， ， ，
.求 ， ， 的值.
思路点拨
解： ， .
又 ， ， ，
. .
， .
，即 ，
．
.
.
易错提示 在列比例式时，一定要找准线段间的对应关系.
图4
知识点二 平行线分线段成比例的推论
方法指导
利用平行线分线段成比例的推论，可以研究有关三角形的线段之间的比例关系.解答此类题时，可作辅助线，构造平行关系，通过中间量进行代换，实现线段间的转化.
图5
例2 如图5，点 是 的边 延长线上的一
点， 交 于点 ， ， ， .
求 ， 的长.
思路点拨
图5
解： 四边形 是平行四边形，
， .
，
，即 .解得 .
，
，即 .
解得
.
当堂检测
图6
1.如图6，在 中， ， ，
， ，则 的值为( ) .
B
A.9 B.6 C.3 D.4
图7
2.如图7，直线 ，直线 和 被直线 ，
， 所截，且直线 ， 相交于点 ，则下列等式不
成立的是( ) .
D
A. B.
C. D.
图8
3.如图8， ．若 ， ，则
的值是____．
15
图9
4.如图9，在 中，点 ， ， 分别是边
， ， 上的点，且 ， ，
.求 的值.
解：由 ， ，得 ，
.
所以 .
故 .
课后达标
基础巩固
图10
1.如图10，已知 ，直线 ， 分别与
， ， 相交于点 ， ， ， ， ， ，则
下列等式一定成立的是( ) .
C
A. B.
C. D.
图11
2.如图11，在 中， ， 分别是 和
上的点，且 ，若 ， ，
则 的长是( ) .
A
A.6 B.5 C.4 D.2
图12
3.如图12，点 ， 分别在直线 ， 上，
，且 ， ，则 ___,
的长是___.
2
3
图13
4.如图13，直线 ，直线 与 相交于点
， ， ， ，则 ____；若
，则 ____.
4.5
1.5
提示：根据题意，得 ，即 .故 .由 ，得 ，即 .故 .
图14
5.如图14，在 中，点 在 边上，点 , 在
边上， ， .
（1）求证： .
证明： ， .
， .
.
（2）已知 ， ，求 的长．
解：由（1）知 ，即 ，解得
能力提升
图15
6.如图15，在 中， 是 延长线上一点，
分别与 ， 交于点 ， ．有下列结论：
； ； ；
．其中，正确的是__________.
（填序号）
图15
提示：由平行四边形的性质，得 ，
.由 ，得 ，故①正确；由
，得 ，故②正确；由 ，得
，故③正确；由 ，得
，故④正确.
图15
6.如图15，在 中， 是 延长线上一点，
分别与 ， 交于点 ， ．有下列结论：
； ； ；
．其中，正确的是__________.
（填序号）
①②③④
图16
7.如图16，在 中， 与 相交于点 ，
， ， ， .求 的值.
解：如图24，过点 作 交 于点 ，
.
， .
．
图24
拓展延伸
8.（1）作一个 ，取 边上的任意一点 ，过点 作
交 于点 .
解：如图25.（答案不唯一，符合要求即可）
图25
（2）在（1）的情况下，求证： .
图25
解：如图25，过点 作 ， 与 交于点
, ,
四边形 是平行四边形.
, .
, . .
又 ， .(共24张PPT)
2023
第22章 相似形
22.1 比例线段
第一课时 相似多边形
起航加油
知识梳理
1.相似图形：我们把______相同的两个图形说成是相似的图形.
形状
2.相似多边形：一般地，两个边数______的多边形，如果它们的对应角
______，对应边长度的比______，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形____________的比叫做相似比或相似系数.
相同
相等
相等
对应边长度
课前自测
1.下列四组图形中，不属于相似图形的为( ) .
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
2.如图1，已知四边形 与四边形 相似.
图1
（1） ____ ；
83
（2）四边形 与四边形 的相似比为_ ____________,
____．
（或 ）
12
随堂演练
典型题析
知识点一 相似多边形的判定
方法指导
判定两个多边形相似，必须满足下列三个条件：（1）边数相同；
（2）对应角相等；（3）对应边长度的比相等.
图2
例1 图2中的各组图形，相似的是( ) .
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
解：①正六边形和一般六边形的对应角不相等，对应边长度的比也不相等，所以它们不相似.
②正方形的各角都相等，对应边长度的比也相等，所以正方形都相似.
思路点拨
③两个菱形都有一个角为 ,所以它们的对应角相等，对应边长度的
比也相等，所以这两个菱形相似.
④两个矩形的各角都相等，但对应边长度的比不相等： ，所以这两个矩形不相似.
答案：C
图2
易错提示 两个图形全等，它们一定相似；两个图形相似，它们不一定全等.
知识点二 相似多边形的对应角相等、对应边长度的比相等
方法指导
根据相似多边形的对应角相等，可由已知角得出对应角的度数；根据相似多边形的对应边的比相等，可列出等式求边的长.解题的关键是找准对应角和对应边.
图3
例2 如图3，五边形 与五边
形 相似，求边长 ，
， 的值及 ， 的值.
思路点拨
解： 因为五边形 与五边形 相似，所以
，
即 .
解得 ， ， .
因为五边形 与五边形 相似，所以
， .故 .
