(共17张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第四课时 互余两角的三角函数关系
起航加油
知识梳理
互余两角的正（余）弦值的关系：若 是锐角，则
_________，
_ _______.
课前自测
1.已知 ， 是锐角，且 ，则 的值是( ) .
D
A. B. C. D.
2.已知 是锐角，且 ，那么 __.
随堂演练
典型题析
知识点 互余两角的三角函数关系
方法指导
解此类问题的关键是掌握互余两角的三角函数关系：如果 和
是锐角，且 ，那么 ， .
例 已知 为锐角， ，则 ____ ．
思路点拨
[解析] 解 ， 为锐角，
.
，
. .
.
当堂检测
1.在 中， ， ，则 的值为( ) .
C
A. B. C. D.
2.已知 是锐角，且 ，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
3.如图1，在平面直角坐标系中，已知 ，则 ______.
0.625
图1
课后达标
基础巩固
1.若 为锐角，且 ，则 的值为( ) .
B
A. B. C. D.
2.已知 ，且 ，则 的度数是
( ) .
B
A. B. C. D.
3.在 中， ，则 ___．
0
4.已知 ， ,则 ______,
______．
0.669
0.743
能力提升
5.若锐角 满足 ，且 ，则
_ __.
提示：因为 ，所以 .
6.已知 ， 为锐角，且 ， ,则
_ _.
提示：因为 ， ，所以 .
拓展延伸
图2
7.探究与证明
【特例呈现】图2中有3个直角三角形，且给出了三角形的各边长.
【初步分析】
（1）根据图中数据填空：
① ___；
② ___；
③ ___．
1
1
1
【提出猜想】
（2）观察上述等式，猜想：在 中， ，则
___．
1
【证明猜想】
图3
（3）如图3，在 中， ， ，
， 的对边分别是 ， ， ，利用三角函数的定义
和勾股定理，证明你的猜想．
证明：在 中， , ，，
．
由勾股定理，得
．(共22张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第二课时 锐角的三角函数
起航加油
知识梳理
图1
1.正弦与余弦：如图1，在 中， ，
锐角 的______与______的比叫做 的正弦，记作
，即 __；锐角 的______与______的比
叫做 的余弦，记作 ，即 _ __.
对边
斜边
邻边
斜边
2.锐角三角函数：锐角 的______、______、______都称为锐角 的三
角函数.
正弦
余弦
正切
课前自测
图2
1.如图2，在 中， ， ，
，则 的值是( ) .
C
A. B. C. D.
2.在 中， ， ， .
（1） _ _， __.
（2）由勾股定理，得 ____， _ __，
_ __.
随堂演练
典型题析
知识点 锐角的三角函数
方法指导
求锐角三角函数值时，必须要在直角三角形中解答.若所求角不在直角三角形中，则考虑作三角形的高构造直角三角形，或进行等量代换，将所求角转化到直角三角形中的等角求解.解题时注意勾股定理的应用.
图3
例 如图3，在 中， ， ，
，求 的正弦值和余弦值．
思路点拨
图3
解：如图3，过点 作 于点 ，则 .
在 中， .
设 ， ， ，
由勾股定理，得 ，
即 .
解得 .
， .
， .
在 中，由勾股定理，得 .
, ．
图3
当堂检测
图4
1.如图4，在 中， ， ，
, ，则下列各式正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
图5
2.如图5，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，
的三个顶点均在格点上.
（1） ___， _ ____.
3
（2） _ ____， ____.
提示：过点 作 于点 .
图6
3.如图6，在矩形 中， ， ，
于点 .设 ，求 的值.
解： 四边形 是矩形， ，
.
， .
.
在 中， ， ，由勾股定理，得
.
.
课后达标
基础巩固
图7
1.如图7，在 中， ， ，
，则 的值是( ) .
B
A. B. C. D.3
图8
2.如图8，在 中， ，
于点 ，则下列结论不正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
图9
3.（教材第115页例3变式）如图9，在平面直角坐标
系中，点 的坐标为 ， ,则 的值为
( ) .
B
A.4 B. C.6 D.
提示：过点 作 轴，则 ，
，所以 .由勾股定理，得
．
4.在 中， ， ，若 ，则 ____.
10
5.在 中， ，若 ，则 ___，
_ ___.
2
提示：设 ，则 ，由勾股定理，得 .故
， .