因为五边形的内角和为 ，所以在五边形 中， .解得 .
图3
当堂检测
1.下列各组图形相似的是( ) .
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
图4
2.图4的矩形中，相似的是( ) .
C
A.甲与乙 B.甲与丙
C.乙与丙 D.无相似图形
3.已知一个边长为2的正五边形与一个边长为6的正五边形相似，则它们
的相似比为_ ____________．
（或 ）
图5
4.如图5，四边形 与四边形 相似，点 ， ， ， 的对应点分别为 ， ， ， .
（1）已知 ，求 的度数.
解： 四边形 与四边形 相似， 与 是对应角，
.
图5
（2）已知四边形 与四边形
的相似系数为2， ,求
的长.
解： 四边形 与四边形 相似，相似系数为2， 与
是对应边， .解得 .
课后达标
基础巩固
1.下列各组图形中，一定相似的是( ) .
D
A.&9& B.&10& C.&11& D.&12&
2.四边形 的各边长分别为2，3，4，5，四边形 与四边
形 相似.若四边形 的最长边的长度为15，则其最短边的
长度为( ) .
C
A.2 B.4 C.6 D.8
3.有下列说法：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似
图形；②在黑板上用粉笔写“中”“国”“梦”三个大字，它们是相似图形；
③用同一张图片的电子文件打印一张12寸和一张6寸的照片，这两张照
片是相似图形.其中，正确的说法有______．（填序号）
①③
4.已知 与 相似， ， .若 是等边三角
形，则 ____ ， 与 的相似比为_ ____________.
60
（或 ）
图6
5.如图6，在矩形 中， ，点 ，
分别在 ， 边上，且 .已知矩
形 与矩形 相似，相似比为 ，
求 的长．
解： 四边形 是矩形， ，
矩形 与矩形 相似，相似比为 ，
，即 .
，
．
能力提升
图7
6.如图7，有一个矩形花坛 ，其中 ， .现要在矩形花坛的四周建小路.如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形 与矩形 相似吗？请说明理由.
解：矩形 与矩形 不相似.理由：假设两个矩形相似，不妨
设小路的宽为 ，则 .解得 .由题意可知，小路的
宽不可能为0，故矩形 与矩形 不相似.
拓展延伸
图8
7.如图8，在矩形 中， ， .在
上取一点 ，将 沿 折叠，使点 落
在 边上的点 处.若四边形 与矩形
相似，则 的长为_ ____，矩形 与矩形
的相似比是_ ____.
图8
提示：由题意可知，
.设 ，则
.由相似多边形的性质，得 ，即
.解得 ， （舍去）.则
.故矩形 与矩形 的相
似比为 .
拓展延伸
图8
7.如图8，在矩形 中， ， .在
上取一点 ，将 沿 折叠，使点 落
在 边上的点 处.若四边形 与矩形
相似，则 的长为_ ____，矩形 与矩形
的相似比是_ ____.
(共28张PPT)
2023
第22章 相似形
22.3 相似三角形的性质
起航加油
知识梳理
相似三角形的性质：
定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等
于________.
定理2 相似三角形周长的比等于________.
定理3 相似三角形面积的比等于______________.
相似比
相似比
相似比的平方
课前自测
1.如果两个相似三角形的相似比为 ，那么它们对应中线之比是
( ) .
C
A. B. C. D.
2.若两个相似三角形的周长比是 ，则它们的相似比是( ) .
B
A. B. C. D.
3.已知 ， ， .
（1）若 是 边上的高， 是 边上的高，则 __.
（2）若 是 的角平分线， 是 的角平分线，则 __.
（3）设 ， 分别为 ， 的面积,则 _ ___________.
或
随堂演练
典型题析
知识点一 相似三角形对应线段的比
方法指导
在两个相似三角形中，对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，因此，已知这四个量中的任意一个量，即可求得其余各个量.
图1
例1 如图1，已知 ， ， ， ， 分别是 的角平分线、中线和高， ，， 分别是
的角平分线、中线和高， ， ， . 求 ， ， 的长.
思路点拨
图1
解: ， ， 与 的相似比是 .
， ， .
，
，
.
易错提示 要注意“对应”二字，如对应高（对应中线、对应角平分线）的比等于相似比，而并非任意两条高（两条中线、两条角平分线）的比等于相似比．
知识点二 相似三角形周长、面积的比
方法指导
解决有关三角形面积比问题的常用方法：（1）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；（2）利用三角形的面积公式求解.
图2
例2 如图2， ， 分别是 的边 ， 上的
点，且 ， ， 相交于点 ，
.
图2
（1）求 与 的周长比.
解：，
.
又 ，
与 的相似比是 .
.
与 的周长比是 .
思路点拨
图2
（2）求 与 的面积比.
解：， .
.
.
设点 到 的距离为 ，则 ，.
，即 与 的面积比是 .
思路点拨
易错提示 相似三角形面积的比等于相似比的平方，不要与相似三角形周长的比等于相似比混淆.
当堂检测
1.若 ，相似比为 ， ， 分别是 ， 的中点，
则 等于( ) .
A
A. B. C. D.
图3
2.（贺州中考）如图3，在 中， ，
， ，则 与 面积的比值
是( ) .
B
A. B. C. D.
3.已知 ， ， 分别是 ， 的角平
分线， ， .
（1） 与 的相似比为_ _.
（2）如果 与 的周长相差 ，那么 的周长为
____ ， 的周长为____ .
10
20
提示：设 的周长为 ，则 的周长为 .根据题意，
得 .解得 .
图4
4.如图4，一架投影仪插入幻灯片后可将图象
投到屏幕上.已知幻灯片与屏幕平行，点 为
光源，与幻灯片 的距离为 ，幻灯
片的高 为 ，图象 高 .求
投影仪光源到屏幕的距离.
图30
解：如图30，过点 作 于点 ，交 于点
， ，
，即 .
.
答：投影仪光源到屏幕的距离为 .
图30
课后达标
基础巩固
1.若两个相似三角形的对应边之比为 ，则这两个相似三角形的周长
之比为( ) .
A
A. B. C. D.
图5
2.如图5，在 中， ， 分别是 的边
， 上的中线，则 与 面积的比值是
( ) .
D
A. B. C. D.
提示：由题意可知， 是 的中位线，则
， .所以 .故
．
3.已知 ， ， .
（1）若 是 的一条中线， ,则 中对应中线
的长为___ .
3
（2）若 是 的一条角平分线， ,则 中对应
角平分线 的长为____ .
3.6
图6
4.如图6，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸
每隔 有一棵树，在北岸每隔 有一根电线杆.
小丽站在离南岸 的点 处看北岸，发现北岸相
邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这
两棵树之间还有三棵树，则河宽为_____ ．
22.5
图7
5.如图7,在 中, ， 于
点 , 于点 ， , .
（1）求证： .
证明： ， ， .
图7
（2）已知 的周长为 ，求 的周长.
解： ， ， ， .
，即 .
的周长为 .
能力提升
图8
6.如图8，在 中， ， ，
， 相交于点 ， ,
.若 的面积为 ，则四边形
的面积为_ ___.（用含 的代数式表示）
提示：由 ，得 .又 ，则
.由 ，得 ．又 ，则
.故 .
图9
7.如图9， 是一块锐角三角形余料，边 ，高 . 把它加工成正方形零件 ，使正方
形的一边 在 上，其余两个顶点 ， 分别在
， 上.求这个正方形零件的边长.
解：设 交 于点 ，正方形零件的边长为 .
则 ， .
正方形 的 边在 上，
，即 .
解得 .
答：这个正方形零件的边长为 .
拓展延伸
图10
8.如图10，在 中， 为 的中点，，， 与 相交于点 ， 与 相交于点 .
（1） 与 相似吗 请说明理由.
解： .
理由: ， 为 的中点，
，
.
（2）若 ， ，求 的长.
图10
解：如图31，过点 作 于点
为 的中点， ， .
又 ， ， .
， .
又 ，
， ，
图31
图31
, ，
，即 .
.(共33张PPT)
2023
第22章 相似形
22.4 图形的位似变换
第一课时 位似图形及其性质
起航加油
知识梳理
1.位似图形：一般地，如果一个图形上的点 ， ， ， 和另一
个图形上的点 ， ， ， 分别对应，并且满足下列条件：
（1）直线 ， ， ， 都经过同一点 ；
（2） .
那么，这两个图形叫做位似图形，点 叫做__________.
位似中心
2.位似变换的应用：利用位似的方法，可以把一个图形______或______.
放大
缩小
课前自测
1.下列各选项中的两个三角形均为相似三角形，其中不属于位似图形的
是( ) .
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
图1
2.图1中的两个三角形是位似图形，则它们的位似
中心是( ) .
A
A.点 B.点 C.点 D.点
图2
3.如图2， 与 是位似图形，点 是位
似中心，则 ____；若 ，则 与
的相似比为_ _．
随堂演练
典型题析
知识点一 位似图形的性质
方法指导
位似变换是特殊的相似变换，位似图形是具有特殊位置关系的相似
图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质.位似图形还具有的独特
性质有：（1）对应点连线经过同一点；（2）对应边互相平行或在同一
直线上；（3）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等
于相似比（如图2， , 为 与 的相似比）.
图3
例1 如图3（见下一页），以点 为位似中心，
把 放大为原图形的2倍得到 .有下
列说法： ；
；③点 ， ， 三点在同一
条直线上； .其中，正确的有( ) .
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路点拨 根据位似图形的性质，结合图形，逐项进行判断．
解：
序号 分析 判断
① 与 的相似比为 ，则 ×
② AB与 是对应边，对应边的比等于相似比 √
③ 点 ， 是对应点，点 是位似中心，故此三点在同一直线上 √
④ BC与 是对应边，观察图形可知它们不在同一直线上，由位似图形的性质，可得 √
图3
知识点二 画位似图形
方法指导
画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心；（2）分别连接原图各顶点和位似中心并延长；（3）根据相似比，确定位似图形的顶点；
（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形.
图4
例2 如图4，已知四边形 ，分别按下列要求作一个四
边形，使它与四边形 位似.
思路点拨
特别提醒 此题答案不唯一. 若取的位似中心不同，则经过位似变换后的图形的位置会不一样，但图形的大小、形状是一样的.
（1）作四边形 ，使它与四边形 的相似比为 ，位似中心在四边形 内.