图10
6.如图10，在 中， ， ，求
的正弦值，余弦值和正切值．
解：过点 作 于点
，
.在 中，由勾股定理，得
, , ．
能力提升
图11
7.如图11， , , 是小正方形的顶点，且每个小正方形
的边长相同，则 _ __．
提示：连接 ，由勾股定理，得 ,
, .则
.由勾股定理的逆定理可知， 为
直角三角形， .所以
．
拓展延伸
图12
8.如图12，在 中， ， 为 边
上的点（不与 ， 两点重合），设 ，
.
（1）猜想 与 的大小关系.
解： .
（2）证明你的结论.
图12
解： ， ，又 ， .
.
（3）猜想锐角 ， 的大小与它们正弦值的大小的规律.
图12
解：若 , 均为锐角，则当 时， ；当
时， ；当 时， .(共23张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第三课时 ， ， 角的三角函数值
起航加油
知识梳理
， ， 角的三角函数值：
_ __ _ ___ _ ___
_ ___ _ ___ _ __
_ ___ _ __ ____
课前自测
1.（天津中考） 的值等于( ) .
B
A.2 B.1 C. D.
2.在 中， ，若 ，则 的度数是( ) .
C
A. B. C. D.
3.求下列各式的值：
（1） ___．
1
（2） ___.
0
（3） _ ___．
随堂演练
典型题析
知识点一 ， ， 角的三角函数值
方法指导
解决有关三角函数值的计算题，正确记忆 ， ， 角的
三角函数值是关键，同时要注意实数的运算法则和运算顺序.另外我们
可以借助图1、图2帮助记忆特殊角的三角函数值.
图1
图2
例1 求下列各式的值：
思路点拨 将特殊角的三角函数值代入求值即可.
（1） ；
解：解原式 .
（2） .
解：原式 ．
知识点二 根据特殊角的三角函数值求角度
方法指导
根据逆向思维，在已知特殊角的三角函数值时，可推出特殊角的角度，注意这个特殊角是锐角.此类由三角函数值求角度的题，常以三角形为题设背景，故通常需要结合三角形内角和定理、性质等.
例2 在 中，若 ，则 的度数是
( ) .
A. B. C. D.
思路点拨
解 ,
, .
, .
， 为锐角，
， .
.
答案：C
当堂检测
1. 的值为( ) .
C
A.3 B. C.1 D.
2.在 中， ， ，则 ____， ____.
3.（荆门中考）计算： ____．
4.求下列各式的值：
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 ．
（3） ．
解：原式 ．
课后达标
基础巩固
1. 的值为( ) .
A
A. B.1 C. D.
2.点 ， 关于 轴对称的点的坐标是( ) .
C
A. , B. ,
C. ， D. ，
3.若 ，且 ，则 的度数为____．
30
提示：由 ， ，得 .故 ．
4.求下列各式的值：
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 ．
（3） ．
解：原式 ．
能力提升
5.在 中， 和 是锐角，且满足
，则 为( ) .
B
A.等边三角形 B.直角三角形
C.含 的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形
提示：由题意，得 ， .则 ,
.又 ， 是锐角，所以 ， .所以
.故 是直角三角形.
小锦囊 只要根据非负数的性质，求出锐角三角函数值，即可推出 ， 的度数.
图3
6.某市在旧城改造中，计划在一块图3
所示的三角形空地上种植草皮，以美
化环境．已知 ，
, .要铺满这
块空地，至少需要草皮多少平方米？
小锦囊 作 边上的高，构造直角三角形.
图41
解：如图41，作 边的高 ，与的延长线交于点
，
中， ， ，
.
， .
答：要铺满这块空地，至少需要草皮 ．
拓展延伸
图4
7.（教材第123页习题23.1第6题变式）如
图4，在 中， ，
，延长 到点 ，使
，连接 .根据此图求
的值.（结果保留根号）
图4
解:由 ，得 .
在 中， ，
，故 .
.
设 ，在 中， ，
.
由勾股定理，得 .
又 ，所以 .
在 中， ， .(共27张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第二课时 解直角三角形的应用1：仰角、俯角问题
起航加油
知识梳理
图1
仰角、俯角：如图1，在进行高度测量时，
由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上
方时，叫做______；当视线在水平线下方时，叫
做______.
仰角
俯角
课前自测
图2
1.（玉林中考）如图2，从热气球 看一栋楼底部 的俯
角是( ) .
D
A. B. C. D.
图3
2.如图3，在地面上的点 处测得树顶 的仰角为 ，
，则树高 为( ) ．
A
A. B. C. D.
3.某飞机在离地面 的上空测得地面控制点的俯角为 ，此时
飞机与该地面控制点之间的距离为_ ________ ．
随堂演练
典型题析
知识点 仰角、俯角问题的应用
方法指导
由于仰角、俯角是视线与水平线所夹的角，因此当题目中已知仰角、俯角时，我们可以作出水平线，获得直角三角形，从而根据解直角三角形的知识求出线段长.仰角、俯角是视线相对于水平线而言的，从不同的位置看同一物体的仰角、俯角，一般情况下是不同的.
图4
例 某地为打造适宜旅游的环境，对旅游道路进
行改造．图4是风景秀美的观景山，从山脚 到
山腰 沿斜坡已建成步行道.为方便游客登顶观
景，欲从 到 修建电动扶梯，经测量，山高
，步行道 ，在 处测
得山顶 的仰角为 ，山脚 的俯角为 ， 求电动扶梯 的
长．（结果保留根号）
思路点拨 如图4，作相应辅助线.
图4
解：如图4，作 于点 ，作 于点 ，则四边形 为矩形.
， .
在 中， ，
.
.
.
在 中， ，
.
答：电动扶梯 的长为 ．
易错提示 在利用仰角和俯角解决实际问题时，一定要注意测角仪的高度是否在所测物体的高度内.
当堂检测
图5
1.如图5，从点 观测点 的仰角是( ) .
B
A. B. C. D.
图6
2.（南通中考）如图6， 为地面上一点，测得 到树底
部 的距离为 ，在 处放置 高的测角仪 ，
测得树顶 的仰角为 ，则树高 为_ _________
．（结果保留根号）
图7
3.（襄阳中考）位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标
志性建筑.某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高
度．如图7，无人机在点 处测得烈士塔顶部点 的仰角
为 ，烈士塔底部点 的俯角为 ，无人机与烈士
塔的水平距离 为 .求烈士塔的高度．（结果保留整
数．参考数据： ， ，
）
图7
解：由题意得， ， .
在 中， ， ，
.
在 中， ， ，解得 .
．
答：烈士塔的高度约为 ．
课后达标
基础巩固
图8
1.如图8，已知 处位于点 处的右上方，若从 处观
察 处的仰角为 ，则从 处观察 处的俯角为
( ) .
A
A. B. C. D.
图9
2.如图9，小明站在山顶上 处看到山脚下 处的公
园，俯角为 ，此时小明所处位置海拔 ，
即 ，则 ， 之间的距离为( ) .
A
A. B.
C. D.
图10
3.（跨学科、赤峰中考）如图10，为了测量校园内旗
杆 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的
反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以
下方式进行测量：把镜子放在点 处，然后观测者
沿着水平直线 后退到点 ，这时恰好能在镜子里
看到旗杆顶点 .此时测得观测者看镜子的俯角
，观测者眼睛与地面的距离 ，
，则旗杆 的高度约为____ ．（结果
取整数， ）
图10
提示：由题意可得 .在
中， ， ,即
，解得 .则
.在 中，
，即 .解得 .
答案：17
图11
4.（贺州中考）如图11，在小明家附近有一座
废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府
计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的
方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟
囱的高度 .由于不能直接到达烟囱底部 处，
测量人员决定用高为 的测角仪在与烟囱底部 成一直线的 ，
两处地面上，分别测得烟囱顶部 的仰角 ，
，同时量得 为 ．求烟囱 的高度.（精确到
，参考数据： ， ）
图11
解：由题意，得 ， .
是 的一个外角，
.
.
.
， .
.
答：烟囱 的高度约为 ．
能力提升
图12
5.（山西中考）随着科技的发展，无人机已广泛应用
于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角
度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量 ，
两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下
测量方案：如图12，无人机在 ， 两楼之间上方
的点 处，点 距地面 的高度为 ，此时观测到楼 底部点
处的俯角为 ，楼 上点 处的俯角为 ，沿水平方向由点 飞
行 到达点 ，测得点 处俯角为 ，其中点 ， ， ， ，
， ， 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼 与楼 之间
的距离 的长．（结果精确到 ．参考数据： ，
， ， ）
图44
解：如图44，延长 ， 分别与直线 交于点 和点 ，则 ， ， .
在 中， ， .
是 的一个外角， .
， .
在 中， ， .
.
答：楼 与楼 之间的距离 的长约为 ．
拓展延伸
6.（淄博中考）如图13，希望中学的教学楼 和综合楼 之间生长着
一棵高度为 的白杨树 ，且其底端 ， ， 在同一直线
上， ．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的
高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶 处测得点 的仰角为 ，
点 的俯角为 ．
请问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其
高度（结果精确到 ）；若不能，说明理由．
解答过程中可直接选用下表中的数据:
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.287
图13
图45
解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度.