图4
图5
解：画法如下：①如图5，在四边形 内任取一点 ；
②连接 ， ， ， ；
③分别在线段 ， ， ， 上取点 ， ， ， ，使 ；
图5
④连接 ， ， ， .
所得四边形 即为所求.
图4
（2）作四边形 ，使它与四边形 的相似比
为2，位似中心在四边形 的一边上.
图6
解：画法如下：①如图6，在四边形 的 边上任取一点 ；
②分别以点 为端点作射线 ， ， ， ；
③分别在射线 ， ， ， 上取点 ， ， ， ，使 ；
④连接 ， ， ， .
所得四边形 即为所求.
当堂检测
1.图7的3组图形中，属于位似图形的有( ) .
图7
C
A.0组 B.1组 C.2组 D.3组
图8
2.如图8，在正方形网格中， 与 位似，
则关于位似中心与相似比叙述正确的是( ) .
C
A.位似中心是点 ，相似比是
B.位似中心是点 ，相似比是
C.位似中心在点 ， 之间，相似比为
D.位似中心在点 ， 之间，相似比为
图9
3.（成都中考）如图9， 与 是以点 为
位似中心的位似图形．若 ，则
与 的周长比是_ ____．
4.如图10，以点 为位似中心，在点 的右侧把四边形 缩小为原
来的 得到四边形 .请画出四边形 .
图10
解：如图32，四边形 即为所求.
图32
课后达标
基础巩固
1.下列说法中，正确的是( ) .
D
A.位似图形是相似图形，相似图形也是位似图形
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不止一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
图11
2.如图11，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的
位似中心是( ) .
D
A.点 B.点 C.点 D.点
图12
3.如图12， ，则 与 是
以点___为位似中心的位似图形.若 ，则
与 的相似比是_ _．
图13
4.（黔西南州中考）如图13， 与 是
位似图形，点 为位似中心.若 ，则
与 的面积比为_ _．
提示：由题意可知， ， ，
故 与 的面积比为 ．
5.如图14，在 网格图中，每个小正方形的边长均为1，点 和
的顶点均在小正方形的顶点上.以点 为位似中心，在网格图中
作 ，使 与 位似，且相似比为 .
图14
解：如图33.
图33
图15
6.（柳州中考）如图15，在平面直角坐标系
中，以原点 为位似中心，把 放大
后得到 .求 与 的相似比.
解：由 ， ，得 ，
.
与 关于点 位似， 与 的相似比是 .
能力提升
图16
7.如图16，幻灯片的正中间有一个图案可
看作正方形 ，它的面积为 ，
屏幕 是面积为 的正方形.若
投影仪的光源 与幻灯片的距离
,则光源 与屏幕的距离
为多少米时，放映的正方形 的像刚
好布满整个屏幕？
图16
解：设光源 与屏幕的距离 是 时，
放映的正方形 的像刚好布满整个屏幕.
由题意可知，正方形 与正方形 是位似图形，位似中心是点 ，则有
， ， ，
，
.
答：光源 与屏幕的距离 是 时，放映的正方形 的像刚好布满整个屏幕.
图16
拓展延伸
图17
8.探究与分析
【阅读材料】如图17，我们把顶点分别在
的三条边上的等边三角形 ，称为 的
“内接等边三角形”.下面是运用位似知识作
的“内接等边三角形”的具体步骤.
画法：①在 内画等边三角形 ，使点 在 上，点 在 上；②连接 并延长，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，作 ，交 于点 ；③连接 ，则 是 的内接等边三角形.
图17
【解决问题】（1） 求证： 是等边三角形.
证明： ， ，
，
， ， ，
，
.
又 是等边三角形， 是等边三角形.
图17
图18
【类比探究】（2） 求作：内接于已知 （如图
18）的矩形 ，使它的边 在 上，顶点 ，
分别在 ， 上，且 .
图34
解：作法：如图34，①在 内画矩形 ，使点 在 上，点 在 上，且 ；
②连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ；
③连接 ，则矩形 为所求作.(共30张PPT)
2023
第22章 相似形
22.4 图形的位似变换
第二课时 平面直角坐标系中的位似变换
起航加油
知识梳理
1.位似图形中对应点的坐标特征：在平面直角坐标系中，如果位似变换
以原点为位似中心，相似比为 ，原图形上点的坐标为 ，
那么位似图形中对应点的坐标为_ ____________________.
或
2.在平面直角坐标系中，在作 变换时，当 时，得
到的图形是____向位似图形；当 时，得到的图形是____向位似图形.
正
反
课前自测
图1
1.如图1，在平面直角坐标系中，有 ，
两点，以原点 为位似中心，相似比为 ，
在第一象限内把线段 缩小后得到线段 ，则
点 的坐标为( ) .
A
A. B. C. D.
图2
2.如图2，在平面直角坐标系中， 与
位似，位似中心为原点 .
（1） 在第____象限， 在第____象
限， 与 是____（填“正”或“反”）向
位似图形.
二
四
反
（2）若 与 的相似比为2，点 的
坐标为 ，则点 的坐标为_ ______.
随堂演练
典型题析
知识点 平面直角坐标系中的位似变换
方法指导
在平面直角坐标系中，位似可以用两个图形坐标之间的关系来表示.