理由：如图45，作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 .
由题意知， ， ， ， .
中， ， ，即 .
.
.
.
在 中， ， ，
，即 .
.
.
答：综合楼的高度约是 ．
图45(共24张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第一课时 正切
起航加油
知识梳理
1.对边与邻边的比值：在 中， ，当锐角 的大小确
定后，其对边 与邻边 的比值______（填“会”或“不会”）随直角三
角形的大小变化而改变，即总是一个______值.
不会
固定
图1
2.正切：如图1，在 中， ，锐
角 的______与______的比叫做 的正切，记作
，即 _ ___.
对边
邻边
图2
3.坡角与坡度:如图2,坡面与水平面的夹角 叫做_____
（或倾斜角）,坡面的铅直高度 和水平长度 的比叫
做坡面的______（或坡比），记作 ,即 _ _.
坡度 越大,坡角 越____,坡面就越____.
坡角
坡度
大
陡
课前自测
1.在 中，各边都扩大为原来的5倍，则锐角 的正切函数值
( ) .
B
A.扩大为原来的5倍 B.不变
C.缩小为原来的 D.无法确定
图3
2.如图3，在 中， ， ，
，则 ___， ______.
3.已知甲、乙两坡的坡角分别为 , ,坡度分别为1,2，则甲、乙两坡
中更陡的是____（填“甲”或“乙”）, 与 的大小关系为 ___
（填“ ”“ ”或“ ”）.
乙
随堂演练
典型题析
知识点一 正切的定义
方法指导
求锐角的正切值时，必须要在直角三角形中解答，要熟记正切公
式: .当要求正切值的角不在直角三角形中时，可作辅
助线构造直角三角形；也可通过等角代换，转换为求已知直角三角形中
的等角的正切值 如果 ，那么 .
图4
例1 （陕西中考）如图4， 是 斜边
上的高．若 ， ，则 为
( ) .
A
A. B. C. D.
思路点拨
图4
解：在 中，由勾股定理，得
.
.
，
.
，
.
.
.
易错提示 根据正切公式求锐角的正切值的前提是该锐角在直角三角形中.
知识点二 坡角与坡度
方法指导
对于坡度问题，解题的关键是将坡度转化为直角三角形的两直角边之比.要结合题设中的实际情境，找到或构造合适的直角三角形.
图5
例2 （山西中考）图5是地铁某站扶梯的示意图，
扶梯 的坡度 王老师乘扶梯从扶梯
底端 以 的平均速度用时 到达扶梯
顶端 ，则王老师上升的铅直高度 为_ ___ ．
思路点拨
图5
解：根据题意，得 .
扶梯 的坡度 ，即 ，
设 ，则 .
图5
在 中，由勾股定理，得
.
解得 .
.
答案：
当堂检测
1.在 中， ， ， ，则 的值是
( ) .
B
A. B. C. D.
图6
2.如图6，在网格中，小正方形的边长均为1，点 ，
， 都在格点上，则 的正切值是( ) ．
C
A. B. C. D.
图7
3.（无锡中考改编）如图7，一条上山直道的
坡度为 ，沿这条直道上山，每前进
所上升的高度为_ _____ ．
图8
4.如图8，在 中， ，
， .求 的长.
解：在 中， . ， .
由勾股定理，得 .
课后达标
基础巩固
1.在 中， ， ， ， 的值是
( ) .
A
A.3 B. C. D.
2.在 中， ， ， ，则 的面积
为( ) .
B
A.72 B.36 C.24 D.12
图9
3.如图9，若一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了
，此时小球距离桌面的高度为 ，则这
个斜坡的坡度为( ) .
B
A. B. C. D.
提示：当小球前进 时，它相对于桌面的水平前进距离为 ，故斜坡的坡度 .
4.在 中， ， ， ，则 ___，
____.
8
10
图10
5.如图10，某水库堤坝横断面迎水坡 的坡度是
，堤坝高 .求迎水坡面 的长.
解：由题意知，坡度 .
， .
在 中，由勾股定理，得 .
能力提升
图11
6.如图11，在 中， ， ,则
_ __.
提示：过点 作 于点 ，则
. 在 中，
.故
.
图12
7.如图12，在 中， ， 是
的中点，过点 作 ，交 于点 ，
， .求 的长.
解：在 中， ，
.
在 中， , .
，即 .
， ．
在 中，由勾股定理，得
是 的中点， ．
拓展延伸
图13
8.已知直线 ，相邻两条平行线间的
距离均为 ，矩形 的四个顶点分别在这四条
直线上，放置方式如图13， ， ，
则 的值是___.
C
提示：如图40，过点 作 于点 ，过点 作 于点 .由 ，得 .所以 .则 ，即 .所以 .在 中，
.
图40(共25张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第三课时 解直角三角形的应用 2：方向角问题
起航加油
知识梳理
图1
方向角：如图1，在进行水平测量时，常以观测者的位
置为中心，将正北或正南方向与观测目标的视线方向所
夹的角叫做方向角，通常表达为北（南）偏东（西）
. 如图1，点 位于点 的北偏_ ______方向，点 位
于点 的南偏_ ______方向，点 位于点 的北偏
_ ______方向（或______方向），东北方向指_________
方向，东南方向指_ __________方向，西南方向指_ __________方向.
我们一般画图的方位为“上北下南，左
东
东
西
西北
北偏东
南偏东
南偏西
西右东”.
课前自测
1.已知岛 位于岛 的正西方，由岛 ， 分别测得船 位于南偏东
和南偏西 方向，则下列符合条件的示意图是( ) .
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
图2
2.如图2，小雅家（图中点 处）门前有一条东西
走向的公路，经测得有一水塔（图中点 处）在
她家北偏东 方向 处，那么水塔所在的
位置到公路的距离 是( ) .
A
A. B.
C. D.
图3
3.如图3，海面上有 ， 两岛分别位于 岛的正
北方向和正东方向上，一艘船从 岛出发，以
的速度向正北方向航行 到达 岛，
此时测得 岛在 岛的南偏东 方向上.则
____ ， ， 两岛之间的距离为____
参考数据： ，
，
40
64
随堂演练
典型题析
方法指导
对于方向角问题，首先要清楚方向角的表示方法，然后将实际问题抽象成数学问题，并将问题转化到直角三角形中求解.解题时要充分利用表示南北和东西的方位线作辅助线或寻找角度之间的关系.
知识点 方向角问题的应用
图4
例 （巴中中考）某区域平面示意图如图4，点
在河的右侧， 路段与某桥 互相垂直．某
校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在 处
测得点 位于西北方向，又在 处测得点 位
于南偏东 方向，另测得 ，
.求点 到 的距离. 参考数据：
， ，
图5
解：如图，过点作于点，过作于点，则四边形是矩形.?
设在中，
?
.?
?
又?
思路点拨 由题意可得 ， 的度数，则考虑作辅助线构造含已知角的直角三角形，再借助三角函数，结合线段间的等量关系列式求值.
在中，?
?
又，?
.?
解得.?
故点到的距离是
图5
当堂检测
图6
1.如图6，甲从点 出发向北偏东 方向走到点 ，
乙从点 出发向南偏西 方向走到点 ，则
的度数是( ) .
D
A. B. C. D.
图7
2.如图7，一艘海轮位于灯塔 的南偏东 方向，
距离灯塔 的 处，它沿正北方向航行一段时
间后，到达位于灯塔的正东方向上的 处.这时， 处
与灯塔 的距离 的长为____ . 结果保留整
数，参考数据： ，
24
图8
3.（河池中考）如图8，在河对岸有一棵大树 ，
小刚在河岸点 测得 在北偏东 方向上，向
东前进 到达点 ，测得 在北偏东 方
向上.求河的宽度. 结果精确到 ；参考数
据： ， .
图8
解:过点 作 于点 .设 .
由题意，得 ， .
在 中， .
在 中， .
, .
解得
.
答：河的宽度约为 .
课后达标
基础巩固
图9
1.如图9，一艘海轮位于灯塔 的北偏东 方向
的 处， .若海轮沿正南方向航行到
灯塔 的正东方向，则海轮航行的距离 的长是
( ) .
B
A. B.
C. D.
图10
2.如图10， ， 分别是一个湖的南、北两端，村
庄 ， 分别位于 ， 的正东方向， ，
且 位于 的北偏东 方向上，则 的长为
( ) .
B
A. B. C. D.
3.如图11，小明从 地沿北偏东 方向走 到 地，再从
地向正南方向走 到 地，此时小明离 地_____ ．
100
图11
图12
4.水务人员为考察水情，乘快艇以
的平均速度沿平行于岸边的航线 由西向
东行驶．如图12，在 处测得岸边一建筑
物 在北偏东 方向上，继续行驶
到达点 处，测得建筑物 在北偏西
方向上.求建筑物 到航线 的距离．
图12
解:过点 作 于点 ，由题意可
知， ， .
在 中，由 ，得
.
，得 .
由 ，得 .