一般地，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为 ，
那么与原图形上的点 对应的位似图形上的点的坐标为 或
.反之，由位似的两个图形对应点的坐标，可以求出它们的
相似比.
（1）正向位似变换： ，位似中心在连接两个对应点的线段之外；
（2）反向位似变换： ，位似中心在连接两个对应点的线段上.
图3
例 （百色中考）如图3， 与 是以坐
标原点 为位似中心的位似图形.若点 ，
， ， ，则 的面积是
____.
18
思路点拨
图3
解： 与 是以点 为位似中心的位似图形，其中点 的对应点的坐标是 ，
与 的相似比为 .
点 ， ，
点 ， 的对应点坐标分别是 ，
.
.
特别提醒 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换问题，要注意：当位似图形在原点同侧时，其对应顶点坐标的比为 ， 为相似比）；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点坐标的比为 .
当堂检测
图4
1.如图4，线段 的两个端点坐标分别为 ，
，以原点 为位似中心，将线段 缩小为原
来的 后得到线段 ，则端点 的坐标为( ) .
D
A. ， B. ，
C. ， D.
图5
2.如图5，在平面直角坐标系中， 与
位似，位似中心是坐标原点 ．若点 ，点
，则 与 周长的比值是___．
2
图6
3.如图6，在平面直角坐标系中，已知点
， ， .
（1）以原点 为位似中心，将 放大为原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形.
解：如图35， 即为所求.
图35
图6
（2）在（1）中， 内一点 的对应
点为 ，请直接写出点 的坐标.
解：
课后达标
基础巩固
图7
1.如图7，在平面直角坐标系中，已知 ，
， ， 与 位似，原点
是位似中心，则点 的坐标是( ) .
D
A. B. C. D.
图8
2.如图8，已知 与 是以原点 为位似
中心的位似图形，且 .若点 ，点
， ，则 的长为( ) .
B
A.3 B. C. D.4
图9
3.如图9， 和 是以原点 为位似中心
的位似图形,已知 ， ，则
与 面积的比值是____ _.
图10
4.如图10，在平面直角坐标系中，已知点
， ， ， 与
是位似图形，相似比为 ，则位似中心的坐
标为_ _____， 的值为__.
图11
5.如图11，在网格中，每个小正方形的边
长都是1， 的顶点都在小正方形的
格点上.
（1）在图11的平面直角坐标系中，点
的坐标是_ _____，点 的坐标是______.
（2）以原点 为位似中心，在图中画出 ，使 与
位似，且 ，则点 的坐标为________________.
或
图11
解：如图36， 即为所求.
图36
能力提升
图12
6.如图12，在平面直角坐标系中，正方形
与正方形 是以点 为位似中心的位似图
形，且相似比为 ，两个正方形在原点 同侧，
点 ， ， 在 轴上，其余顶点在第一象限.
若正方形 的边长为2，则点 的坐标为
_ _____．
图12
提示：由位似图形的性质，得 .又
，所以 .则 ，
所以 .解得 .故点 的坐标为
．
twpvtwpv
图13
7.实践与探究
【实践操作】如图13，在平面直角坐标中有四
个点： ， ， ， .
（1）顺次连接 ， ， ， ，发现四边形
是______四边形.
平行
解：如图37.
图37
（2）按如下方式对四边形 进行变换： ，得到
四边形 ； ，得到四边形 .
图13
解：如图37.
图37
【操作发现】
（3）观察图形，说明四边形 与四边形 的位置关系.
解：四边形 与四边形 关于直线 对称.
图37
拓展延伸
图14
8.如图14，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标
分别是 ， ， 是 关于点
的位似图形，且点 的坐标为 .
（1）在图中画出 .
解：如图38， 即为所求.
图38
（2）求点 的坐标.
图38
解：如图38，过点 作 轴于点 ，过点
作 轴于点 ，则
.
由题意知， ， ， ， .
由 ，解得 ；由 ，解得
.
又点 在第四象限， .(共28张PPT)
2023
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第一课时 用平行法判定三角形相似
起航加油
知识梳理
1. 与 相似，记作“ ___ ”，读作“ 相
似于 ”.
根据相似形的定义，应有
（1）（对应角相等） _ ____， _____， _____；
（2）（对应边成比例） ,即 与 的相
似比为___， 与 的相似比为 .
2.判定相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边
（或两边的延长线）相交，截得的三角形与__________相似.如图1，
，则 .
图1
下图中的基本图形可分别记为“A”型或“ ”型.
原三角形
课前自测
图2
1.如图2，若 ，则 的度数为
( ) .
C
A. B. C. D.
图3
2.如图3，在 中， ，若 ，
，则 的值为( ) .
B
A. B. C. D.
图4
3.（1）如图4，在 中，点 ， 分别在 ，
的延长线上，且 ，则 _____，
.
图5
（2）如图5, 与 相交于点 ， ，
， ，则 ______， 与
______的相似比为_ _.
随堂演练
典型题析
知识点 用平行法判定三角形相似
方法指导
当图形中存在平行关系时，可由平行线形成的“A”型或“ ”型来找到相似三角形，简记为“由平行，找相似”.也可通过作辅助线，构造“A”型或“ ”型来找相似三角形，根据相似关系，得到线段、角之间的关系.