解得 ．
能力提升
图13
5.如图13，一艘船以 的平均速度向正东
方向航行，在 处测得灯塔 在北偏东 方
向上.该船继续航行 到达 处，这时测得灯塔
在北偏东 方向上.已知在灯塔 的四周
内有暗礁，请判断该船继续向东航行是否
安全，并说明理由.
图13
解：该船继续向东航行是安全的.理由：过点 作
于点 .
根据题意，可知 , .
, .
.
在 中， , , ,
, 该船继续向东航行是安全的.
拓展延伸
图14
6.（丹东中考）如图14，我国某海域有 ， ， 三个
港口， 港口在 港口正西方向 处， 港
口在 港口北偏西 方向且距离 港口 处，
在 港口北偏东 方向且位于 港口正北方向的点
处有一艘货船.求货船与 港口之间的距离． 参考数
据： ， ， ，
， ，
图46
解：如图46，过点A作 ，垂足为 ，过点
B作 ，垂足为 .
由题意，得 ，
.
在 中， ， ，
.
.
在 中， .
答：货船与 港口之间的距离约为 ．(共26张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第五课时 一般锐角的三角函数值
起航加油
知识梳理
1. 用计算器求一般锐角的三角函数值的按键方法：
2. 已知三角函数值求锐角的按键方法：
显示的结果以“度”为单位，再按&3& 键，则显示的结果以“度、分、秒”为单位.
3.三角函数值的大小比较：锐角的正弦、正切值随着角度的增大而
_______，锐角的余弦值随着角度的增大而______.
增大
减小
课前自测
1.已知 ，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下），
按下的第一个键是( ) .
D
A.&4& B.&5& C.&6& D.&7&
2.比较大小（填“ ”“ ”或“ ”）
（1） _ __ ；
（2） _ __ ；
（3） _ __ .
3.用计算器求三角函数值：（精确到 ）
（1） ______；
0.342
（2） ______；
0.927
（3） ______.
0.754
随堂演练
典型题析
知识点 利用计算器进行有关锐角三角函数的计算
方法指导
用计算器求锐角的三角函数值时，关键是根据正确顺序按键.注意不同型号的计算器，按键方法可能不同,要学会根据使用说明书中的方法进行计算.
例（1） 用计算器求三角函数（精确到 ）：
① ；
解： ；
② .
解： .
（2）已知三角函数值，利用计算器求锐角
① （精确到 ）；
解： ；
② （精确到 ）.
解： .
思路点拨（1）先按&8& 或&9& 键，再按度数，再按&10& ,有分则按分值，再按&11& ，有秒则按秒值，再按&12& ，最后按&13& .
（2）结果以度为单位，按键顺序为&14& &15& （或&16& ，&17& ） 三角函数值 &18& ；结果用度、分、秒表示，按键顺序为&19& &20& （或&21& ，&22& ） &23& &24& .
当堂检测
1.用计算器计算 ，按键顺序正确的是( ) .
C
A.&25& B.&26&
C.&27& D.&28&
2.比较大小（填“ ”“ ”或“ ”）
（1） _ __ ， ___ ；
（2）若 ， ，则 _ __ ．
3.用计算器求三角函数值：（精确到 ）
（1） _ _______；
（2） _ _______；
（3） _ _______.
4.用计算器求锐角 （精确到 ）
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
课后达标
基础巩固
1.用计算器求 的值，结果是( ) .（精确到 ）
B
A.0.90 B.0.73 C.0.74 D.0.68
2.在 中， ， ， ．下列各式正确的是
( ) .
A
A. B. C. D.
3.比较 ， ， 的大小关系是( ) .
B
A. B.
C. D.
小锦囊 既可以用计算器求值比较大小，又可以利用锐角的余弦值变化趋势比较大小，此时需要先将正弦值转化为余弦值.
4.用计算器求三角函数值：（精确到 ）
（1） _ _______；
（2） _ _______；
（3） _ _______；
（4） _ _______.
5.用计算器求锐角 （精确到 ）
（1） ，则 _ ______;
（2） ，则 _ ______;
（3） ，则 _ ______.
能力提升
6.如果 是锐角，且 ，那么 的取值范围是( ) .
C
A. B.
C. D.
提示：由 ， , ，得
．
图1
7.如图1，在 中， ， ，
．
（1）求 边上的高（精确到 ）.
解：作 边上的高 ，垂足为 .
在 中， ，
.
图1
（2）求 的度数（精确到 ）．
解：在 中， ， .
在 中，
．
拓展延伸
图2
8.如图2，已知 于点 ， ， 是 上的两
点， .
（1）求证： .
证明： ， 和 均为直角三角形.
， .
，
.
（2）结论：锐角的正切函数值随角度的增大而______.
增大(共26张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第四课时 解直角三角形的应用3：坡度、坡角问题
起航加油
知识梳理
1.坡角：如图1，坡面与________的夹角叫做坡角，用 表示.
水平面
图1
图1
2.坡度：如图1，坡面的铅直高度和水平长度的比叫做
坡度或坡比，用字母 表示，即 _ __.坡度与坡角的
关系是 _ _____.
课前自测
1.某斜坡的坡度 ，则它的坡角是( ) .
B
A. B. C. D.
图2
2.如图2，有一斜坡 ，坡顶 离地面的高度
为 ，若坡度 ，则此斜坡的水平距
离 为( ) .
A
A. B. C. D.
图3
3.如图3，一山坡的坡度 ，则 ____ .
小明从 处爬到 处所走的直线距离
，则他在垂直方向上升的高度 为
____ ．
30
50
随堂演练
典型题析
知识点 坡度、坡角问题的应用
方法指导
对于坡度问题，解题的关键是将坡度转化为线段的比，常通过坡度的意义寻找或构造合适的直角三角形.
图4
例 如图4，拦水坝的横断面为梯形
， ，坝高
，坡角 ，
，求 的长．
思路点拨 如图4，作相应辅助线.
图4
解：如图4，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，则四边形
是矩形.
， .
， ， ， ，
， .
.
答： 的长为 ．
当堂检测
图5
1.如图5，某游乐场一滑梯的高为 ，滑梯的坡角为
，那么滑梯长 为( ) .
A
A. B.
C. D.
图6
2.如图6， 是河堤横断面的迎水坡，其中河堤的高
， ，则斜坡 的坡度 _ __．
图7
3.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外
步行健身的人越来越多.为方便群众步行健
身，某地政府决定对一段坡路进行改
造．如图7，改造前的斜坡 ，
坡度为 ．将斜坡 的高度 降低 后，改造成斜坡 ，其
坡度为 .求斜坡 的长．（结果保留根号）
图7
解： 斜坡 的坡度为 ， .
又 是锐角， .
在 中,由 ，
得 .
， .
斜坡 的坡度为 ， ，即 .
解得 .
，答：斜坡 的长是 ．
课后达标
基础巩固
1.一斜坡的坡角为 ，则其坡度为( ) .
C
A. B. C. D.
图8
2.（跨学科）如图8，通过定滑轮的牵引，一个滑
块沿坡角为 的斜坡向上移动了 ，此时
滑块上升的竖直高度是( ) .
D
A. B. C. D.
图9
3.如图9，某村准备在坡度为 的山坡上栽树，要求相
邻两棵树之间的水平距离 为 ，则这两棵树在坡面
上的距离 为_ ____ .
图10
4.某商场为了方便顾客使用购物车，将自动扶
梯由坡角为 的坡面改为坡度为 的坡面.
如图10， 表示水平面， 表示自动扶梯的
铅直高度，改造后自动扶梯的坡面
6
18
8
，那么 ___ ， ____
；改造后电梯水平宽度增加部分 ___ （精确到 ；参考数
据： ， ）.
图11
5.小亮和小强同时登山，小亮从北坡山脚 处
出发，以 的平均速度攀登，小
强从南坡山脚 处出发．如图11，已知山北坡
的坡度 ，北坡长为 ，南坡的
坡角是 ．问小强以什么速度攀登才能和小亮同时到达山顶 ？
（将南坡、北坡的山路分别看作线段 ， ）
图11
解：过点 作 于点 ．
在 中， ，即 ，则设 ， .
根据勾股定理，得 ，即 .
解得 .
.
在 中， ，
.
小亮登山所需时间为 ，小强要和小亮同时到达山顶，则小强登山的平均速度为 .
答：小强以 的平均速度攀登才能和小亮同时到达山顶 ．
能力提升
图12
6.现要对一段长 且横截面为梯形的
大坝用土石进行加固.如图12，加固前大坝
背水坡坡面从 至 共有30级阶梯，平均
每级阶梯高 ，斜坡 的坡度
；加固后，坝顶宽度增加 ，斜坡 的坡度 .问该
工程共需土石多少立方米？（计算土石时忽略阶梯，结果保留根号）
图47
解：如图47，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形.
， .
斜坡 的坡度 ，
,
斜坡 的坡度 ， .
.
.
故 .
答：该工程共需土石 .