图6
例 （玉林中考）如图6， ， ， 与 交于点 ，则图中的相似三角形共有( ) .
A.3对 B.5对 C.6对 D.8对
思路点拨
图6
解：由 ，得 .
由 ，得 .
由 ，得 .
因此还有 ， ， .
答案：C
当堂检测
图7
1.如图7， ， ， 相交于点 ，
， ， ，则 的长为
( ) .
B
A.1 B.2 C.3 D.
图8
2.如图8，在 中，点 ， ， 分别在边 ，
， 上， ， 与 相交于点 ，则图中
相似三角形共有( ) .
D
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
图9
3.如图9，在 中，已知 ， ，
， ，则 的值为__， 的长为___.
9
图10
4.如图10，在 中， 为 边上的点，连接 ，交 于点 .
（1）求证： .
解： 四边形 是平行四边形， ， ，即
.
（2）已知 , ,求 的长.
图10
解： ， .
, ， .
又 ， .
.
课后达标
基础巩固
图11
1.（雅安中考）如图11，在 中， ， 分别是
和 上的点， ，若 ，则 的值
为( ) .
D
A. B. C. D.
图12
2.如图12， ，点 在 上，点 在 上，
， ， 相交于点 ，则图中相似三角形共有
( ) .
C
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
图13
3.如图13，在 中，点 ， 分别是 ， 边延长线上的点，连接 .有下列条件： ， ， ，添加其中一个条件，可判定 .这个条件可以是______.（填序号）
①②
图14
4.图14是测量河宽的示意图， 与 相交于点 ， ，测得 ，
， ，则河宽 ____ .
100
提示：由 ，得 .
所以 .则 ，即 ，解得 ．
图15
5.如图15，已知 是 的角平分线， 是
延长线上的一点且 .
（1）求证： .
证明： 是 的角平分线，
，
图15
（2）已知 ， ， ，求 的长．
解： ， ，
， ．
， ， ．
．
能力提升
图16
6.如图16，方格纸上的小正方形的边长均为1，点
， ， ， 都是小正方形的顶点， 与 交于
点 ，则 的长是_ _．
提示：由题图可知， ， ，
.由 ，得 .
则 ，即 ，解得 ．
图17
7.如图17，在 中， 于点 ，
于点 ， 为 边上的点， .
（1）求证： .
证明： ， ，
,
．
图17
（2）已知 ， ， ， ，
求 的长.
解： ， ，即 ．
， ，
， ，即 ．
．
拓展延伸
图18
8.如图18，已知 ， 分别交 ，
， 于点 ， ， .若 ， ，
， ,则 ___， _ __．
6
提示：由 ，得 . 所以 ，即 .故 .由 ，得 .所以 . 因为 ,所以 . 所以 .故 .(共32张PPT)
2023
第22章 相似形
22.1 比例线段
第二课时 比例线段与比例的性质
起航加油
知识梳理
1.两条线段的比：如果用________长度单位量得两条线段 ， 的长度分
别为 ， ，则 就是线段 , 的比，记作 ______或 ___.
同一个
2.比例线段：在四条线段 ， ， ， 中，如果其中两条线段 ， 的
____等于另外两条线段 ， 的____，即 （或 ），那么
这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，也称这四条线段成比例
（注意此时 ， ， ， 必须按顺序写出）.这时，线段 ， ， ，
叫做组成比例的____，线段 ， 叫做比例______，线段 ， 叫做比
例______.
特别地，如果线段 ， ， 之间有 （或 ），那么线段
_ __叫做线段_______的比例中项.
比
比
项
外项
内项
，
3.比例的性质：
（1）基本性质 若 ，则_________ .
反之也成立，即若 ，则_ ______ .
（2）合比性质 若 ，则 _____ .
（3）等比性质 若 ，且 ，则
____.
4.黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为____线段与
______线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这
条线段的黄金分割点，较长线段与____线段的比值为_ ____，这个比值
叫做黄金数.
全
较短
全
课前自测
1.已知线段 ， ， ， .
（1）线段 , 的比为( ) .
B
A. B. C.1 D.4
（2） __，线段 , , , ____（填“是”或“不是”）成比例线段.
是
（3）若线段 为线段 ， 的比例中项，则 ___ .
2
2.若 ，则 的值是( ) .
B
A. B. C.1 D.
3.若点 是线段 的黄金分割点，且 ，则下列结论正确的是
( ) .
A
A. B.
C. D.
4.已知 ，则 __；若 ，
则 ____．
12
随堂演练
典型题析
知识点一 比例线段
方法指导
（1）在求两条线段的比时,要将两条线段统一为同一长度单位.由于
线段的长度都是正数，由此线段的比一定是正数.
（2）已知四条线段 ， ， ， 是比例线段，则可列出比例式
或等积式 .结合等式、比例的性质，可列出更多的等式.根
据这些等式，再结合题干信息，可构造关于所求线段的方程.
例1 已知线段 ， ， .
（1）求线段 与线段 的比.
解：因为 ， ，
所以 .
思路点拨
（3）线段 是线段 ， 的比例中项吗？为什么？
解：线段 是线段 ， 的比例中项.
理由如下：
由（1）知， ，又 ，所以 .