拓展延伸
图13
7.要修建一个地下停车场，停车场的入口设
计示意图如图13，其中斜面 的坡度为
，一楼到地下停车场地面的垂直高度
，一楼到地平线的距离
．
解： 斜坡 的坡度为 ， .
， , .
.
由勾股定理，得 .
答：斜面 的长约为 ．
图13
（1）求斜面 的长.（结果保留整数）
图13
（2）如果送货的货车高度为 ，那么
按这样的设计能否保证货车顺利进入地下
停车场？并说明理由．（参考数据：
）
图48
解：货车能进入地下停车场.理由：如图48,
过点 作 于点 ，则 .
又 ，
知 ， .
设 ，则 .
在 中，由勾股定理，得 .
解得 .则
， 货车能进入地下停车场．(共28张PPT)
2023
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第一课时 解直角三角形
起航加油
知识梳理
1. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程.
2.直角三角形中的边角关系：如图1， 共有六个元素（三条边，三个角），其中 ，那么其余五个元素 三边 ， ， ，两锐角 ， 之间有如下关系.
图1
（1）三边之间的关系：
_ ____________（勾股定理）；
（2）锐角之间的关系：
_ ___；
（3）边角之间的关系： __， _ _， __；
_ _， __， __.
课前自测
图2
1.如图2，在 中， ， ，
，则 的度数为( ) .
C
A. B. C. D.
2.已知在 中， ， ， ，那么 的
长为( ) .
A
A. B. C. D.
3.在 中， ， ， ，那么
____, _ _____.
20
随堂演练
典型题析
知识点 解直角三角形
方法指导
解直角三角形的基本类型及解法：
在 中，
已知 选择的边角关系
斜边和一直角边 , 由 ，得 ；
;
在 中，
两直角边 , 由 ，得 ;
;
斜边和一锐角 , ;
;
续表
在 中，
一直角边和一锐角 , ;
;
或
续表
例1 在 中， ， ， .解这个直角
三角形.
思路点拨
解：在 中， , , ，
由勾股定理，得 .
,
又 为锐角， .
.
图3
例2 如图3，在 中， ， ，
，求 的长.
思路点拨
图4
解：如图4，过点 作 于点 .
在 中， ， , ， ，
，
.
所以 .
在 中，由勾股定理，得
.
当堂检测
图5
1.如图5，在 中， ， ，
,则 的长是( ) .
C
A. B. C. D.
2.在 中， ， , , 的对应边分别是 , , .根
据下列条件，解直角三角形：
（1） ， ；
解： ， ， .
由 ， 得 .
由 ，得 .
（2） ， 边长的结果保留根号,角度的结果精确到 .
解：由勾股定理，得 .
由 ,得 .
.
图6
3.如图6，在 中， ， ，
，求 的长.
小锦囊 先过点 作三角形的高构造出直角三角形，
再利用解直角三角形的知识求解.
解：过点 作 于点 .在 中， ，则
， .
在 中， ，所以 .
因此 .
课后达标
基础巩固
图7
1.（北部湾经济区中考）如图7，某博物馆大厅电
梯的截面图中， 的长为 ， 与 的
夹角为 ，则高 是( ) .
A
A. B.
C. D.
2.在 中， ， ， ，则 的长为
( ) .
B
A.10 B. C. D.
提示：由 ，得 ，即 .解得 .由勾股定理，得 ．
3.根据下列条件，解直角三角形：
（1）在 中， ， ， ；
解：由 ，得 .
.
由勾股定理，得
（2）在 中， ， ， 精确到 ．
解： ， ， .
由 ，得 .
由 ，得 ．
图8
4.如图8，在 中， ， ， ，求 的面积．
解：过点 作 于点
， ， .解得
， ， .
.
．
能力提升
图9
5.（乐山中考）如图9，在 中，
， ，点 是 上一点，
连接 .若 ， ，则
的长为( ) .
C
A. B.3 C. D.2
图9
提示：过点 作 于 . 由 ， ，得 ， .则 . 在 中，由 ， ，得 . 由勾股定 理，得
.故 ， .由勾股定理，得 .故 .
6.（齐齐哈尔中考）在 中， ， ， ，则 _ _________________．
或
提示：①如图42，当 为锐角三角形时，过点 作 于点 ，则 ， ，故 .②如图43，当 为钝角三角形时，过点 作 交 延长线于点 ，则 ， ，故 ．
图42
图43
小锦囊 要对 是锐角三角形，还是钝角三角形进行分类讨论.
拓展延伸
图10
7.（教材第125页例2变式）如图10，在 中，
， ， .求证： .
证明：过点 作 于点 .
在 中， ，在 中，
.
又 , , , 均不为0， .