所以线段 是线段 ， 的比例中项.
（2）当线段 ， ， ， 成比例时，求线段 的长.
解：因为线段 ， ， ， 是成比例线段，所以 .
又 ， ， ，所以 .
所以 .
易错提示 四条线段 ， ， ， 成比例是有顺序的，“ , , , 是成
比例线段”只能写成 （或 ，不能写成 .
知识点二 比例的性质
方法指导
解答与比例式有关的问题时，通常要利用分式的性质、等式的恒等变换等知识，将已知条件进行转化、化简，再利用比例的性质求出比值.
思路点拨
例2 已知 ，则 ___， __， ___ .
解：因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
例2 已知 ，则 ___， __， ___ .
3
2
因此 .
因为 ，所以 .
因此 .
所以 .
知识点三 黄金分割
方法指导
把一条线段黄金分割后，全线段、较长线段、较短线段之间有固定
的比值关系： （黄金数），因此只要知道
其中一条线段的长，就可以求出另外两条线段的长.
思路点拨
例3 在设计人体雕像时，使雕像的上面部分（腰以上）与下面部分（腰
以下）的高度比等于下面部分与全身的高度比，即满足黄金分割，这样
可以增加视觉美感.已知要设计一个高为 的人体雕像，要使它满足黄
金分割，那么它的下面部分的高度应设计为多少米？（结果保留小数点
后两位；参考数据： ， ， ）
解：设下面部分的高度为 ，则上面部分的高度为 .
根据题意，得 .
整理，得 .
解得 ， （舍去）.
故雕像下面部分的高度应设计为 ．
答：雕像的下面部分应设计为 ．
当堂检测
1.若长度分别为 ， ， ， 的四条线段是比例线段，
则 的值为( ) .
B
A.2 B.4 C.16 D.3
图1
2.（山西中考）神奇的自然界处处蕴含着数学知
识．如图1，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈
螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为 ，这体现
了数学中的( ) .
D
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
3.已知线段 ， ，线段 是线段 ， 的比例中项，
那么线段 ___ .
6
4.若 ，则 ___.
5.（教材第72页习题22.1第2题变式）已知四边形 与四边形
相似，相似比是 ，点 ， ， ， 的对应点分别为点
， ， ， ，四边形 的周长为20.求四边形 的周
长.
解： 四边形 与四边形 相似，且相似比为 ，
，即 .
四边形 的周长为20，即 ，
.
故四边形 的周长为25.
课后达标
基础巩固
1.如果线段 ， ，那么 的值为( ) .
B
A. B. C. D.2
2.下列各组线段中，成比例的是( ) .
C
A. , , , B. , , ,
C. , , , D. , , ,
3.若 ，则下列式子不一定成立的是( ) .
D
A. B.
C. D.
4.已知线段 , , , ，若线段 是线段 , 的比例中项，则 ___．
3
5.在比例尺为 的地图上，量得甲、乙两地的距离为 ，
求实际上甲、乙两地相距多少千米.
解：设甲、乙两地的实际距离为 .根据题意，得 .
解得 .
答：实际上甲、乙两地相距 .
能力提升
图2
6.如图2，已知点 是线段 的黄金分割点， .
记以 为一边的正方形面积为 ，以 ， 为邻边
的矩形面积为 ，则 ， 的大小关系是 ___ .
（填“ ”“ ”或“ ”）
提示：由黄金分割的定义，得 .又
， ，所以 .
7.（教材第72页习题22.1第1题变式）已知 ，且 ,则 的值为___.
1
提示：由等比性质，得 .故 .
8.已知点 ， 是线段 上的任意两点.
（1）如图3， 是线段 的中点， ，求 的值.
图3
解： 是线段 的中点，
， ，
，即 的值为2.
（2）如图4,点 把线段 分为 的两段 ,点 把线段
分为 的两段 ， .求线段 的长.
图4
解：由题意可知， .
设 ，则 ，
， ，即 .
.
根据题意，得 ,即 .
解得 .
拓展延伸
9.如图5，实数 ， ， ， 满足 ，这四个数在数轴上
对应的点分别为 ， ， ， ，点 ， 均是线段 的黄金分割点，
且 , ,称 为 ， 的“大黄金数”， 为 ， 的“小
黄金数”.当 时， _ ________．
图5
小锦囊 ， .根据黄金分割比列方程，将求两数差转化为求线段长，体现了数形结合思想.
提示：由题意，得 .设 ，则 .由点
是线段 的黄金分割点，得 ，即 .解得
， （舍去）.故 .同理可
得， .所以 . 也可直接代入黄金数 列方程求解
图5
9.如图5，实数 ， ， ， 满足 ，这四个数在数轴上
对应的点分别为 ， ， ， ，点 ， 均是线段 的黄金分割点，
且 , ,称 为 ， 的“大黄金数”， 为 ， 的“小
黄金数”.当 时， _ ________．
图5
(共30张PPT)
2023
第22章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第四课时 用“三边成比例”判定三角形相似及相似三角形判定的综合应用
起航加油
知识梳理
相似三角形的判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三
条边对应________，那么这两个三角形相似.
可简记为：三边________的两个三角形相似.
成比例
成比例
课前自测
1.已知甲三角形的三边长分别为1，，，乙三角形的三边长分别
为 ，，5，则甲、乙两个三角形( ).
A
A.相似 B.不相似 C.不一定相似 D.全等
图1
2.如图1，两个三角形的关系是
______（填“相似”或“不相似”），
理由是________________________
____.
相似
三边成比例的两个三角形相似
3.在 中，，，.小明想用3根木棒首尾相连拼成一个与 相似的三角形，他已经有两根长分别为 ， 的木棒，第三根木棒的长度应为___ .
8
随堂演练
典型题析
知识点一 用“三边成比例”判定三角形相似
方法指导
利用“三边成比例”判定三角形相似的步骤：（1）排序，即将三角形的边按大小顺序排列；（2）计算，即分别计算三边的比值；（3）判断，即看比值是否相等来判断两个三角形是否相似.
图2
例1 已知网格图中的每个小正方形边长均为1，则下列图
中的三角形（阴影部分）与图2中的 相似的是
( ).
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
思路点拨
图2
解：由题意，得 ，，.
选项A中，三角形的三边长分别为1，，.
由 ，得该三角形与 不相似.
选项B中，三角形的三边长分别为1，，，由，得该三角形与 相似.
选项C中，三角形的三边长分别为 ，，3.
由 ，得该三角形与 不相似.
选项D中，三角形的三边长分别为2，，.
由 ，得该三角形与 不相似.
答案：B
知识点二 相似三角形判定的综合应用
方法指导
相似三角形的判定思路：（1）有平行线，考虑用平行法（预备定理）；
（2）已知一对等角，找
另一对等角(判定定理1)，
夹该角的两边对应成比例(判定定理2)；
（3）已知两组对边对应成比例，找
夹角相等(判定定理2)；
第三组边对应成比例(判定定理3).
图3
例2 如图3， 是 内一点，，， 分别是
，， 上的点，，，.
求证： .
思路点拨 方法一：利用平行线分线段成比例的性质，推出这两个三角形的三边成比例.方法二：利用平行线的性质，得到等角和对应线段成比例，然后推出这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等.方法三：利用平行线的性质，得到等角，然后推出这两个三角形的两组角对应相等.
方法二： ，，
，，
，.
，，即 .
.
图3
证明 方法一： ，，，
，，，即.
.
方法三： ，，，
，，，.
，，
即 ，.
.
图3
当堂检测
1.将 的各边都扩大到原来的2倍，得到 （点 ，， 的
对应点分别为点 ，， ），则下列结论不正确的是( ).
D
A. B.
C. D. 与 的相似比为2
图4
2.如图4，在由边长为1的正方形组成的网格图中,
有4个格点三角形（顶点均在格点上），则其中
相似三角形是______.（填序号）
③④
证明： ，
，，
.
又 ，即 ， .
图5
3.如图5，在 和 中，，连接 ，.
求证： .
课后达标
基础巩固
1.将一个三角形的各边放大3倍得到的三角形与将其各边缩小 得到的三
角形是相似的，运用的数学依据是( ).
D
A.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似
B.两角分别相等的两个三角形相似
C.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D.三边成比例的两个三角形相似
2.（雅安中考）已知网格图中每个小正方形的边长均为1，则下列选项
中的三角形（阴影部分）与图6中 相似的是( ).
B
图6
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
图7
3.如图7，，， 分别是 的 边，
边， 边的中点，则 _ ______，其相似
比为_ _.
图8
4.如图8， 与 交于点 .
（1）若 ____，则 ， ____.
（2）若 ___，则 ， 与____是
对应边.
（3）请再写一个条件，使 ，这个条件是______________
___________.
（答案不唯一）
图9
5.如图9，在 中，， 分别在边 ， 上，，，.求证：
.
证明：因为 ，，所以 ，
.
又 ，所以 .
所以 .
能力提升
图10
6.如图10，在由边长为1的小正方形组成的网格图中， 是格点三角形（即三角形的顶点均为小正方形的顶点）.
（1）画一个格点 ，使 .
（答案不唯一）解：如图26.
图26
（2）请运用所学知识证明 与 相似，并求出 与
的相似比.
证明：由勾股定理，得 ，，
，.
又 ，，
， 与 的相似比为2.
图26
7.综合与探究
【问题提出】如图11，点 在 内，连接 ，，，点 ，， 分别在 ，， 上，且 ，，.
图11
根据本课时例2中的方法，我们可证得 .
【拓展探究】如图12，若将点 移至 外,其他条件不变， 与 是否依然相似？将图形补充完整，若相似，请写出证明过程.
图12
解：补充图形如图27. 与 依然相似.
证明如下： ，， ，，
.
，
.
.
.
图27
拓展延伸
图13
8.（菏泽中考）如图13，在由边长
为1的小正方形组成的网格图中，
和 的顶点都在格点上，，，，， 是
边上的5个格点. 请按要求完成下列各题：
（1）求证： 是直角三角形.
图13
证明：由勾股定理，得 ，，
，
.
故 为直角三角形.
图13
（2）判断 和 是否相
似，并说明理由.
解： 与 相似.
理由：由勾股定理，得 ，
，.
又由（1）知，，，， .
.
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为 ，，，， 中的三
个格点，并且与 相似.
图13
解：如图28， 即为所求.
图28
